Analisi I (teoria completa)

Insiemistica

Lunedì 3 ottobre 2016 15:45

Definizioni

La nozione di insieme è generalmente assunta come primitiva (cioè non riducibile a concetti più elementari).

Un insieme è determinato dai suoi elementi, nel senso che un insieme è definito quando abbiamo un criterio con cui stabilire se un dato oggetto è o non è elemento di questo insieme. Invece di dire "il tale oggetto è un elemento del tale insieme" si dice anche che quell'elemento appartiene all'insieme.

Simboli

Per indicare gli insiemi si usano solitamente lettere maiuscole, come

Per indicare gli elementi di un insieme si usano solitamente lettere minuscole, e per indicare che un elemento x appartiene all'insieme A scriviamo

Come si indica un insieme

Un insieme si indica attraverso la tabulazione:

Ciò che determina un insieme è sapere quali elementi appartengono o meno ad esso, e nient'altro.

Quindi non è importante:

• Ordine
• Molteplicità
• Relazioni

Uguaglianza

A = B

"Ogni elemento che appartiene ad A appartiene anche a B e ogni elemento che appartiene a B appartiene anche ad A".

Formalmente: e

Inclusione

Poi, se sappiamo solo che ogni elemento di A è anche elemento di B, potremo dire che A è contenuto in B. Si scrive: (e si legge "A è contenuto in B") per indicare che

Per quanto detto, quindi, dire che A = B equivale a dire che " " e " ".

Esiste anche l'inclusione stretta in cui A non può essere uguale a B. Si indica con ed equivale ad affermare che:

Operazioni sugli insiemi

Le principali operazioni tra insiemi sono:

• L'unione di due insiemi A e B: si indica con ed è l'insieme formato da tutti gli elementi di A e B presi una sola volta;

Proprietà:

• Commutativa:
• Associativa:
• Idempotenza:

• L'intersezione di due insiemi A e B: si indica con ed è data dall'insieme formato da tutti gli elementi che appartengono sia all'insieme A che all'insieme B contemporaneamente;

Analisi I Pagina 1

Contemporaneamente;

Proprietà:

• Commutativa:
• Associativa:
• Idempotenza:
• Dristributiva:

• La differenza tra B e A si indica con ed è data dall'insieme formato dai soli elementi di B che non appartengono ad A. Viene anche detto insieme complementare di A in B;
• Il prodotto cartesiano di due insiemi A e B è l'insieme di tutte le possibili coppie ordinate con

Un esempio pratico risulta essere o che rappresentano rispettivamente il piano cartesiano e lo spazio cartesiano.

Complementarietà: è tutto ciò che non appartiene ad A ma ad un sistema universo X

• X A

Leggi di De Morgan

Insiemi numerici

Alcuni insiemi, detti numerici, hanno un ruolo particolarmente importante e pervasivo in tutte le branche della matematica:

• L'insieme dei numeri naturali
• L'insieme dei numeri interi
• L'insieme dei numeri razionali
• L'insieme dei numeri reali (razionali e irrazionali)
• L'insieme dei numeri complessi

Analisi I Pagina 2

Logica

Lunedì 3 ottobre 2016 16:40

Definizioni

In logica un predicato è una frase la cui verità dipende dal valore all'interno.

Un enunciato è una frase che è sempre vero o sempre falsa dipendentemente dal quantificatore.

Implicazione universale

È un tipo di enunciato estremamente importante dato che è la struttura di tutti i teoremi ed è del seguente tipo:

Dove:

• A è un insieme
• p(n) è l'ipotesi
• q(n) è la tesi

Dimostrazione per assurdo

È estremamente utile in quanto negando la tesi, e dimostrando che la negazione p un assurdo, è possibile dimostrare che la tesi è vera.

Esempio:

Tesi: è irrazionale,

Negazione della tesi: è razionale dove è una frazione già ridotta ai minimi termini.

Sviluppo:

Se sia n che m sono pari, allora la frazione è ancora semplificabile MA si entrerebbe in un ciclo infinito e era già semplificata.

Così si dimostra che la tesi negata è F e di conseguenza la tesi che è irrazionale risulta V.

Analisi I Pagina 3

Principio di induzione

Martedì 4 ottobre 2016 10:36

L'induzione è un semplice metodo per poter dimostrare alcuni enunciati del tipo:

Si basa fondamentalmente su due passaggi:

1. Verificare che l'enunciato è vero per
2. Considerando p(n) vero, verificare che p(n+1) sia corretto

Disuguaglianza di Bernoulli

1)

2)

NB: va tenuto sempre lo stesso verso di

Binomio di Newton

Analisi I Pagina 4

Analisi I Pagina 5

Campo

Martedì 4 ottobre 2016 11:39

Un insieme è un campo quando soddisfa le seguenti proprietà:

1.

2.

Inoltre se un insieme soddisfa anche i requisiti della relazione d'ordine totale è detto campo essi ordinato. Introducendo la relazione d'ordine sono:

1. Proprietà riflessiva:
2. Proprietà antisimmetrica:
3. Proprietà transitiva:

Insiemi densi

In matematica, un sottoinsieme di uno spazio topologico è denso nello spazio topologico se ogni elemento dello spazio appartiene all'insieme o ne è un punto di accumulazione.

