Considerazioni sulle equazioni algebriche di grado n

Considerazione sulle equazioni algebriche di grado n

Il presente articolo vuole presentare un punto di vista diverso dal

convenzionale in merito alle equazioni algebriche di grado n.

DESCRIZIONE

Sia data la seguente equazione algebrica di grado n generica:

n n-1

ς ⋅x ς ⋅x ς

(1) x – – … – – = 0

0 n-2 n-1

e sia f(x)∈ℜ una funzione reale definita nel seguente modo:

∀x∈N ∩

f(x) = 1 x<n

(2.1) f(x) = ∑ ς ⋅f(x-j) ∀x∈N ∩

f(x) = x≥n

j=1..n j-1

⋅f(x-1) ς ⋅f(x-2) ς ⋅f(x-n)

ς + + … +

(2.2) f(x) = 0 1 n-1

È possibile affermare che la principale soluzione dell’equazione (1) è data

dalla seguente relazione:

(3) x = lim [f(x) / f(x-1)]

x→+∞

DIMOSTRAZIONE

Vogliamo raggiungere la relazione (1) ipotizzando vera la relazione (3).

Hp: relazione (3)

Th: relazione (1)

NOTA:

Per l’Hp possiamo facilmente verificare la validità delle seguenti due relazioni:

∀k∈N

(4) lim [f(x-k) / f(x-k-1)] = lim [f(x) / f(x-1)]

(x→+∞) (x→+∞)

k ∀k∈N

= lim [f(x) / f(x-k)]

(5) x (x→+∞)

Per la (2.2), la relazione (3) risulta:

⋅f(x-1) ς ⋅f(x-2) ς ⋅f(x-n)]

x = lim { [ς + + … + / f(x-1) }

(x→+∞) 0 1 n-1 1

scomponendo la frazione, applicando la proprietà di scomposizione del limite

di una somma lim(a+b) = lim(a) + lim(b) e applicando le relazioni (4) e (5)

otteniamo: n-1

ς ς

ς + /x + … + /x

x = 0 1 n-1

n-1

Il m.c.m. è x e portando tutti i termini al primo membro otteniamo:

n n-1

ς ⋅x ς ⋅x ς

x – – … – – = 0

0 n-2 n-1

che è proprio l’equazione (1).

C.V.D.

ESEMPI NUMERICI

Esempio 1: 2 – x – 1 = 0

equazione: x

basi: f(0) = 1, f(1) = 1

funzione: f(x) = 1⋅f(x-1) + 1⋅f(x-2)

x f(x) f(x) / f(x-1)

0 1

1 1 1

2 2 2

3 3 1.5

4 5 1.666666667

5 8 1.6

6 13 1.625

7 21 1.615384615

8 34 1.619047619

9 55 1.617647059

10 89 1.618181818

11 144 1.617977528

12 233 1.618055556

13 377 1.618025751

14 610 1.618037135

15 987 1.618032787

16 1597 1.618034448

17 2584 1.618033813

18 4181 1.618034056

19 6765 1.618033963

20 10946 1.618033999

21 17711 1.618033985

22 28657 1.61803399

23 46368 1.618033988

24 75025 1.618033989

25 121393 1.618033989

26 196418 1.618033989

27 317811 1.618033989

28 514229 1.618033989

29 832040 1.618033989

30 1346269 1.618033989

≈

x 1.618034 2

Esempio 2: 2 + 3x + 2 = 0

equazione: x

basi: f(0) = 1, f(1) = 1

funzione: f(x) = -3⋅f(x-1) - 2⋅f(x-2)

x f(x) f(x) / f(x-1)

0 1

1 1 1

2 -5 -5

3 13 -2.6

4 -29 -2.230769231

5 61 -2.103448276

6 -125 -2.049180328

7 253 -2.024

8 -509 -2.011857708

9 1021 -2.00589391

10 -2045 -2.002938296

11 4093 -2.001466993

12 -8189 -2.000732959

13 16381 -2.000366345

14 -32765 -2.000183139

15 65533 -2.000091561

16 -131069 -2.000045778

17 262141 -2.000022889

18 -524285 -2.000011444

19 1048573 -2.000005722

20 -2097149 -2.000002861

21 4194301 -2.000001431

22 -8388605 -2.000000715

23 16777213 -2.000000358

24 -33554429 -2.000000179

25 67108861 -2.000000089

26 -134217725 -2.000000045

27 268435453 -2.000000022

28 -536870909 -2.000000011

29 1073741821 -2.000000006

30 -2147483645 -2.000000003

≈

x -2

Esempio 3: 3 2

equazione: x – x – x – 1 = 0

basi: f(0) = 1, f(1) = 1, f(2) = 1

funzione: f(x) = 1⋅f(x-1) + 1⋅f(x-2) + 1⋅f(x-3)

x f(x) f(x) / f(x-1)

0 1

1 1 1

2 1 1

3 3 3

4 5 1.666666667

5 9 1.8

6 17 1.888888889 3