Esercizio: verificare se una relazione è una funzione; in tal caso dire se essa è iniettiva, suriettiva e biiettiva

Verificare che la relazione

Verifica se la corrispondenza che a un numero associa il numero delle cifre di cui è composto è una funzione, se questa funzione è iniettiva, suriettiva, biiettiva.

Risoluzione

La relazione

E’ verificata anche la proprietà simmetrica, poiché se x ha lo stesso numero di cifre di y, anche y ha lo stesso numero di cifre di x.

Vale anche la proprietà riflessiva, poiché è possibile affermare che x ha lo stesso numero di cifre di se stesso.

Per questi motivi, la relazione è una relazione di equivalenza.

Una relazione fra due insiemi si dice funzione se ogni elemento di un insieme è in relazione con uno e un solo elemento dell’altro.

In questo caso, abbiamo un insieme composto da numeri relativi, e un altro insieme composto da numeri (sempre relativi) che esprimono il numero di cifre dei numeri dell’altro insieme. La relazione è quindi una funzione; ad un numero, infatti, viene associata una ed una sola quantità di cifre (al numero 20 corrispondono solo 2 cifre).

Valutiamo, quindi, se la funzione è iniettiva, suriettiva e biiettiva.

Una funzione è iniettiva se ad elementi distinti corrispondono immagini distinte, cioè se

Poiché esistono più numeri che hanno lo stesso numero di cifre (10, 11, 15, 20, 56… hanno tutti due cifre), possiamo affermare che la funzione non è iniettiva.

Una funzione è suriettiva se il codominio coincide con l’insieme di arrivo, cioè se ogni elemento dell’insieme di arrivo è un’immagine di almeno un elemento dell’insieme di partenza. Di conseguenza, la nostra funzione è suriettiva.

La funzione non è però biiettiva; per esserlo sarebbe dovuta essere sia iniettiva che suriettiva, mentre gode solo di quest’ultima proprietà.