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Combinatoria - Disguaglianze - Teoria


Abbiamo studiato come calcolare i gruppi di numeri interi positivi che tra loro sommati danno un certo numero, e abbiamo rilevato che si può semplicemente calcolare con la seguente formula:
Sia a1+a2+a3+ ... + an = k, allora i gruppi di n numeri positivi che sommati tra loro danno k equivale a:
[math]k+n-1 \choose k [/math]
.
Analizziamo il seguente caso:
Quante sono le terne (a,b,c) di numeri interi positivi tali che:
[math]a + b + c \le; 10[/math]
?
A questo punto, in base a ciò che abbiamo studiato bisognerebbe fare una somma di binomiali ponendo k uguale a tutti i numeri interi positivi compresi tra 0 e 10.
Ma se vogliamo evitare di fare uno sforzo inutile, basta ragionarci un po' su.
Se
[math]a + b + c \le; 10[/math]
, significa che a+b+c può dare a volte 9 come può dare 5, 7 ecc...
Allora aggiungiamo un termine fittizio:
[math]a + b + c + i = 10[/math]
. Dove i rappresenta, se vogliamo fare un esempio, nel caso in cui voglio distribuire al massimo x caramelle a y bambini, la quantità di caramelle unità.
Usando la formula imparata in precedenza, le terne (a,b,c) tali che
[math]a + b + c ≤ 10[/math]
sono:
[math]13 \choose 10[/math]
= 286
Conclusione:
In una somma algebrica di interi positivi a1+a2+a3+ ... + an ≤ k,
i gruppi di n numeri sono dati da
[math]k+n \choose k[/math]
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