La simmetria come metodo d'analisi della realtà

Istituto di istruzione superiore “B. Pinchetti” Tirano

Sezione liceo scientifico – Piano nazionale informatica

Esame di Stato A.S. 2006 - 2007

Tesina

“La simmetria come metodo d’analisi della realtà”

Bondiolotti Fulvio

Candidato:

5^A

Classe: 1

Candidato Bondiolotti Fulvio

Titolo: La simmetria come metodo d’analisi della realtà

Filosofia

Schema di argomento: cenni alla teoria cosmologica di Platone; la psiche e i sogni secondo S. Freud; Popper e la falsificabilità.

Fisica: Einstein, relatività ristretta e generale, gli invarianti fisici; la teoria delle stringhe; il principio di Curie; cenni alla supersimmetria.

Letteratura italiana: Baudelaire e il simbolismo.

Matematica: simmetria in algebra e geometria; la struttura del gruppo; gruppo diedrale e gruppo ciclico; i solidi platonici; la teoria dei nodi; la tassellatura di Penrose.

Scienze: caratteristiche dei minerali; la fullerite; i minerali silicatici; la chiralità; cenni ai quasicristalli.

Storia dell’arte: il surrealismo; “Corpus Hypercubus” e “Ultima cena” di Salvador Dalí; “Guernica” di Picasso; cenni ai disegni di Leonardo Da Vinci nel De divina Proporzione; cenni alle tavole di Escher.

Testi consultati

Stephen Hawking, “La grande storia del tempo”, Rizzoli.

Umberto Bottazzini, “Storia della simmetria dall’armonia alle leggi” (25/02/03), “Simmetrie del tutto naturali” (7/11/03), Il Sole 24 Ore.

Giancarlo Marconi, “Elogio della simmetria”, istituto FRAE-CNR.

“La chiralità dei pesticidi”, “Un mondo di mancini”, “La mano sinistra della vita”, Le Scienze.

Seminario “Sinistra e destra: le basi molecolari della chiralità biologica” di Lorenzo Di Bari, chimica organica, Università di Pisa (Rovereto, Trento, 5-11-06).

Progetto Polymath, www2.polito.it/didattica/polymath/html.

The official M.C. Escher website, www.mcescher.com.

“Un mondo fatto a stringhe”, www.focus.it.

Palmieri-Parotto, “Il globo terrestre”, Zanichelli.

Bergamaschini-Marazzini-Mazzoni, “L’indagine del mondo fisico”, Carlo Signorelli Editore.

Baldi-Giusso-Razetti-Zaccaria, “Dal testo alla storia dalla storia al testo”, Paravia.

Maraschini-Palma, “Format,spe”, Paravia.

Adorno-Mastrangelo, “L’arte”, Casa editrice G. D’Anna.

Abbagnano-Fornero, “Protagonisti e Testi della filosofia”, Paravia.

Curtis-Barnes, “Invito alla biologia”, Zanichelli.

Wikipedia l’enciclopedia libera, it.wikipedia.org/wiki

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Mappa concettuale

La simmetria

La simmetria in matematica

La simmetria in algebra; la simmetria in geometria

La simmetria nei poligoni; la simmetria nei poliedri

I solidi platonici: fondamenta del mondo

Salvador Dalí e la geometria; surrealismo, Freud e Baudelaire

I minerali e le loro caratteristiche

La geometria dei minerali; l’importanza della struttura del gruppo silicatico

Dall’icosaedro al fullerene C 60; la simmetria in fisica

Einstein, dissimmetrie e invarianti

Simmetria di traslazione

Simmetria di rotazione

Simmetria di riflessione

Chiralità; la chiralità in chimica

La chiralità in matematica

La teoria dei nodi; la teoria delle stringhe

Popper e il principio di falsificabilità

Picasso rompe la simmetria; il mondo che ci circonda è veramente così simmetrico?

