Equazioni goniometriche

EQUAZIONI GONIOMETRICHE

Le equazioni goniometriche si risolvono esattamente come tutte le altre equazioni

algebriche: l’unica differenza è che stavolta intervengono a complicare un po’ la questione

anche le leggi della trigonometria.

Si inizia col dire che l’incognita, in questo particolare tipo di equazione, è l’argomento di

una funzione goniometrica (seno, coseno, tangente, cotangente….).

Vediamo come si risolvono caso per caso, partendo da quelli più semplici:

sen (x) = 1

1) Si vuole stabilire quanto vale l’angolo x. La domanda da farsi è dunque: qual è

l’angolo il cui valore del seno è pari a 1?

Dalla trigonometria si sa che hanno un seno pari ad 1 l’angolo /2 e tutti i suoi

π

multipli.

Poiché per la funzione seno (come per il coseno) il periodo è pari a 2 , la soluzione

π

finale sarà così scritta:

x = + 2kπ

π/2

P.S. Per le funzioni trigonometriche in cui compaiono invece tangente e cotangente, è

necessario tener presente che queste hanno –a differenza di seno e coseno- un

x = ….+ kπ

periodo pari a anziché 2 . La soluzione dunque avrà soluzione:

π π

sen (x) = √2/2

2) In questo caso x è pari ad un angolo di 45°, cioè /4. Tuttavia /4 non è il solo

π π

angolo ad avere un seno pari a √2/2: se si tiene presente la circonferenza

goniometrica si ricorderà facilmente che anche il suo supplementare ha lo stesso

valore per seno (e contrario per il coseno). La soluzione pertanto, in questo particolare

doppia.

caso, sarà x = /4 + 2k x = - /4 + 2k

Si scriverà dunque: e

π π π π π

REGOLA: Tutto questo ci permette di stabilire una prima regola importante: per gli

angolo il cui seno (compreso tra 1 e –1) sia diverso da 1 o –1, l’equazione goniometrica

un angolo ed il suo supplementare

ammette due soluzioni: .

cos (x) = √2/2

3) Anche in questo caso x è pari ad un angolo di 45°, cioè /4. Ed anche in questo caso

π

/4 non è il solo angolo ad avere un coseno pari a √2/2: se si tiene presente la

π

circonferenza goniometrica si ricorderà che stavolta anche il suo contrario ha lo

doppia.

stesso valore di coseno. La soluzione pertanto, sarà ancora una volta

x = /4 + 2k x = - /4 + 2k

Si scriverà dunque: e

π π π π

REGOLA: Tutto questo ci permette di stabilire una seconda regola importante: per gli

angolo il cui coseno (compreso tra 1 e –1) sia diverso da 1 o –1, l’equazione

un angolo ed il suo contrario

goniometrica ammette due soluzioni: .

QUALCHE EQUAZIONE PIU’ COMPLESSA:

sen (A) = sen (B)

1) uguali supplementari.

Due angoli hanno lo stesso seno se sono o

A = B + 2kπ

A = - B + 2kπ

π

cos (A) = cos (B)

2) uguali opposti.

Due angoli hanno lo stesso coseno se sono o

A = B + 2kπ

A = - B + 2kπ

tg (A) = tg (B) ctg (A) = ctg (B)

3) oppure uguali.

Due angoli hanno la stessa tangente o cotangente solo se sono

A = B + kπ

sen (A) = cos (B)

4) Un angolo ha un valore del seno pari al valore del coseno di un altro angolo solo se i

due angoli sono complementari (cioè sommati l’uno all’altro danno /2).

π

Si può dunque scrivere: sen (A) = sen ( /2 –B)

π

A = /2 – B + 2k

π π

FUNZIONI GONIOMETERICHE DELL’ARCO META’

sen (a) = sen 2 (a/2) = 2 sen (a/2) cos (a/2)

1) E’ poi possibile dividere questo valore ottenuto per un 1 “speciale”: sen²(a/2) +

cos²(a/2) 2 sen (a/2) cos (a/2)

Ottenendo: sen²(a/2) + cos²(a/2)

A questo punto si divide tutto per cos²(a/2):

2 tg (a/2) RISULTATO FINALE

→

tg²(a/2) + 1

cos(a) = cos 2 (a/2) = 2 cos² (a/2) - sen² (a/2)

2) Ancora una volta è possibile dividere questo valore ottenuto per un 1 “speciale”:

sen²(a/2) + cos²(a/2)

2 cos² (a/2) - sen² (a/2)

Ottenendo: sen²(a/2) + cos²(a/2)

A questo punto si divide tutto per cos²(a/2):

1- tg² (a/2) RISULTATO FINALE

→

1+ tg²(a/2)

Le restanti equazioni si determinano con gli stessi criteri:

tg(a) = tg 2 (a/2) = 2 tg (a/2) RISULTATO FINALE

3) →

1- tg²(a/2)

cotg(a) = cotg 2 (a/2) = 1- tg² (a/2) RISULTATO FINALE

4) →

2 tg (a/2)

Come si vede, per la cotangente si ottiene un risultato pari all’inverso di quello

ottenuto per la tangente.

P.S. Perché questi risultati siano utilizzabili, dal momento che al denominatore compare

la tangente, occorre sempre che:

a ≠ ± /2

π

a ≠ + k

π π

FORMULE DI BISEZIONE:

cos(a) = cos 2 (a/2) = 2 cos² (a/2) – 1 1- 2 sen² (a/2)

1) oppure

SOLUZIONE 1: cos(a) = 2 cos² (a/2) – 1

[cos(a) +1]/2 = cos² (a/2) cos(a/2) = ± √{ [cos(a/2) +1]/2}

→

SOLUZIONE 2: cos(a) = 1- 2 sen² (a/2)

[1- cos(a)]/2 = sen² (a/2) sen(a/2) = ± √{ [1-cos(a/2)]/2}

→

Ulteriori informazioni, magari fornite dal problema stesso, potranno permettere poi di

stabilire se la soluzione sarà positiva o negativa.

tg(a/2) = sen (a/2) /cos (a/2)

2) E’ possibile a questo punto moltiplicare numeratore e denominatore per sen(a/2)

oppure per cos(a/2)

SOLUZIONE 1: sen² (a/2)

cos(a/2) sen(a/2)

SOLUZIONE 2: sen (a/2) cos (a/2)

cos²(a/2)

Ora, è possibile scrivere:

[sen (2a)]/2 =sen (a) cos (a) [sen (a)]/2 =sen (a/2) cos (a/2)

→

Le due soluzioni diventano dunque:

SOLUZIONE 1: sen² (a/2) = [1-cos(a)]/2 = 1-cos (a) x 2 = 1-cos (a)

[sen (a)]/2 [sen (a)]/2 2 sen(a) sen(a)

SOLUZIONE 2: [sen (a)]/2= [sen (a)]/2 = sen (a) x 2 = sen (a)

cos²(a/2) [1+ cos(a)]/2 2 (1+ cos(a)) 1+cos(a)

Per la cotangente il risultato sarà analogo, ma occorrerà considerare i reciproci di

questi valori.

Apparendo seno e coseno al denominatore, è ovvio che questi valori dovranno essere

di volta in volta condizionati.