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Combinatoria - Uguaglianze - Esercizi


In base a ciò che abbiamo studiato sulle uguaglianze, proviamo a risolvere degli esercizi semplici.
Olimpiadi della Matematica - Gara Distrettuale 2004 Biennio - Quesito 14
Quante sono le coppie di interi positivi (x,y) tali che:
[math]x^2+y^2-2004x-2004y+2xy-2005 = 0[/math]
?
Scomponendo il polinomio, si ottiene che:
[math](x+y)^2-2004(x+y) = 2005 -> (x+y)(x+y-2004) = 2005[/math]
L'unica possibilità è che x+y = 2005.
Le coppie sono
[math]k+n-1 \choose k[/math]
=
[math]2006 \choose 2005[/math]
= 2006
Dato che si chiedono interi positivi eliminiamo le coppie in cui x o y sono uguali a 0, e queste ultime sono 2.
La soluzione è 2006-2 = 2004.
Olimpiadi della Matematica - Giochi di Archimede 2008 Biennio - Quesito 11
Quante sono le terne di interi positivi (x,y, z) tali che:
[math]x^2+2xy+y^2-z^2=9[/math]
Scomponendo si ottiene che:
[math](x+y)^2-z^2=9 -----> (x+y+z)(x+y-z) = 9[/math]
Si rileva che necessariamente x+y+z = 9 e x+y-z = 1 (perché se i due valori fossero uguali, allora z = 0 e non sarebbe positivo).
Ne segue che z = 4.
Se x+y+z = 9 e z = 4, allora x+y = 5.
A questo punto, quante sono le coppie di interi positivi che danno 5?
[math]6 \choose 5[/math]
= 6. Elimino le coppie in cui x e y sono uguali a 0 e allora la soluzione è 6-2 = 4.
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