Insiemistica - Definizioni

In questo appunto verranno approfondite le tematiche relative ai concetti di base che creano la branca dell'insiemistica di matematica.

La teoria degli insiemi

La teoria degli insiemi potrebbe sembrare banale al lettore che approccia l'argomento per la prima volta.

Tuttavia, la teoria degli insiemi è alla base anche del più abile programmatore o utilizzatore di machine learning nel mondo. Gli insiemi sono le fondamenta della matematica, di Algebra, analisi, logica, probabilità, ovvero tutte branche essenziali in moltissimi campi scientifici, e non solo. Dapprima sarà necessario andare a definire una serie di concetti, ovvero il concetto di elemento, insieme, sottoinsieme e di operazione tra gli insiemi. La parte finale sarà relativa alla rappresentazione grafica degli insiemi attraverso i diagrammi di Eulero Venn.

Definizione di elemento e di insieme e di sottoinsieme

Un elemento è un oggetto contenuto all’interno di un insieme.
Un insieme è una collezione, raggruppamento di elementi. Possono essere numeri, oggetti, persone…
L'insieme viene normalmente indicato con una lettera maiuscola: A, B, C,.....
Gli elementi di un insieme sono, invece, indicati con una lettera minuscola: a, b, c,....
Nello specifico un insieme è un qualsiasi raggruppamento di elementi. Devono valere una serie di proprietà e caratteristiche per poter parlare di insieme. Nello specifico le caratteristiche e proprietà sono le seguenti:

• Un insieme deve essere tale se è possibile andare a stabilire se un elemento appartiene ad esso o meno.
• Gli elementi dell'insieme devono essere unici e differenti gli uni tra gli altri.
• All'interno di un insieme non ha importanza ordine.
• Ogni elemento è rappresentano, o scritto, una sola volta.

A livello matematico, se si vuole andare ad osservare se un elemento appartiene o meno ad un insieme si indica nel seguente modo:

simbolo di appartenenza

simbolo di non appartenenza

Infine, è necessario andare a definire il concetto di Sottoinsieme. Lo si spiegherà attraverso un esempio di immediata
praticità. Indichiamo con A l'insieme degli italiani e con B l'insieme degli abruzzesi. E' evidente che ogni abruzzese è anche un italiano. In questo caso si dice che B è un SOTTOINSIEME di A, oppure che B è INCLUSO in A.
Più in generale possiamo affermare che B è un SOTTOINSIEME DI UN INSIEME A SE OGNI ELEMENTO DI B È ANCHE ELEMENTO DI A.

Insiemi finiti e Infiniti e vuoto

Un insieme è definito Finito se al suo interno sono contenuti uno o più elementi. Un insieme è finito se al suo interno contiene qualcosa che non è quantificabile. Nello specifico, un insieme è infinito nel momento in cui contiene infiniti elementi.
Un insieme vuoto è privo di elementi. Un insieme vuoto è un insieme finito, essendo quantificabili i suoi elementi, cioè nulli.

Rappresentazione degli insiemi

In matematica è importante essere in grado di rappresentare gli insiemi. I mezzi attraverso cui questi sono rappresentanti è essenzialmente uno solo, ovvero attraverso il Diagramma di Eulero-Venn (rappresentazione grafica). Esistono poi altri due metodi, ovvero la Rappresentazione Tabulare (o Elencazione) e la Rappresentazione caratteristica.

Rappresentazione Tabulare

La rappresentazione tabulare non è altro che una rappresentazione ad elenco, in cui l'insieme viene presentato come un elenco di elementi. Si procede elencando gli elementi dell'insieme:

Da cui si conclude che

sono gli elementi dell'insieme A di cui è composto.

Rappresentazione caratteristica

La rappresentazione caratteristica prevede invece una rappresentazione in cui si descrive l’elemento appartenente all’insieme indicando una sua proprietà specifica. Ad esempio, sia dato il seguente insieme:

La rappresentazione caratteristica è la seguente:

è una città

Dove x è un elemento generico dell'insieme A, mentre il fatto di essere una città è la sua caratteristica.

Rappresentazione Grafica: Diagramma di Eulero-Venn

La rappresentazione grafica attraverso il Diagramma di Eulero-Venn prevede una rappresentazione dell'insieme attraverso una linea chiusa, al cui interno verranno rappresentati gli elementi con dei puntini, o comunque verranno indicati visivamente al suo interno (Vedi figura sotto).

Proprietà degli insiemi

Ora introduciamo il concetto di cardinalità di un insieme finito. Si definisce cardinalità di un insieme finito il numero di elementi dell'insieme. Cardinalità dell'insieme vuoto è zero. Cardinalità dell'insieme dei numeri naturali è infinito.
La CARDINALITA' di tutti gli altri insiemi è un numero naturale.
Qui di seguito vengono presentate le proprietà principali di uguaglianza tra gli insiemi:

PROPRIETA' RIFLESSIVA. La proprietà riflessiva di un insieme A prevede che l'insieme A sia uguale a se stesso. Ovvero

[math]A = A [/math]
(A uguale ad A.)
PROPRIETA' SIMMETRICA. La proprietà simmetrica di un insieme A prevede che se l'insieme A è uguale all'insieme B allora l'insieme B è uguale all'insieme A.
PROPRIETA' TRANSITIVA. La proprietà transitiva di un insieme A se l'insieme A è uguale all'insieme B e l'insieme B è uguale all'insieme C allora l'insieme A è uguale all'insieme C. A uguale B e B uguale C implica che A = C.

Relazioni tra insiemi

L'ultimo step dell'appunto qui seguente è quello di andare a definire le possibili operazioni che si possono andare ad instaurare tra gli insieme e anche i rapporti o legami che possono esistere tra essi stessi. Di seguito le relazioni ed operazioni tra gli insiemi. Si considerino due insiemi distinti tra di loro A e B:

• L’insieme
  [math]A[/math]
  è uguale all’insieme
  [math]B[/math]
  :
  [math]A=B[/math]
  ;
• L’insieme
  [math]A[/math]
  è diverso dall’insieme
  [math]B[/math]
  :
  [math]A \neq B[/math]
  ;
• L’insieme
  [math]A[/math]
  è un insieme vuoto:
  [math]A=\emptyset[/math]
  ;
• L’insieme
  [math]A[/math]
  è incluso nell’insieme
  [math]B[/math]
  :
  [math]A \subset B[/math]
  .
• L’insieme
  [math]A[/math]
  è contenuto o uguale all’insieme
  [math]B[/math]
  :
  [math]A \subseteq B[/math]
  .
• L’insieme
  [math]A[/math]
  non è incluso nell’insieme
  [math]B[/math]
  :
  [math]A \not\subseteq B[/math]
  quindi nessun elemento di A appartiene a B, ovvero
  [math]\{ \text{se }\ a \in A \Rightarrow a \not\in B \}[/math]
  ;
• L’insieme
  [math]A[/math]
  include l’insieme
  [math]B[/math]
  :
  [math]A \supset B[/math]
  , è lo stesso di dire che
  [math]B \subset A[/math]
  .
• L’insieme
  [math]A[/math]
  è intersecato all’insieme
  [math]B[/math]
  :
  [math]A \cap B[/math]
  ;
• L’insieme
  [math]A[/math]
  è unito all’insieme
  [math]B[/math]
  :
  [math]A \cup B[/math]
  ;
• L’insieme complementare all’insieme
  [math]A[/math]
  :
  [math]\bar{A}[/math]
  .

Per ulteriori approfondimenti sugli insiemi, vedi qui

Per ulteriori approfondimenti sulle operazioni tra gli insiemi, vedi qui