Equazioni di primo e secondo grado

Le equazioni

Un'equazione è una uguaglianza matematica tra due espressioni letterali contenenti una o più variabili, dette incognite.
Risolvere un equazione, significa determinare il valore dell’incognita che rende verificata l’equazione

In base alle soluzioni, l’equazione si dice:
determinata → ha un numero finito di soluzioni (x incidenti)
indeterminata → ha un numero infinito di soluzioni (x coincidenti) → va bene qualsiasi valore nella x
impossibile → non ha soluzioni - non si interseca

Le equazioni possono inoltre essere:
numeriche → presentano solo 1 lettera incognita
letterali → oltre all’incognita vi sono anche altre lettere dette parametri

A loro volta sono suddivise in:
intere → l'incognita è solo al numeratore
frazionarie --> l'incognita sta al numeratore e denominatore

Sistema di equazioni

Per sistema di equazioni si intende l'insieme di due o più equazioni nelle stesse incognite.
Si scrive con la parentesi graffa, e vi devono essere 2 o più equazioni

Un sistema può essere:
determinato
indeterminato
impossibile
Un metodo per risolvere un sistema di equazioni è quello per sostituzione → si può utilizzare ogni volta in cui è facile ricavare un incognita in funzione dell’altra

Nella 1° equazione isolare l'incognita
Nella 2° equazione, al posto dell’incognita sostituita precedentemente, metto il valore che avevo tolto all’incognita y

Abbiamo poi il metodo per confronto.
Consiste nel ricavare l'equazione, risolvendo entrambe le equazioni del sistema rispetto alla stessa incognita e uguagliando le espressioni ottenute tra loro. Quindi risolvo entrambe le equazioni rispetto ad una sola incognita.

Equazione di 2 grado

Un'equazione di secondo grado è un'equazione algebrica in cui il grado massimo con cui compare l'incognita è 2, ed è sempre riconducibile alla forma:

ax2+bx+c =0 con a≠0→ è ridotta ai minimi termini

a , b , c si chiamano coefficienti e possono essere numeri reali o espressioni letterali (cioè monomi o polinomi).

ax2 → termine di 2° grado
bx → termine di 1° grado
c → termine noto


E’ completa quando ha tutti e tre i termini
Inoltre si dice:
spuria → quando manca il termine noto - si risolve tramite il raccoglimento a fattori comuni
pura → quando manca il termine di 1° grado - si risolve con il radicale


Se b≠0, c≠0 l'equazione si dice in forma completa e si risolve utilizzando la formula risolutiva:
x1,2= -b±b2-4ac2a ovvero -b±Δ2a perché Δ racchiude b2- 4ac

-b essendo ± ho due risultati:
- b - …. ; + b - ...
Il termine Δ = b2- 4ac si chiama discriminate.

Se Δ ＞ (maggiore di ) 0 l’equazione fornisce due soluzioni reali e distinte che si ottengono applicando la formula risolutiva
Se Δ = 0 l’equazione fornisce due soluzioni reali e coincidenti x1 =x2 =- b2a
Se Δ ＜ (minore di) 0 l’equazione fornisce due soluzioni non reali (complesse e coniugate)

Equazione della retta sul piano cartesiano

Consiste nel trovare l’equazione di una generica retta, ovvero scrivere un’equazione che sia soddisfatta dalle coordinate di tutti e soli i punti della retta

Equazione generale della retta

L'equazione y= mx + q , non rappresenta tutte le rette nel piano cartesiano poiché non raggruppa quelle parallele ad y
L’equazione che rappresenta tutte le rette è ax + by + c = 0 → dove a,b,c sono numeri reali
con a,b non entrambi nulli (quando a,b non sono entrambi nulli, vi è una retta)

Posso scrivere l’equazione in forma:
implicita → ax+by+c=0
esplicita → y=mx+q
Per passare dalla forma implicita a quella esplicita, bisogna risolvere l’equazione implicita rispetto ad y

Determinare l'equazione di una retta

Si può determinare l’equazione della retta:
se la retta è passante per P(x0;y0 ) e con m conosciuto
se la retta passa per due punti: P1 (x1;y1 ) P2 (x2;y2)

La retta di coefficiente angolare m, ha equazione: y=mx+q
Bisogna trovare q ed uso la formula q= y0- mx0

Sostituendo il valore di q, otteniamo l’equazione della retta. La formula è y-y0 = x-x0
↙
è l’equazione della retta passante per P(x0;y0 ) e di coefficiente angolare m

Per scrivere l’equazione della retta passante per 2 punti devo trovare il coefficiente angolare (m)

m =y2- y1x2- x1 → sarebbe ΔyΔx

IL DOMINIO
Il dominio delle variabili incognite è l'insieme degli elementi per cui le espressioni ad ambo i membri dell'equazione sono definite, ovvero quell'insieme di numeri per cui l'equazione esiste.