Applicazioni lineari

7 Applicazioni lineari →

Siano V e W due spazi vettoriali; un’applicazione f : V W si dice lineare se

f (v + v ) = f (v ) + f (v ), f (λv) = λf (v)

1 2 1 2

∈ ∈

per ogni v, v , v V e λ K.

1 2 3 2

→

Sia f : data da f (x, y, z) = (x + 1, 0). Allora f non è

Esempio. R R

un’applicazione lineare; infatti f ((x , y , z ) + (x , y , z )) = (x + x + 1, 0) che è

1 1 1 2 2 2 1 2

diverso da (x + x + 2, 0) = f (x , y , z ) + f (x , y , z ).

1 2 1 1 1 2 2 2

2 2

→

Sia f : data da f (x, y) = (3x, 2y). Allora si verifica subito che

Esempio. R R

f è un’applicazione lineare.

Le seguenti proprietà elementari delle applicazioni lineari tra spazi vettoriali si

verificano direttamente usando la definizione di applicazione lineare stessa.

−f · · · · · ·

f (0) = 0, f (−v) = (v), f (λ v + + λ v ) = λ f (v ) + + λ f (v )

1 1 n n 1 1 n n

∈ ∈

per ogni v, v , . . . , v V e λ , . . . , λ K.

1 n 1 n

→

Data un’applicazione lineare f : V W denotiamo con

{v ∈

N (f ) = V : f (v) = 0}.

L’insieme N (f ) è detto anche nucleo di f , ed è un sottospazio vettoriale di V .

∈ ∈

Infatti se λ , λ e v , v V si ha f (λ v + λ v ) = λ f (v ) + λ f (v ) =

K

1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2

0 + 0 = 0. Allo stesso modo si verifica che anche l’insieme immagine di f , ovvero

l’insieme {w ∈ ∃v ∈

Im(f ) = W : V : f (v) = w}

risulta essere un sottospazio vettoriale di W . Ovviamente un’applicazione lineare

→

f : V W è suriettiva se e solo se dim Im(f ) = dimW . La seguente Proposizione

fornisce invece una caratterizzazione delle applicazioni lineari iniettive.

→

Sia f : V W un’applicazione lineare. Allora f è iniettiva

Proposizione. {0}.

se e solo se N (f ) = ∈

Dimostrazione. Supponiamo f iniettiva; allora per ogni v , v V si ha

1 2

⇒

f (v ) = f (v ) v = v .

1 2 1 2

∈

Siano v , v N (f ); allora f (v ) = f (v ) = 0, e quindi v = v , da cui v = v = 0,

1 2 1 2 1 2 1 2

dovendo essere N (f ) spazio vettoriale.

{0}. ∈

Supponiamo ora N (f ) = Siano v , v V tali per cui f (v ) = f (v ).

1 2 1 2

− − ∈ −

Allora f (v v ) = 0, per cui v v N (f ). Dunque v v = 0 e infine v = v .

1 2 1 2 1 2 1 2

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