Nel caso di un insieme di numeri reali, ad esempio, per ogni coppia di numeri distinti vi è sempre un elemento dell'insieme compreso tra i due. I numeri razionali e i numeri irrazionali sono due insiemi densi, mentre i numeri interi non lo sono.

Analisi I Pagina 6

Gli insiemi numerici

Mercoledì 5 ottobre 2016 18:57

Per poter definire gli insiemi numerici è prima necessario definire cosa si intende per estremo superiore, inferiore, massimo e minimo.

Limiti superiori ed inferiori

Si consideri l'insieme completamente ordinato X ed un sottoinsieme E.

E è limitato superiormente se:

È limitato inferiormente se

Combinandoli:

Ogni M è detto maggiorante mentre ogni m è detto minorante. Il più piccolo maggiorante è l'estremo superiore di E mentre il più grande minorante è l'estremo inferiore di E.

Nel caso in cui sono detti rispettivamente massimi e minimi.

Proprietà dell'estremo superiore

Un insieme X totalmente ordinato gode della proprietà dell'estremo superiore nel caso in cui contenga il di un qualunque sottoinsieme, che non sia vuoto e che sia limitato superiormente.

Questa proprietà non è valida nell'insieme (si consideri ad esempio) ma è valida nell'insieme.

Definizione assiomatica di

È da ciò che deriva la definizione assiomatica di

• È un campo ordinato
• Gode della proprietò dell'estremo superiore
• Copre tutti i punti della retta

È l'unico insieme con la proprietà dell'estremo superiore (detto anche assioma di continuità, di completezza o di Dedering) e che quindi è adeguato a coprire tutti i punti della retta.

Sia { A, B} una partizione di (cioè A e B sono .insiemi non vuoti e disgiunti la cui unione è); essa a A b B si chiama sezione se: e risulta a, < b. Allora si dimostra che:

Per ogni sezione { A, B} di esiste un unico numero reale s (detto elemento separatore) tale che:

Analisi I Pagina 7

Cardinalità

Mercoledì 5 ottobre 2016 19:28

La cardinalità è il numero di elementi in un insieme e può essere finito o infinito.

Gli insiemi numerici hanno cardinalità infinita. Essa però può essere ∞, confrontata. Infatti, con cardinalità due insiemi hanno la stessa potenza solo se è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra i due.

e 0 1 2 3 4 … 2n-1 2n

0 1 -1 2 -2 … n -n

È possibile quindi stabilire una corrispondenza biunivoca tra i due insiemi.

e In questo modo è possibile scrivere tutte le potenze dell'insieme

m+n=2

m+n=3

m+n=4 0 1 2 3 4 …

0 1 -1 …

Nonostante non sia possibile stabilire una relazione precisa come nel caso dell'insieme è chiaro che anche con l'insieme è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca con l'insieme.

Quindi anche è un infinito numerabile.

e

La tecnica di questa dimostrazione prende il nome di procedimento diagonale di Cantor ed è un'idea semplice ma profonda che si utilizza in varie parti della matematica.

Proveremo, per l'esattezza, che l'intervallo [0, 1] ha una cardinalità non numerabile, da cui seguirà, a maggior ragione, la non numerabilità di.

Supponiamo dunque per assurdo che [0, I ] sia numerabile e disponiamo tutti i numeri reali dell'intervallo [0, 1] in un elenco.

0 0, …

1 0, …

2 0, …

3 0, …

Analisi I Pagina 8

3 0, …

Se però si prova ad inserire un numero

Con al posto delle cifre sulla diagonale si otterrà sempre un nuovo numero.

È per questo che non è possibile fissare una posizione rispetto ad poiché esisterò sempre un ulteriore numero r in grado di modificarla.

1. L'intervallo [0,1] ha quindi la "potenza del continuo". L'intervallo [0,1] può essere messo in corrispondenza biunivoca non e ciò è dimostrabile attraverso un metodo geometrico:
2. Si consideri la retta di tutti i numeri reali e il segmento AB che rappresenta l'intervallo [0,1] che la interseca ortogonalmente
3. Si considerino i punti e rispettivamente a sinistra e a destra di A e di B
4. Si traccino tutte le rette che congiungono i punti p e la retta
5. Le coppie di intersezione delle rette con il segmento AB e la retta che rappresenta rappresenta la corrispondenza biunivoca tra i due sistemi.

L'insieme ha quindi la potenza del continuo.

Quindi

Numerabili Potenza del continuo

Analisi I Pagina 9

Successioni

Lunedì 10 ottobre 2016 11:15

Le successioni sono relazioni che associano ad ogni

Limiti superiori ed inferiori

Limite inferiore Limite superiore

Combinandoli:

Carattere

Il carattere di una successione dipende dalla sua convergenza o divergenza. Esistono anche successioni che non convergono né divergono: esse sono dette irregolari o indefinite.

Convergenti Divergenti Irregolari

Se una successione converge a 0 è detta infinitesimo.

Se una successione converge a è detta infinito.

Monotonia

Una funzione è monotona crescente (o non decrescente) se ogni monotona strettamente crescente se ogni.

Una funzione è monotona decrescente (o non crescente) se ogni monotona strettamente decrescente se ogni.

Teorema della monotonia

Hp.

Th.

Dim.

1. Se la successione è limitata superiormente allora: Con

Analisi I Pagina 10

Con

2. Si possono effettuare due considerazioni spezzando in e è sempre verificata dal mo