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Un procedimento analogo a quello seguito per ricavare il metodo di Chiò per il calcolo di un determinante permette di ottenere un algoritmo semplice per la risoluzione dei sistemi lineari, utilizzando solo determinanti del 2° ordine. In questo articolo si dà una dimostrazione del metodo e si presenta un foglio excel per risolvere i sistemi.
Scarica il [link href="https://www.skuola.net/materiale/staticfiles/approfondimenti/Gauss-Chio.xls"]foglio Excel per la risoluzione dei sistemi lineari con il metodo di Gauss-Chio[/link].
K
a x a x a x a x b
11 1 12 2 13 3 1 1
n n
⎪ + + + + =
K
K
a x a x a x a x b
⎪ 21 1 22 2 23 3 2 2
n n
⎪ + + + + =
⎨ K
K
a x a x a x a x b
31 1 32 2 33 3 3 3
n n
⎪
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
⎪
⎪ + + + + =
K
K
⎩ a x a x a x a x b
1 1 2 2 3 3
m m m mn n m
è equivalente al sistema
+ + + + =
⎧ K
K
a x a x a x a x b
11 1 12 2 13 3 1 1
n n
⎪ ( )
+ + + =
1 ( 1 )
( 1 ) ( 1 ) K
a x a x a x b
⎪ 22 23
2 3 2 2
n n
⎪ a a a b
( )
( ) ( ) ( ) = =
+ + + = ( 1 )
( 1 ) 11 1 11 1
1 1 1 1
⎨ k
K ove e
a b
a x a x a x b
32 33 3 n hk
2 3 3
n h a b
a a
⎪ 1
1 h h
h hk
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
⎪
⎪ ( ) ( )
+ + + = ( 1 )
1 1 ( 1 )
K
a x a x a x b
⎩ 2 3
m m mn
2 3 n m
del 2° ordine della matrice completa del sistema ( deve essere diverso da
sono tutti i minori orlati di a a
11 11
zero e 2 ≤ ≤ m, 2 ≤ k ≤ n).
h DIMOSTRAZIONE
Dato il sistema
+ + + + =
⎧ K
K
a x a x a x a x b
11 1 12 2 13 3 1 1
n n
⎪ + + + + =
K
K
a x a x a x a x b
⎪ 21 1 22 2 23 3 2 2
n n
⎪ + + + + =
⎨ K
K
a x a x a x a x b
31 1 32 2 33 3 3 3
n n
⎪
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
⎪
⎪ + + + + =
K
K
⎩ a x a x a x a x b
1 1 2 2 3 3
m m m mn n m
se diverso da zero, altrimenti si scambia la prima equazione con un’altra che
si divide la prima riga per a 11,
ha il coefficiente di diverso da zero.
x 1
Si ottiene:
⎧ a a
a b
+ + + + =
K
K
13 1
12 1
n
x x x x
⎪ 2 3
1 n
a a a a
⎪ 11 11 11 11
+ + + + =
⎪ K
K
a x a x a x a x b
21 1 22 2 23 3 2 2
n n
⎪ + + + + =
⎨ K
K
a x a x a x a x b
31 1 32 2 33 3 3 3
n n
⎪
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
⎪ + + + + =
⎪ K
K
a x a x a x a x b
1 1 2 2 3 3
m m m mn n m
⎪
⎩
Si somma alla 2° equazione la 1° moltiplicata per , si somma alla 3° equazione la 1° moltiplicata per
a
– 21
, ................., si somma all’ultima equazione la prima moltiplicata per .
