Equazioni differenziali del secondo ordine

Le equazioni differenziali del secondo ordine sono quelle in cui compare una relazione tra una variabile indipendente

, una funzione incognita , la sua derivata e la sua derivata .

Tra le equazioni differenziali del secondo ordine vi sono quelle a coefficienti costanti, cioè quelle del tipo:

dove,

e sono costanti mentre , detto termine noto, una funzione continua in un opportuno intervallo.

Nel caso in cui

sia nulla, l'equazione assume la forma:

e viene definita equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine a coefficienti costanti.

Equazioni differenziali del secondo ordine lineari omogenee a coefficienti costanti

Vediamo come possiamo risolvere le equazioni differenziali del tipo

Per determinare l'integrale generale, si comincia risolvendo rispetto all'incognita ausiliare k, l'equazione caratteristica della equazione:

che una semplice equazione algebrica di secondo grado, che si ottiene sostituendo

alla funzione , in modo che il grado di sia uguale all'ordine della derivata di .

Distinguiamo tre casi, in base al segno del discriminante dell'equazione:

• 1 caso :
  [math] \Delta > 0 [/math]
  : In questo caso, l'equazione in
  [math] k [/math]
  ammette due radici reali distinte, che chiamiamo
  [math] k_1 [/math]
  e
  [math] k_2 [/math]
  ; l'integrale generale dell'equazione differenziale lineare omogenea di partenza si ottiene in questo modo:
  [math] y = c_1 \cdot e^{k_1x} + c_2 \cdot e^{k_2x} [/math]
  dove,
  [math] c1 [/math]
  e
  [math] c2 [/math]
  sono due costanti arbitrarie.
• 2 caso:
  [math] \Delta = 0 [/math]
  : In questo caso, l'equazione ammette due soluzioni reali coincidenti, e si ha in particolare:
  [math] k_1 = k_2 = -\frac{a}{2} [/math]
  L'integrale dell'equazione differenziale lineare omogenea di partenza quindi:
  [math] y = e^{-\frac{a}{2}x} (c_1 + c_2 \cdot x) [/math]
• 3 caso:
  [math] \Delta \lt 0 [/math]
  : In questo caso, l'equazione caratteristica non ammette radici reali ma due soluzioni complesse coniugate
  [math] \alpha \pm i\beta \,\,\,\,\, \text{ con }\,\,\,\,\, \alpha = -\frac{a}{2}\,\,\, , \,\,\, \beta = \frac{\sqrt{4b-a^2}}{2} [/math]

L'integrale dell'equazione differenziale lineare omogenea di partenza è dato quindi dalla seguente funzione:

Esempio:
Risolviamo la seguente equazione differenziale:

Determiniamo l'equazione caratteristica, sostituendo

alla funzione incognita e uguagliando l'esponente con l'ordine di :

Determiniamo le soluzioni di questa equazione:

Poiché il discriminante è positivo, e abbiamo ottenuto due soluzioni reali distinte, ci troviamo nel primo caso, applicando la formula vista precedentemente, determiniamo l'integrale generale dell'equazione differenziale:

Equazioni differenziali del secondo ordine lineari non omogenee a coefficienti costanti

Le equazioni differenziali del secondo ordine lineari non omogenee a coefficienti costanti sono equazioni differenziali della forma:

dove

è una funzione continua in un intervallo opportuno ed è non nulla.

Si definisce equazione differenziale lineare omogenea associata alla precedente lequazione della forma:

che si ottiene dalla prima ponendo uguale a zero il secondo membro.

Definiamo l'integrale generale dell'equazione associata il seguente:

Supponiamo di conoscere un qualsiasi integrale particolare

dell'equazione differenziale di partenza. Con queste ipotesi, l'integrale generale di tale equazione è espresso da:

Notiamo quindi che, la ricerca dell'integrale generale di un'equazione differenziale lineare non omogenea a coefficienti costanti è ridotta alla determinazione di un suo integrale particolare: infatti, se conosciamo tale integrale, baster sommarlo all'integrale generale dell'equazione omogenea associata per calcolare l'integrale generale dell'equazione differenziale di partenza.

Esempio di equazione differenziale lineare del secondo ordine non omogenea

Prima risolviamo l'equazione omogenea associata

Equazione caratteristica associata

Le soluzioni dell'equazione caratteristica sono

L'integrale dell'equazione omogenea

Ora cerchiamo un integrale particolare della equazione non omogenea.

Poich il termine noto

cerchiamo una soluzione del tipo con costante da determinare.

Per determinare la costante

, calcoliamone la derivata seconda e sostituiamo tutto nell'equazione assegnata.

Sostituendo nell'equazione di partenza si ha

Da cui si ottiene che

.

L'integrale generale allora