Nuove scoperte e Susy

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La simmetria come metodo d’analisi della realtà

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Indice

La simmetria .......................................................................................................... 6

La simmetria in matematica......................................................................... 6

Simmetrie in algebra .................................................................................... 6

Simmetrie in geometria................................................................................ 7

La simmetria nei poligoni ........................................................................... 8

La simmetria nei poliedri.......................................................................... 11

I solidi platonici: fondamenta del mondo..................................... 12

Surrealismo, Freud e Baudelaire ........................................................ 14

Salvador Dalí e la geometria............................................................... 15

I minerali e le loro caratteristiche................................................. 17

La geometria dei minerali ....................................................................... 17

Dall’icosaedro al fullerene C 60........................................................ 18

L’importanza della struttura del gruppo silicatico............ 19

La simmetria in fisica ..................................................................................... 21

Einstein, dissimmetrie e invarianze.................................................... 22

Simmetria di traslazione ......................................................................... 25

Simmetria di rotazione .............................................................................. 26

Simmetria di riflessione............................................................................ 26

Chiralità ............................................................................................................ 27

La chiralità in chimica .............................................................................. 27

La chiralità in matematica .................................................................... 31

La teoria dei nodi.......................................................................................... 32

La teoria delle stringhe .......................................................................... 33

Popper e il principio di falsificabilità .............................................. 34

Picasso rompe la simmetria........................................................................ 35

Il mondo che ci circonda è veramente simmetrico? ................ 36

Nuove scoperte e Susy................................................................................ 37

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La simmetria

Il termine deriva dal greco symmetros, che significa ben commisurato, ben proporzionato, e che anticamente veniva usato sia in senso morale sia in senso geometrico e spaziale. Euclide, infatti, lo usava in relazione ai segmenti commensurabili; Aristotele, invece, con questo termine si riferisce al giusto mezzo a cui dovrebbero tendere gli uomini virtuosi nelle loro azioni; nel linguaggio moderno il termine ha perso i suoi connotati morali, ma ne ha mantenuto quelli estetici, con significato corrispondente all’eleganza delle proporzioni, all’armonia e alla gradevolezza, e quelli puramente scientifici della geometria e della matematica, per le quali il discorso sulla simmetria si fa più rigido e rigoroso.

Spesso non ci rendiamo conto che la simmetria esterna delle decorazioni, dell’architettura, dei motivi ornamentali prodotti dall’uomo, è indizio di una simmetria strutturale ben più profonda, che è possibile cogliere soltanto dal punto di vista della matematica, che ne è la radice.

Quest’ultima, infatti, può offrirci una larghezza di sguardo sufficiente a trovare il ritmo nascosto in forme all’apparenza tanto diverse e aiutarci a scoprire una chiave di lettura significativa del mondo che ci circonda.

La simmetria in matematica

Nel linguaggio matematico la parola simmetria si riferisce alla proprietà di un oggetto di rimanere invariato e indistinguibile nello spazio e nel tempo qualora sia sottoposto ad una serie di operazioni, dette appunto di simmetria, che consistono in movimenti rigidi che spostano e ripetono la figura senza alterare le sue dimensioni.

Si possono distinguere simmetrie in algebra e simmetrie in geometria.

Simmetrie in algebra

Simmetria

Una permutazione in un’espressione matematica (ad esempio una formula o un’equazione, ma anche una relazione binaria o una matrice) contenente delle variabili è una di queste che lascia invariata l’espressione.

Ad esempio, nel polinomio

x² + y² + z²

ogni permutazione delle variabili è una simmetria.

Permutazione

N.B. Una permutazione è un modo di combinare n oggetti distinti scambiandoli di posizione, come nell’anagrammare una parola.

In termini matematici una permutazione di un insieme X si definisce p: X → X.

Una funzione è biiettiva se e solo se è contemporaneamente iniettiva e suriettiva.

Una funzione f: X → X è biiettiva se e solo se è invertibile.

Una funzione si dice iniettiva se elementi distinti del dominio hanno un’immagine distinta, o equivalentemente se ad ogni elemento del codominio corrisponde al più un elemento del dominio; una funzione si dice suriettiva quando l’immagine coincide con il codominio, ovvero quando ogni elemento y del codominio è immagine di almeno un punto del dominio.

