Applicazione lineari e matrici

8 Applicazioni lineari e matrici

Siano B e B' due basi rispettivamente negli spazi vettoriali V e W di dimensioni n ed m, e sia f: V -> W un'applicazione lineare. Allora, se denotiamo con B = {v₁, ..., v_n} e B' = {w₁, ..., w_m}, si ha

f(v_j) = Σ_i=1^m a_ijw_i,   j = 1, ..., n.

Si viene quindi a creare una tabella di elementi di K dati da a_ij; diciamo che tale tabella è una matrice con m righe e n colonne, o anche una matrice di tipo m x n.

La matrice A = (a_ij) rappresenta rispetto alle basi B e B' l'applicazione lineare f, e la scriveremo anche come

A = ( a₁₁   ...   a_1n ;   ...   ... ;   a_m1   ...   a_mn ).

In particolare si ha che, se X denota il vettore colonna delle coordinate di v nella base B e Y rappresenta il vettore riga delle coordinate di f(v) rispetto alla base B', allora

Y = AX

dove il prodotto è eseguito riga per colonna, ovvero

(y₁, ..., y_m)^T = ( a₁₁   ...   a_1n ;   ...   ... ;   a_m1   ...   a_mn )(x₁, ..., x_n)^T = (a₁₁x₁ + ... + a_1nx_n, ... , a_m1x₁ + ... + a_mnx_n)^T.

Esempio

Sia f: R² -> R³ l'applicazione lineare definita da f(x, y) = (0, y - x, x + 2y). Sia B = {(1, 2), (1, 0)} e sia B' = {(1, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}. Allora, dal momento che

f(1, 2) = (0, 1, 0) + 5(0, 0, 1),    f(1, 0) = -(0, 1, 0) + (0, 0, 1)

si ha che la matrice che rappresenta f rispetto alle basi B e B' è data da

( 0   0 ;   1   -1 ;   5   1 ).

Il vettore generico (x, y) ha coordinate (y/2, x - y/2) rispetto alla base B e dunque le coordinate di f(x, y) rispetto alla base B' sono date dal vettore riga

( 0   0 ;   1   -1 ;   5   1 )(y/2, x - y/2)^T = (0, y - x, 2y + x)^T.

Dunque si deve avere f(x, y) = (y - x)(0, 1, 0) + (2y + x)(0, 0, 1) = (0, y - x, 2y + x)

che di fatto coincide con l'espressione di f.

Le operazioni tra applicazioni lineari si trasportano dunque sulle matrici costruite fissando le due basi negli spazi vettoriali dati.

Somma e differenza di applicazioni lineari

1) Se f, g : V -> W sono due applicazioni lineari con matrici A e B rispetto alle basi B e B' date, allora l'applicazione f ± g si rappresenta con la matrice A ± B data da

A ± B = (a₁₁ ... a_1n; ... ... ...; a_m1 ... a_mn) ± (b₁₁ ... b_1n; ... ... ...; b_m1 ... b_mn) =

(a₁₁ ± b₁₁ ... a_1n ± b_1n; ... ... ...; a_m1 ± b_m1 ... a_mn ± b_mn).

Composizione di applicazioni lineari

2) Se f : V -> W e g : Im(f) -> Z sono due applicazioni lineari rappresentate dalle matrici A e A' rispetto alle basi B di V, B' di W e B'' di Z, allora la matrice che rappresenta l'applicazione lineare g o f rispetto alle basi B e B'' è data dal prodotto righe per colonne A'A, ovvero da

(b₁₁ ... b_1m; ... ... ...; b_p1 ... b_pm)(a₁₁ ... a_1n; ... ... ...; a_m1 ... a_mn) =

(b₁₁a₁₁ + ... + b_1ma_m1 ... b₁₁a_1n + ... + b_1ma_mn; ... ... ...; b_p1a₁₁ + ... + b_pma_m1 ... b_p1a_1n + ... + b_pma_mn).

Osserviamo che il prodotto righe per colonne della matrice A' di tipo p × m e la matrice A di tipo m × n si può effettuare solamente dal momento che il numero di colonne di A' coincide con il numero di righe di A; la matrice A'A viene ad essere una matrice di tipo p × n.

