Teoria delle combinazioni: definizioni ed esempi

In quest'appunto di matematica troverai tutte le informazioni necessarie per comprendere le combinazioni e i vari casi possibili, con opportuni esempi.

Che cos'è una combinazione semplice

Un raggruppamento si definisce combinazione se:

• è definito
  [math] n [/math]
  il numero degli oggetti
• è definito
  [math] k [/math]
  il numero dei posti, in modo che
  [math] n != k [/math]
• non conta l'ordine con cui gli oggetti sono disposti

Come calcolare il numero di combinazioni di

[math] n [/math]

oggetti su

[math] k [/math]

posti senza ripetizioni

Supponiamo che gli

oggetti da combinare siano tutti tra loro distinguibili.

Allora per dar luogo a una combinazione procederemo come segue:

• In primo luogo creiamo una disposizione di
  [math] n [/math]
  oggetti su
  [math] k [/math]
  posti senza ripetizioni. Per fare ciò utilizzeremo chiaramente quanto già noto in merito alle disposizioni
• Consideriamo adesso i
  [math] k [/math]
  oggetti facenti parte della disposizione prefissata al punto 1. L'unica distinzione tra disposizioni e combinazioni è che nelle ultime non conta l'ordine e dunque dovremo considerare come uguali tutte quelle disposizioni date da una permutazione dei
  [math] k [/math]
  elementi di quella prefissata

Per concludere dunque quante combinazioni ci sono in tutto dovremo solo dividere il numero di disposizioni di

oggetti su

posti per il numero di permutazioni di

oggetti:

Quel che otteniamo è il coefficiente binomiale di

su

, che è stato definito proprio a questo scopo. Per le combinazioni valgono perciò tutte le proprietà che sono già note per il coefficiente binomiale.

Come calcolare il numero di combinazioni di

[math] n [/math]

oggetti su

[math] k [/math]

posti con ripetizioni

Per trovare questa formula dovremo seguire un ragionamento del tutto diverso, articolato nei seguenti passaggi:

• In primo luogo ordiniamo gli
  [math] n [/math]
  oggetti da combinare assegnando loro dei nomi con numeri crescenti, del tipo
  [math]( e_1, e_2, l\dots, e_n )[/math]
  . Gli oggetti si possono a priori ordinare in qualsiasi modo vogliamo, quindi non facciamo altro che fissare arbitrariamente un ordinamento
• Osserviamo che dalla Definizione 1 segue che in una combinazione l'ordine in cui compaiono gli oggetti è irrilevante. Conveniamo allora di costruire la combinazione mettendo prima tutte le copie di
  [math]e_1[/math]
  , poi quelle di
  [math]e_2[/math]
  e così via, rispettando l'ordine dato agli oggetti nel punto 1
• Indichiamo ciascuna copia di
  [math]e_1[/math]
  che intendiamo usare nella combinazione con un cerchietto; mettiamo una virgola di separazione, poi indichiamo allo stesso modo le copie di
  [math]e_2[/math]
  che vogliamo inserire, e procediamo fino alla fine;
• Se non vogliamo inserire copie di un determinato oggetto, non inseriremo cerchietti e metteremo direttamente la nuova virgola di separazione
• In tal modo ricaviamo un codice per indicare le varie combinazioni in maniera univoca. Per esempio, supponendo che sia ( k = 7 ) e ( n = 4 ), le scritture seguenti indicano rispettivamente le combinazioni:

• Contare le combinazioni dunque equivalente al contare il numero di diversi ordini di cerchietti e virgole che possono essere formati. Notiamo che il numero di cerchi è sempre
  [math] k [/math]
  , poichè equivale al numero di posti, mentre il numero di virgole sempre
  [math] n - 1 [/math]
  , in quanto l'ultimo gruppo di oggetti non richiede una virgola
• Il risultato ricercato è perciò uguale al numero di permutazioni di
  [math] n + k - 1 [/math]
  oggetti organizzati in due sottoinsiemi di oggetti uguali, comprendenti rispettivamente
  [math] k [/math]
  ed
  [math] n - 1 [/math]
  oggetti:

Svolgimento di esercizi inerenti alla combinazione

Esempio 1: Quanti sottoinsiemi di 3 elementi esistono di un insieme che ne contiene 9?

Questo è il tipico caso nel quale si utilizzano le combinazioni: infatti vogliamo scegliere 3 elementi da 9, ovvero disporre 9 oggetti su 3 posti senza che conti l'ordine. Il risultato si ottiene con la formula precedentemente mostrata, poichè siccome un elemento può apparire una sola volta in ogni insieme non esistono ripetizioni:

Esempio 2: Quanti diversi risultati si possono ottenere lanciando contemporaneamente tre dadi a sei facce?

Si osservi che in questo caso ci sono 6 oggetti (i diversi risultati che possono scaturire dal lancio di un singolo dado), 3 posti (i dadi), non conta l'ordine (i dadi cadono in maniera casuale) e ci possono essere ripetizioni (due dadi diversi possono dare lo stesso risultato). Quindi occorre adoperare la formula delle combinazioni con ripetizione:

Per ulteriori approfondimenti sulle combinazioni vedi anche qua