a a
– –
3 m
1 1
Si ottiene il seguente sistema equivalente:
⎧ + + + + =
K
K
a x a x a x a x b
11 1 12 2 13 3 1 1
n n
⎪ a a
a b
⎪ − + − + + − = −
( ) ( ) ( )
13 1
K
K
K
12 1
n
a a x a a x a a x b a
⎪ 22 21 2 23 21 3 2 21 2 21
n n
a a a a
11 11 11 11
⎪
⎪ a a
a b
− + − + + − = −
( ) ( ) ( )
⎨ 13 1
K
K
K
12 1
n
x a a x b a
a a x a a
32 31 2 33 31 3 3 31 3 31
n n
a a a a
⎪ 11 11 11 11
⎪ K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
⎪
⎪ a a
a b
− + − + + − = −
( ) ( ) ( )
K
K
K
13 1
12 1
n
a a x a a x a a x b a
⎪ 2 1 2 3 1 3 1 1
m m m m mn m n m m
⎩ a a a a
11 11 11 11
Moltiplicando tutte le equazioni tranne la prima per si ha:
a 11
+ + + + =
⎧ K
K
a x a x a x a x b
11 1 12 2 13 3 1 1
n n
⎪ − + − + + − = −
( ) ( ) ( )
K
K
K
a a a a x a a a a x a a a a x a b a b
⎪ 11 22 21 12 2 11 23 21 13 3 11 2 21 1 11 2 21 1
n n n
⎪ − + − + + − = −
( ) ( ) ( )
⎨ K
K
K
a a a a x a a a a x a a a a x a b a b
11 32 31 12 2 11 33 31 13 3 11 3 31 1 11 3 31 1
n n n
⎪ K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
⎪
⎪ − + − + + − = −
( ) ( ) ( )
K
K
K
⎩ a a a a x a a a a x a a a a x a b a b
11 2 1 12 2 11 3 1 13 3 11 1 1 11 1 1
m m m m mn m n n m m
che si può anche scrivere nel modo seguente:
+ + + + =
⎧ K
K
a x a x a x a x b
11 1 12 2 13 3 1 1
n n
⎪ ( )
+ + + =
1 ( 1 )
( 1 )
( 1 ) K
a x a x a x b
⎪ 23
22 3 2 2
2 n n
⎪ a a a b
( )
( ) ( ) ( ) = =
+ + + = ( 1 )
( 1 ) 11 1
11 1
1
1 1 1
⎨ k
K ove e
a b
a x a x a x b
32 33 3 n hk
2 3 3 h
n a b
a a
⎪ 1
1 h h
h hk
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
⎪
⎪ ( ) ( )
+ + + = ( 1 )
( 1 )
1
1 K
a x a x a x b
⎩ 3
2
m m mn
3
2 n m
sono tutti i minori orlati del 2° ordine di della matrice completa del sistema (2 ≤ ≤ m, 2 ≤ k ≤ n).
a h
11
---------
Al sistema formato dalle equazioni aventi per coefficienti i minori del 2° ordine si può applicare lo
m-1
stesso procedimento per cui il calcolo può essere organizzato nel seguente modo:
Esempio n° 1
− − + = −
⎧
3 2 1
x x x x
1 2 3 4
⎪ − + =
2 2 5
⎪ x x x
1 2 4
⎨ − + =
2 3 0
x x x
⎪ 2 3 4
⎪ + + + = 6
⎩ x x x x
1 2 3 4
x x x x b
1 2 3 4
3 -2 -1 1 -1
2 -1 0 2 5
0 1 -2 3 0
1 1 1 1 6
1 2 4 17
a) 3 -6 9 0
5 4 2 19
-12 -3 -51
b) -6 -18 -66
198 486
• L’ultima riga ha il seguente significato: 198x =486 da cui x =27/11;
4 4
• sostituendo tale valore nella riga b) -6x -18 x =-66 si trova il valore di x ; risalendo si trova il
3 4 3
valore delle altre incognite;
• si possono fare delle semplificazioni nel corso del procedimento: prima di passare oltre si può, ad
esempio, dividere per 3 la riga a).
Esempio n° 2
− =
⎧ 2 5 12
x y
⎪ − − + =
3 4 6
x y z
⎪
⎪ + − = −
9 18
⎨ x y z
⎪ − − =
5 6
x y z
⎪
⎪ + − = −
11 7 3 6
⎩ x y z
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