Insiemi: definizioni principali ed esempi

In quest'appunto troverai delle informazioni riguardanti la teoria degli insiemi e le principali definizioni ad essa annesse. In fondo alla pagina è presente un esercizio svolto e commentato.

La teoria degli insiemi: cosa studia e i concetti fondamentali

La teoria degli insiemi è un importante branca della logica matematica che analizza ogni aspetto del concetto di insieme.
In tale disciplina si definisce insieme un raggruppamento di oggetti aventi una caratteristica in comune.

Tale definizione è considerata intuitiva e primitiva, poiché non può essere in alcun modo ricavata da concetti più semplici ed è ottenuta a valle dell'esperienza sensibile. L'insieme, quindi, è considerabile un'idea già insita nella natura umana.

Quando si parla di teoria degli insiemi, ci sono degli elementi che necessariamente devono essere citati. Essi sono gli elementi e i sottoinsiemi. Gli elementi sono gli oggetti presenti all'interno di un insieme o di un sottoinsieme, mentre i sottoinsiemi, cioè un insieme incluso in un altro insieme (ciò significa che ogni elemento dell'insieme contenuto è presente nell'insieme contenente). L'insieme "vocali" può essere considerato, ad esempio, sottoinsieme dell'insieme "alfabeto".

I sottoinsiemi possono essere di diverso tipo. Sono considerati sottoinsiemi propri quelli in cui è presente almeno un elemento nell'insieme contenente che non è presente nell'insieme contenuto. L'esempio precedentemente avanzato è un chiaro esempio di sottoinsieme improprio. Anche l'insieme vuoto può essere considerato un sottoinsieme proprio di qualsiasi insieme. Quando invece l'insieme contenuto corrisponde all'insieme contenente, si è al cospetto di un sottoinsieme proprio

Come si definiscono gli insiemi e le operazioni possibili

Come abbiamo già anticipato, gli insiemi sono dei raggruppamenti di oggetti aventi una caratteristica in comune. Essi possono essere indicati utilizzando diversi modi: a seconda della tipologia degli oggetti contenuti, un tipo di rappresentazione potrebbe essere più indicata per un'applicazione o viceversa.

Ciascun insieme può quindi essere definito:

• attraverso un elencazione, ossia scrivendo in maniera esplicita gli elementi separati da una virgola all'interno delle parentesi graffe. Questa tipologia di scrittura è indicata per insiemi aventi un numero limitato di elementi. Per esempio, l'insieme delle vocali scritte secondo questa metodologia è
  [math]F={A,E,I,O,U}[/math]
• per caratteristica, cioè indicando tra parentesi la proprietà che lega l'elemento del gruppo in questione. Questa scrittura è indicata per insiemi aventi un elevato numero di elementi. In questo caso, l'insieme delle vocali può essere scritto in questo modo
  [math]F=[/math]
  {
  [math]x|x[/math]
  è una delle cinque vocali}
• utilizzando i diagrammi di Eulero Venn, ossia esplicitando gli insiemi graficamente

Così come accade per i numeri, anche con gli insiemi è possibile eseguire delle operazioni, le quali restituiscono come risultato degli insiemi aventi delle specifiche caratteristiche. Esse sono:

• l'unione, la quale dà come risultato un insieme formato da tutti gli elementi dei due insiemi generatori. Per esempio, l'insieme "ricette onnivore" può essere considerato come l'unione degli insiemi "ricette vegetariane" e "ricette a base di carne".
• l'intersezione, che consente di ottenere un insieme formato dagli elementi in comune ai due insiemi generatori. L' insieme "ricette americane a base di carne" può essere considerato un insieme intersezione tra l'insieme "ricette americane" e l'insieme "ricette a base di carne"
• la differenza, la quale permette di ottenere un insieme formato dagli elementi dell'insieme minuendo ma non dal sottraendo. L'insieme "ricette vegetariane" può essere visto anche come l'insieme differenza tra le "ricette onnivore" e l'insieme "ricette vegetariane"
• il prodotto cartesiano, che dà come risultato un insieme formato da coppie ordinate prendendo elementi da entrambi gli insiemi

Esercizio svolto sull'insieme dei divisori di 15

Dato l' insieme

={

è un divisore di 15}, indica se fra i seguenti insiemi vi sono sottoinsiemi di

, specificando se essi siano propri o impropri.

I sottoinsiemi sono:

• [math]A={1,3,5,15}[/math]
• [math]B={1,2,3}[/math]
• [math]C={}[/math]
• [math]D={3,5}[/math]
• [math]E={1,3,5,10}[/math]

Svolgimento dell'esercizio

Osservando la lista precedente si può affermare con certezza che

non è un sottoinsieme di

perchè

non è divisore di

.

è un sottoinsieme di

, poiché l'insieme vuoto è sottoinsieme improprio di tutti gli insiemi.

è un sottoinsieme di

ed è proprio. Infine

non è un sottoinsieme di

, perché l'elemento

non appartiene ad

Per ulteriori approfondimenti sulla teoria degli insiemi vedi anche qui