Invertibilità delle matrici

Una delle proprietà più importanti delle applicazioni lineari è l'invertibilità: come si trasporta questa proprietà sulla matrice che rappresenta l'applicazione lineare rispetto a due basi fissate? Una matrice A di tipo n × n è invertibile se e solo se esiste una matrice di tipo n × n denotata con A^-1 tale per cui si abbia

AA^-1 = A^-1A = I

essendo I la matrice identica n × n, ovvero la matrice data da

I = (1 0 ... 0; 0 1 ... 0; ... ... ... ...; 0 0 ... 1).

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Per costruzione l'invertibilità di un'applicazione lineare equivale all'invertibilità della matrice che la rappresenta rispetto ad una base arbitrariamente fissata. Se f : V -> W è biiettiva e B e B' sono due basi qualsiasi di V e W rispettivamente, allora la matrice C che rappresenta f^-1 è l'inversa della matrice A che rappresenta f. Infatti si ha f^-1 o f = f o f^-1 = Id da cui CA = AC = I e quindi C = A^-1.

Più precisamente si ha il seguente Teorema.

Teorema

Sia f : V -> W un'applicazione lineare tra spazi vettoriali della stessa dimensione. Allora f è biiettiva se e solo se la matrice che rappresenta f rispetto a due basi qualsiasi B e B' arbitrariamente fissate è invertibile.

Dimostrazione. Se f è biiettiva allora esiste f^-1 : W -> V rappresentata da C tale per cui CA = AC = I e dunque A è invertibile.

Viceversa, se A^-1 è l'inversa di A, allora A^-1 rappresenta un'applicazione lineare g : W -> V rispetto alle basi B' e B. Ma allora si ha g o f = f o g = Id per cui g = f^-1 e quindi f è biiettiva.

Determinante

Occorre a questo punto un test da applicare ad una matrice quadrata A che ci consenta di dire se la matrice in questione è invertibile o no; tale studio porta alla nozione più importante di tutta l'algebra delle matrici, che è la nozione di determinante. Definiamo il determinante per ricorsione: se A = (a) è una matrice di tipo 1 x 1, allora A è costituita da un solo elemento e per definizione det A = a.

Sia A una matrice di tipo 2 x 2 data da

A = ( a₁₁   a₁₂ a₂₁   a₂₂ ).

Allora poniamo det A = a₁₁a₂₂ - a₁₂a₂₁. Si procede ora per ricorsione; se

A = ( a₁₁   ...   a_1n ...    ...    ... a_n1   ...   a_nn ).

definiamo C_ij = (-1)^i+j det (M_ij) dove M_ij è la matrice ottenuta da A eliminando la i-esima riga e la j-esima colonna. Le sottomatrici quadrate M_ij estratte da A si dicono anche minori estratti da A. Si dimostra che fissando i o j rispettivamente i valori

C_i1 + ... + C_in,     C_1j + ... + C_nj

sono tutti uguali, e per definizione sono pari a det A.

Esempio

Sia data la matrice

A = ( 0   -2   3 1   6   -3 1   1   0 ).

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Allora si ha sviluppando lungo la prima riga:

det A = 0(-1)² det (6   -3; 1   0) - 2(-1)³ det (1   -3; 1   0) + 3(-1)⁴ det (1   6; 1   1) =

= 6 - 15 = -9.

Data una matrice A di tipo m × n denotiamo con A^t la matrice di tipo n × m ottenuta da A scambiando le righe con le colonne; A^t viene anche detta la matrice trasposta di A. Finalmente si ha la seguente Proposizione, la cui dimostrazione, che non facciamo, procede solo per conto diretto.

Proposizione. Sia A una matrice di tipo n × n; allora la matrice inversa di A è data dalla matrice

(C_ij / det A)^t.

In particolare A è invertibile se e solo se det A ≠ 0. In tal caso diciamo anche che la matrice A è non singolare.

Esempio

Sia f: R² → R² l'applicazione lineare definita, rispetto alla base canonica di R², dalla matrice

A = (1   0; -3   1).

Allora, dal momento che det A = 1 ≠ 0, si ha che f è biiettiva.