Disequazioni: frac((4x^2 - 1)(3x + 1))(3x(2x^2 - 7x + 6)) ≥ 0

Risoluzione di una disequazione di secondo grado fratta, studio del segno del numeratore e del denominatore

_francesca.ricci
di _francesca.ricci
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Determina le soluzioni della seguente disequazione di secondo grado:

[math] frac((4x^2 - 1)(3x + 1))(3x(2x^2 - 7x + 6)) ≥ 0[/math]

Svolgimento

Studiamo il segno di numeratore e denominatore:

[math] N ≥ 0 \to (4x^2 - 1)(3x + 1) ≥ 0[/math]

[math] 4x^2 - 1 ≥ 0[/math]

Passiamo all'equazione associata, troviamo le soluzioni e prendiamo come soluzioni della disequazione gli intervalli esterni alle radici dell'equazione associata:

[math] 4x^2 - 1 = 0[/math]

[math] 4x^2 = 1[/math]

[math] x^2 = 1/4 \to x = ± 1/2 [/math]

[math] S : x ≤ - 1/2 ∨ x ≥ 1/2 [/math]

[math] 3x + 1 ≥ 0 \to x ≥ - 1/3[/math]

Studiamo il segno del numeratore:

studio_del_segno

Avremo quindi che

[math] - 1/2 ≤ x ≤ -1/3 ∨ x ≥ 1/2 [/math]

Passiamo allo studio del segno del denominatore:

[math] D > 0[/math]

[math] 3x(2x^2 - 7x + 6) > 0 [/math]

[math] 3x > 0 \to x > 0[/math]

[math] 2x^2 - 7x + 6 > 0 [/math]

Passiamo all'equazione associata:

[math] 2x^2 - 7x + 6 = 0 [/math]

Determiniamo le soluzioni con la formula :

[math] x = frac(- b ± \sqrt{b^2 - 4ac})(2a) [/math]

[math] x = frac(- (-7) ± \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6})(2 \cdot 2) = [/math]

[math] frac( 7 ± \sqrt{ 49 - 48 })(4) = frac( 7 ± 1)(4) \to [/math]

[math] x = frac( 7 + 1)(4) = 8/4 = 2 ∨ x = frac( 7 - 1)(4) = 6/4 = 3/2 [/math]

Prendiamo come soluzioni gli intervalli esterni alle radici dell'equazione:

[math] S : x > 3/2 ∨ x > 2 [/math]

Studiamo il segno del denominatore:

studio_del_segno

Avremo quindi come soluzioni

[math] 0 > x > 3/2 ∨ x > 2 [/math]

Studiamo ora il segno fra numeratore e denominatore:

[math] N : - 1/2 ≤ x ≤ -1/3 ∨ x ≥ 1/2 [/math]

[math] D : 0 > x > 3/2 ∨ x > 2 [/math]

studio_del_segno

Poiché la disequazione di partenza è maggiore o uguale a zero, secondo la regola dei segni avremmo che :

[math] S : x ≤ - 1/2 ∨ -1/3 ≤ x > 0 ∨ 1/2 ≤ x > 3/2 ∨ x > 2 [/math]

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