Limiti e funzioni continue

Derivate

Limiti e funzioni continue

Se il valore di una funzione f(x) si avvicina al valore l quando x si avvicina ad x₀ diciamo che f(x) ha come limite l per x tendente ad x₀.

Noi per rappresentare questo fatto usiamo la seguente notazione matematica:

lim f(x) = l
x → x₀

Perché f(x) abbia limite l quando x si avvicina ad x₀, deve essere vero che i limiti destro e sinistro per x tendente ad x₀ siano uguali. Scriviamo così in notazione matematica:

se e solo se

lim f(x) = l
x → x₀

e

lim⁺ f(x) = l e lim⁻ f(x) = l.
x → x₀    x → x₀

Una funzione f(x) si dice continua in x = x₀ se:

1. f(x₀) è definita;

2. lim f(x) esiste; e
   x → x₀

3. lim f(x) = f(x₀).
   x → x₀

C'è differenza tra un limite che esiste in un punto del dominio o di accumulazione per il dominio di una funzione e la continuità della funzione nel punto? Sì. La continuità impone una condizione più forte.

Infatti, perché un limite esista è irrilevante che il valore della funzione esista in x = x₀, o anche che x₀ appartenga al dominio della funzione. Per la continuità, noi dobbiamo poter valutare la funzione in x₀, e questo valore deve coincidere con il limite.

¹/₁ è uguale a

lim sin t/t
t → 0

¹/₁ = sin t/t.

Questo limite esiste se x è misurato in radianti, ma 0 non appartiene al dominio di t

¹/₀ = sin 0/0

Esistono vari modi di calcolare i limiti.

1. Definiamo una lista di valori che si avvicinino ad x₀ e calcoliamo il valore della funzione in ciascuno di questi punti.

Se i valori della funzione si avvicinano quanto si vuole ad un unico numero, quel numero è il limite.

2.

I numeri nella colonna di destra tendono a 8 quando la variabile indipendente tende a 11. Usiamo valori tendenti a 11 per difetto e per eccesso.