Le equazioni differenziali del primo ordine sono quelle in cui compare una relazione tra una variabile indipendente
[math] x [/math]
, una funzione incognita
[math] y [/math]
, e la sua
derivata[math] y [/math]
.
Le equazioni differenziali del primo ordine pi semplici sono della forma:
[math] \displaystyle y' = f(x) [/math]
Notiamo che una funzione
[math] \displaystyle y = \phi(x)[/math]
è soluzione di questa equazione differenziale se e solo se la funzione è una primitiva di
[math]f(x)[/math]
; quindi, per calcolare l'integrale dell'equazione differenziale è sufficiente calcolare l'integrale indefinito di
[math] f(x) [/math]
:
[math] \displaystyle y' = f(x) \leftrightarrow y = \int f(x), dx [/math]
Esempio: Risolviamo la seguente equazione differenziale:
[math] \displaystyle e^x \cdot y' = 3[/math]
determinando il suo integrale generale, e il suo integrale particolare, sapendo che
[math] y(0) = 5 [/math]
.
Per risolvere l'equazione differenziale dobbiamo scrivere l'equazione in forma normale, cio nella forma
[math] y = f(x) [/math]
:
[math] \displaystyle e^x \cdot y' = 3 \rightarrow y' = \frac{3}{e^x} \rightarrow y' = 3e^{-x}[/math]
Ora, sappiamo che se esiste una soluzione dell'equazione, essa deve essere una funzione primitiva di
[math] \displaystyle 3e^{-x}[/math]
; quindi, calcoliamo l'integrale indefinito di tale funzione:
[math] \displaystyle y = \int 3e^{-x} dx[/math]
Applicando le proprietà degli integrali, possiamo portare la costante fuori dal simbolo di integrale:
[math] \displaystyle \int 3e^{-x}, dx = 3 \int e^{-x} , dx[/math]
Procediamo calcolando lintegrale:
[math] \displaystyle 3 \int e^{-x} , dx = -3 \int -e^{-x} , dx = -3e^{-x} + c[/math]
La primitiva che abbiamo trovato rappresenta l'integrale generale dell'equazione differenziale di partenza.
Sapendo che la funzione in
[math] 0 [/math]
vale
[math] 5 [/math]
, cioè che
[math] y(0) = 5 [/math]
, possiamo risalire all'integrale particolare dell'equazione:
[math] \displaystyle y(0) = 5 \rightarrow -3e^{-0} + c = 5 \rightarrow -3 + c = 5 \rightarrow c = 8[/math]
Quindi, l'integrale particolare dell'equazione differenziale di partenza è rappresentato dalla funzione:
[math] \displaystyle y = -3e^{-x} + 8[/math]
Equazioni differenziali a variabili separabili
un'equazione differenziale del primo ordine si dice a
variabili separabili se, posto
[math] y [/math]
come rapporto differenziale, possiamo scrivere l'equazione nel seguente modo:
[math] \displaystyle y' = f(x), \, \, \, \, y' = \frac{dy}{dx} \rightarrow q(y) \cdot dy = p(x) \cdot dx [/math]
dove
[math] q(y) [/math]
e
[math] p(x) [/math]
sono funzioni continue in opportuni intervalli. Con queste ipotesi,
[math] q(y) [/math]
e
[math] p(x) [/math]
ammettono ciascuna almeno una primitiva, che definiamo, rispettivamente,
[math] Q(y) [/math]
e
[math] P(x) [/math]
.
