Due monete vengono lanciate più volte finché entrambe abbiano ottenuto testa almeno una volta.
Qual è la probabilità che occorrano [math]k[/math] lanci?
La probabilità richiesta equivale a
[math]P({\text{la prima ottiene testa per la prima volta al k-esimo lancio}}\text{ } \cap \text{ } {\text{la seconda aveva già ottenuto testa almeno una volta nei k-1 lanci precedenti}}) +[/math]
[math]+ P({\text{la seconda ottiene testa per la prima volta al k-esimo lancio}}\text{ } \cap \text{ } {\text{la prima aveva già ottenuto testa almeno una volta nei k-1 lanci precedenti}}) +[/math]
[math]+ P({\text{entrambe ottengono testa per la prima volta al k-esimo lancio}})[/math]
Considerando che entrambe le monete non sono truccate, perciò hanno la stessa probabilità di ottenere testa o croce, e considerando che il lancio della prima moneta e della seconda moneta sono eventi indipendenti, si ottiene
[math]2 P({\text{la prima ottiene testa per la prima volta al k-esimo lancio}}) P({\text{la seconda aveva ottenuto almeno una volta testa nei k-1 lanci precedenti}}) +[/math]
[math]+P({\text{entrambe ottengono testa per la prima volta al k-esimo lancio}})[/math]
Dato che
[math]P({\text{la prima ottiene testa per la prima volta al k-esimo lancio}}) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2})^k[/math]
[math]P({\text{la seconda aveva ottenuto almeno una volta testa nei k-1 lanci precedenti}}) = [/math]
[math] = 1 - P({\text{la seconda non aveva mai ottenuto testa nei k-1 lanci precedenti}}) = 1 - (\frac{1}{2})^{k-1}[/math]
[math]P({\text{entrambe ottengono testa per la prima volta al k-esimo lancio}}) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2})^{k-1} \cdot \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2})^{k-1} = (\frac{1}{4})^k[/math]
Pertanto la probabilità richiesta vale:
[math]2 \cdot (\frac{1}{2})^{k-1} \cdot (1 - (\frac{1}{2})^{k-1}) + (\frac{1}{4})^k = (\frac{1}{2})^{k-1} - (\frac{1}{4})^{k-1} + (\frac{1}{4})^k[/math]
FINE
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