Gli insiemi: presentazione PowerPoint

Definizione

Il concetto di insieme è un concetto primitivo, di base. Non è possibile farlo discendere da altre definizioni. Non è possibile ridurlo a concetti più semplici.

L'insieme è una collezione di oggetti ben definiti, detti elementi dell'insieme.

Gli insiemi si indicano con le lettere maiuscole dell'alfabeto: A, B, C, ...

Gli elementi di un insieme si indicano con le lettere minuscole dell'alfabeto: a, b, c, ...

Simbolo di appartenenza: e ∈ A indica che l'elemento e appartiene all'insieme A.

Simbolo di non appartenenza: e ∉ A indica che l'elemento e non appartiene all'insieme A.

Un insieme privo di elementi è detto insieme vuoto e si indica con ∅.

Esempi

Sono insiemi: l'insieme delle regioni d'Italia, l'insieme delle vocali dell'alfabeto italiano, l'insieme dei numeri naturali, ecc...

Non sono insiemi: le più belle città d'Italia, i numeri piccoli, gli alunni bravi, ecc...

Rappresentazione degli insiemi

Come descrivere un insieme?

Posso farlo per elencazione, per proprietà caratteristica e tramite i diagrammi di Eulero-Venn.

1 - Elencazione

A = {0, 1, 2, 3}; B = {-1, 1}; C = {0, 2, 4, 6, 8, 10, ...}

Non è possibile l'ordine in cui gli elementi vengono elencati.

N = {0, 1, 2, 3, ...} insieme dei numeri naturali

Z = {0, +1, -1, +2, -2, ...} insieme dei numeri interi relativi

Q = {p/q; p, q ∈ Z; q ≠ 0} insieme dei numeri razionali

2 - Proprietà caratteristica

Gli insiemi A, B, C citati appena sopra possono essere descritti anche tramite la proprietà che li caratterizza ovvero:

A = {x: x ∈ N e x < 4}

B = {y: y ∈ Z e y² = 1}

C = {x: x ∈ N e x è pari}

3 - Diagrammi di Eulero-Venn

A

a ∈ A

b ∉ A

Sottoinsiemi

Dato un insieme Γ e un suo sottoinsieme E ⊆ Γ, si verifica che: l'insieme E è un sottoinsieme dell'insieme Γ.

Per ogni x ∈ E, si ha che x ∈ Γ: ogni elemento di E è anche un elemento di Γ.

Il sottoinsieme è sottoinsieme.

Il sottoinsieme può essere proprio o improprio.

Sottoinsiemi impropri: insieme vuoto e se stesso.

Sottoinsiemi propri: è un insieme E incluso nell'insieme Γ che non è vuoto, né coincide con se stesso - ciò significa che ogni elemento di E appartiene a Γ, ma esiste almeno un elemento di Γ che non appartiene ad E.

Nei sottoinsiemi propri si utilizza una notazione più precisa ossia: E ⊂ Γ.

Quando le notazioni ⊆ e ⊂ si usano per indicare un'inclusione in senso largo, ossia quando il sottoinsieme può essere sia proprio che improprio; il simbolo ⊂ si usa inoltre per indicare un'inclusione in senso stretto, ossia solo se indica un sottoinsieme proprio.

L'insieme vuoto è sottoinsieme di ogni altro insieme; ∅ ⊆ E.

Insiemi uguali: se due insiemi E ⊆ F e F ⊆ E allora E = F.

Costruzioni insiemistiche

Unione: A ∪ B = {x: x ∈ A o x ∈ B}.

Il significato di "o" sta ad indicare "oppure", ovvero x appartenere all'uno, all'altro o ad entrambi gli insiemi.

Intersezione: A ∩ B = {x: x ∈ A e x ∈ B}.

L'elemento x appartiene sia all'uno che all'altro insieme. Gli elementi sono comuni ad entrambi gli insiemi.

• Differenza: A\B = {x: (x ∈ A) e (x ∉ B)}
• Differenza simmetrica: A Δ B = {x: [(x ∈ A) e (x ∉ B)] o [(x ∈ B) e (x ∉ A)]} = (A\B) ∪ (B\A)

Insieme complementare

A' = A-bar = {x: (x ∈ U) e (x ∉ A)}.

È l'insieme degli elementi x che appartengono ad U, ma non appartengono ad A. Vengono esclusi tutti gli elementi di A.

Insieme potenza o insieme delle parti: ossia

L'insieme dei sottoinsiemi di A. Facciamo un esempio: A = {a, b, c}.

L'insieme delle parti di A si indica così:

P(A) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}.

Siamo partiti da un insieme formato da 3 elementi e ne abbiamo ottenuto uno formato da 8 elementi: 2³ = 8.

In generale si può scrivere n → 2ⁿ.

Questo operatore esposto può essere rappresentato coi diagrammi di Venn per capire meglio.

A ∪ B

A ∩ B

A/B

B/A

A ⊆ B

A'

Proprietà delle operazioni insiemistiche

• Idempotenza

  A ∪ A = A; A ∩ A = A.

• Commutativa

  A ∪ B = B ∪ A; A ∩ B = B ∩ A.

• Associativa

  (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C).

  (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).

• Distributiva

  A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).

  A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).

• Assorbimento

  A ∪ (A ∩ B) = A; A ∩ (A ∪ B) = A.

• Proprietà del complementare

  (A')' = A, ovvero il complementare del complementare è l'insieme stesso.

  (A ∪ B)' = A' ∩ B', ovvero il complementare dell'unione è l'intersezione dei complementari.

  (A ∩ B)' = A' ∪ B', ovvero il complementare dell'intersezione è l'unione dei complementari.

  A ∪ A' = U; A ∩ A' = ∅.