Essendo quindi:
[math] \displaystyle dQ(y) = q(y) \cdot dy \, \, \, \, , \, \, \, \, dP(x) = p(x) \cdot dx [/math]
possiamo ricavare che:
[math] \displaystyle dQ(y) = dP(x) [/math]
Da questa uguaglianza, possiamo dedurre che le funzioni
[math] Q(y) [/math]
e
[math] P(x) [/math]
differiscono per una costante, cioè che:
[math] \displaystyle Q(y) = P(x) + c [/math]
Quindi, concludiamo che l'integrale dell'equazione differenziale di partenza, a variabili separabili, si ottiene determinando le primitive delle funzioni
[math] q(y) [/math]
e
[math] p(x) [/math]
, rispettivamente delle variabili
[math] y [/math]
e
[math] x [/math]
, cioé calcolandone l'integrale indefinito:
[math] \displaystyle q(y) \cdot dy = p(x) \cdot dx \rightarrow \int q(y)dy = \int p(x) dx [/math]
Esempio di risoluzione di un'equazione differenziale a variabili separabili
Si può scrivere nella forma
[math] \displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{x^2}{y}[/math]
[math] \displaystyle y \cdot dy = x^2 dx[/math]
[math] \displaystyle \int y, dy = \int x^2, dx[/math]
[math] \displaystyle \frac{y^2}{2} = \frac{x^3}{3} + c[/math]
[math] \displaystyle y^2 = \frac{2}{3} x^3 + 2c[/math]
[math] \displaystyle y = \pm \sqrt{\frac{2}{3}x^3 + 2c}[/math]
Equazioni differenziali lineari del primo ordine
Le equazioni differenziali che sono di primo grado rispetto alla funzione incognita e alle sue
derivate si dicono lineari.
Le equazioni differenziali lineari del primo ordine possono, quindi, essere ridotte alla forma:
[math] \displaystyle y' = a(x) \cdot y + b(x) [/math]
dove
[math] a(x) [/math]
e
[math] b(x) [/math]
sono funzioni continue in un opportuno intervallo. Nel caso in cui si ha
[math] b(x) = 0 [/math]
, l'equazione differenziale si dice omogenea, e prende la forma:
[math] \displaystyle y' = a(x) \cdot y [/math]
Equazioni differenziali lineari omogenee a variabili separabili
Possiamo facilmente risolvere un'equazione differenziale lineare omogenea a variabili separabili, infatti possiamo scriverla nella forma:
[math] \displaystyle \frac{dy}{dx} = a(x) \cdot y \rightarrow \frac{dy}{y} = a(x) dx [/math]
Ora, essendo
[math] A(x) [/math]
una qualsiasi primitiva della funzione
[math] a(x) [/math]
, e
[math] c [/math]
una costante arbitraria, le soluzioni possono determinarsi nel seguente modo:
[math] \displaystyle \log |x| = A(x) + c \rightarrow y = \pm e^{A(x)+c} \rightarrow y = \pm e^c e^{A(x)} [/math]
Metodo di Lagrange
Il metodo di Lagrange permette di risolvere le equazioni differenziali lineari del tipo:
[math] \displaystyle y' = a(x) \cdot y + b(x) [/math]
e viene anche definito metodo della variazione delle costanti.
Si procede, calcolando una qualsiasi primitiva
[math] A(x) [/math]
della funzione
[math] a(x) [/math]
; lintegrale generale cercato può essere ottenuto applicando la seguente formula:
[math] \displaystyle y = e^{A(x)} \cdot \int b(x) \cdot e^{-A(x)}, dx [/math]
Esempio di risoluzione di un'equazione differenziale lineare del primo ordine
[math] \displaystyle y' = y \sin x + \sin x[/math]
Osserva che
[math] \displaystyle a(x)= \sin x[/math]
e
[math] \displaystyle b(x)=\sin x[/math]
Determiniamo la primitiva di
[math] a(x) [/math]
[math] \displaystyle A(x) = \int sin x , dx = -cos x[/math]
L'integrale generale
[math] \displaystyle y = e^{A(x)} \int b(x) \cdot e^{-A(x)}, dx[/math]
Quindi
[math] \displaystyle y = e^{-\cos x} (-e^{\cos x} + c)[/math]
moltiplicando
[math] \displaystyle y = -1 + ce^{-\cos x}[/math]
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