Gli insiemi: presentazione PowerPoint

DEFINIZIONE: Il concetto di insieme è un concetto primitivo, di base. Non è possibile farlo discendere da altre definizioni. Non è possibile ridurlo a concetti più semplici. L'insieme è una collezione di oggetti ben definiti (elementi dell'insieme). Gli insiemi si indicano con le lettere maiuscole dell'alfabeto: A, B, C, ... Gli elementi di un insieme si indicano con le lettere minuscole dell'alfabeto: a, b, c, ...

SIMBOLO DI APPARTENENZA: e ∈A indica che l'elemento e appartiene all'insieme A

SIMBOLO DI NON APPARTENENZA: e ∉A indica che l'elemento e non appartiene all'insieme A

Un insieme privo di elementi è detto INSIEME VUOTO e si indica con ∅

ESEMPI Sono insiemi: l'insieme delle regioni d'Italia, l'insieme delle vocali dell'alfabeto italiano, l'insieme dei numeri naturali, ecc ... Non sono insiemi: le più belle città d'Italia, i numeri piccoli, gli alunni bassi, ecc...

DEFINIZIONE: Il concetto di insieme è un concetto primitivo, di base. Non è possibile farlo discendere da altre definizioni. Non è possibile ridurlo a concetti più semplici. L'insieme è una collezione di oggetti ben definiti (elementi dell'insieme).

Gli insiemi si indicano con le lettere maiuscole dell'alfabeto : A, B, C, ...Gli elementi di un insieme si indicano con le lettere minuscole dell'alfabeto : a, b, c, ...

SIMBOLO DI APPARTENENZA : ∈

e ∈ A indica che l'elemento e appartiene all'insieme A

SIMBOLO DI NON APPARTENENZA : ∉

e ∉ A indica che l'elemento e non appartiene all'insieme A

Un insieme privo di elementi è detto INSIEME VUOTO e si indica con Ø

ESEMPI

Sono insiemi: L'insieme delle regioni d’Italia, l’insieme delle vocali dell'alfabeto italiano,l'insieme dei numeri naturali, ecc ...

Non sono insiemi: Le più belle città d’Italia, i numeri piccoli, gli alunni bassi, ecc ...

RAPPRESENTAZIONE DEGLI INSIEMI

Come descrivere un insieme? Posso farlo per elencazione, per proprietà caratteristica e tramite i diagrammi di Eulero-Venn.

1. ELENCAZIONE:

A = {0, 1, 2, 3}; B = {-1, 1, 3}; C = {0, 2, 4, 6, 8, 10, ...}

Non è essenziale l'ordine in cui gli elementi vengono elencati.

N = {0, 1, 2, 3, ...} INSIEME DEI NUMERI NATURALI

Z = {0, +1, -1, +2, -2, ...} INSIEME DEI NUMERI INTERI RELATIVI

Q = {^p⁄_q : p, q ∈ Z , q ≠ 0} INSIEME DEI NUMERI RAZIONALI

2. PROPRIETÀ CARATTERISTICA:

Gli insiemi A, B, C citati appena sopra, possono essere descritti anche tramite la proprietà che li caratterizza ovvero:

A = {x : x ∈ N e x < 4}

B = {y : y ∈ Z e y² = 1}

C = {x : x ∈ N e x è pari}

DIAGRAMMI DI EULERO-VENN

a ∈ A

b ∈ A

SOTTOINSIEMI

Dato un insieme I si può scrivere

E ⊆ I che significa: l'insieme E è un sottoinsieme dell'insieme I.

Per ogni X ∈ E risulta che X ∈ I, ogni elemento di E è anche un elemento di I.

Il sottoinsieme può essere proprio o improprio.

SOTTOINSIEMI IMPROPRI

: insieme vuoto e se stesso

SOTTOINSIEMI PROPRI

: un insieme E incluso nell'insieme A che non è vuoto e non coincide con se stesso. Ciò significa che ogni elemento di E è appartenente ad I, ma esiste almeno un elemento di I che non appartiene ad E.

Nei sottoinsiemi propri si utilizza una notazione più precisa ossia: E ⊂ I

Quindi la notazione ⊂ si deve utilizzare in

per indicare una

inclusione in senso vale

il simbolo ⊂ si deve utilizzare per

indicare un’inclusione in senso ossia

solo per indicare un sottoinsieme proprio.

L’insieme Φ è sottoinsieme di ogni altro

insieme: Φ ⊆ E

INSIEMI UGUALI: se due insiemi E ⊆

allora E = E

COSTRUZIONI INSIEMISTICHE

• UNIONE: A ∪ B = {x: (x ∈ A) o (x ∈ B)}

il significato di “o” sta ad indicare “oppure”

ovvero x appartiene all’uno, all’altro o ad

entrambi gli insiemi.

• INTERSEZIONE: A ∩ B = {x: (x ∈ A) e (x ∈ B)}

i elementi x apparteneano all’uno che

all’altro insieme. Gli elementi sono comuni

ad entrambi gli insiemi.

• DIFFERENZA: A - B = { x: (x ∈ A) e (x ∉ B) }
• DIFFERENZA SIMMETRICA: A Δ B

A Δ B = { x: [(x ∈ A) e (x ∉ B)] v [(x ∉ A) e (x ∈ B)] } = (A - B) ∪ (B - A)

• INSIEME COMPLEMENTARE:

A¹ = Ā = { x: (x ∈ U) e (x ∉ A) }

È l'insieme degli elementi X che appartengono ad U, ma non appartengono ad A. Vengono esclusi TUTTI gli elementi da A.

• INSIEME POTENZA O INSIEME DELLE PARTI - Ossia l'insieme dei sottoinsiemi di A. Facciamo un esempio: A = {a, b, c}

L'insieme delle parti di A si indica così:P(A) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}

Siamo partiti da un insieme formato da 3 elementi e ne abbiamo ottenuto uno formato da 8 elementi: 3 -> 8 = 2³in generale, si può scrivere n -> 2ⁿ

quanto effetto esposto puo essere rappresentato coi diagrammi di per capire meglio -

A ∪ B

A ∩ B

A / B

B / A

A Δ B

A'