Applicazioni lineari

Applicazioni lineari

Siano V e W due spazi vettoriali; un’applicazione f: V → W si dice lineare se

f(v₁ + v₂) = f(v₁) + f(v₂), f(λv) = λf(v)

per ogni v₁, v₂ ∈ V e λ ∈ K.

Esempio

Sia f: R³ → R² data da f(x, y, z) = (x + 1, 0). Allora f non è un’applicazione lineare; infatti f((x₁, y₁, z₁) + (x₂, y₂, z₂)) = (x₁ + x₂ + 1, 0) che è diverso da (x₁ + x₂ + 2, 0) = f(x₁, y₁, z₁) + f(x₂, y₂, z₂).

Esempio

Sia f: R² → R² data da f(x, y) = (3x, 2y). Allora si verifica subito che f è un’applicazione lineare.

Le seguenti proprietà elementari delle applicazioni lineari tra spazi vettoriali si verificano direttamente usando la definizione di applicazione lineare stessa.

f(0) = 0, f(−v) = −f(v), f(λ₁v₁ + ··· + λ_nv_n) = λ₁f(v₁) + ··· + λ_nf(v_n)

per ogni v₁, v₂, . . . , v_n ∈ V e λ₁, . . . , λ_n ∈ K.

Data un’applicazione lineare f: V → W denotiamo con

N(f) = {v ∈ V: f(v) = 0}.

L’insieme N(f) è detto anche nucleo di f, ed è un sottospazio vettoriale di V.

Infatti se λ₁, λ₂ ∈ K e v₁, v₂ ∈ V si ha f(λ₁v₁ + λ₂v₂) = λ₁f(v₁) + λ₂f(v₂) = 0 + 0 = 0.

Allo stesso modo si verifica che anche l’insieme immagine di f, ovvero l’insieme

Im(f) = {w ∈ W: ∃v ∈ V: f(v) = w}

risulta essere un sottospazio vettoriale di W. Ovviamente un’applicazione lineare f: V → W è suriettiva se e solo se dim Im(f) = dim W. La seguente proposizione fornisce invece una caratterizzazione delle applicazioni lineari iniettive.

Proposizione

Sia f: V → W un’applicazione lineare. Allora f è iniettiva se e solo se N(f) = {0}.

Dimostrazione. Supponiamo f iniettiva; allora per ogni v₁, v₂ ∈ V si ha

f(v₁) = f(v₂) ⇒ v₁ = v₂.

Siano v₁, v₂ ∈ N(f); allora f(v₁) = f(v₂) = 0, e quindi v₁ = v₂, da cui v₁ = v₂ = 0, dovendo essere N(f) spazio vettoriale.

Supponiamo ora N(f) = {0}. Siano v₁, v₂ ∈ V tali per cui f(v₁) = f(v₂). Allora f(v₁ − v₂) = 0, per cui v₁ − v₂ ∈ N(f). Dunque v₁ − v₂ = 0 e infine v₁ = v₂.