Dal momento che una permutazione è una funzione biiettiva, due permutazioni p e p’ possono quindi essere composte, ed il risultato è ancora una permutazione.

L’insieme S(X) delle permutazioni di X con l’operazione di composizione forma un gruppo, detto gruppo simmetrico.

L’elemento neutro è la permutazione che lascia fissi tutti gli elementi.

Perciò nel caso delle simmetrie in algebra, esse formano un gruppo, che è sottogruppo del gruppo simmetrico di tutte le permutazioni delle variabili.

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Simmetrie in geometria

Una simmetria di una figura geometrica è una trasformazione che lascia la figura invariata.

Una tale definizione dipende da cosa si intende per “figura geometrica” e “trasformazione”.

Le “trasformazioni” formano un gruppo con l’operazione di composizione, e le simmetrie formano un sottogruppo, detto gruppo delle simmetrie della figura.

In altre parole, si verificano i fatti seguenti:

• Fra le simmetrie di un oggetto, c’è sempre l’identità: è la trasformazione che lascia tutti i punti fermi;
• La composizione di due simmetrie è sempre una simmetria;
• Una simmetria ha sempre una inversa, che è ancora una simmetria.

Gruppo è una struttura algebrica formata da un insieme con un’operazione binaria che soddisfa alcuni assiomi.

È quindi un insieme G munito di una operazione binaria *, che ad ogni coppia di elementi a, b di G associa un elemento, che indichiamo con a * b, appartenente a G, rispettando i seguenti assiomi:

• L’insieme G è chiuso rispetto all’operazione *; ∈;
• L’operazione * ha la proprietà associativa (∀ a, b, c ∈ G, (a*b)*c=a*(b*c));
• Nell’insieme G esiste l’elemento neutro e rispetto all’operazione * (e appartenente a G è l’elemento neutro se a * e = e * a = a per ogni a appartenente a G);
• Per ogni a appartenente a G esiste un b appartenente a G definito come l’inverso di a tale che a*b=b*a=e.

Un gruppo si chiama commutativo (o abeliano) se vale anche a * b = b * a per ogni coppia a, b di elementi di G.

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I punti fissi sono i punti della figura geometrica che restano fermi in una simmetria.

Se esiste un solo punto fisso (come accade, ad esempio, in una rotazione nel piano), questo è detto centro della simmetria, mentre se i punti fissi formano una retta (come in una riflessione nel piano, o una rotazione nello spazio) questa è l’asse della simmetria.

Alcune trasformazioni (ad esempio le traslazioni) non hanno punti fissi.

Una figura piana può avere più assi di simmetria: in questo caso, questi si intersecano tutti in un punto.

Ad esempio, un quadrato ha 4 assi di simmetria, che si intersecano nel centro.

Una figura solida, come un poliedro, può avere degli assi di simmetria (in presenza di rotazioni) o dei piani di simmetria (in presenza di riflessioni).

Ad esempio, un parallelepipedo ha almeno 3 assi di simmetria e 3 piani di simmetria.

Nella geometria euclidea, una figura geometrica è un qualsiasi sottoinsieme dello spazio euclideo (ad esempio, del piano o dello spazio tridimensionale).

Sono quindi figure geometriche ad esempio i poligoni o le coniche nel piano, o i poliedri nello spazio.

Le trasformazioni della geometria euclidea sono le isometrie: ovvero traslazioni, riflessioni, rotazioni, e composizioni di queste.

Ciascuna di queste trasformazioni sposta tutti i punti dello spazio, ed in particolare muove la figura geometrica che vi è contenuta.

La simmetria nei poligoni

Il gruppo delle simmetrie di un poligono regolare (parte di piano delimitata da una linea spezzata chiusa avente tutti i lati e gli angoli congruenti fra loro) con n lati è un gruppo molto studiato in algebra, detto gruppo diedrale.

Il gruppo diedrale di ordine 2n è il gruppo formato dalle isometrie del piano che lasciano immutati i poligoni regolari a n lati.

L’aggettivo diedrale deriva da diedro (dal greco: solido a due facce), che a sua volta origina dalla possibilità di considerare un poligono come un solido degenere ad altezza nulla.

Gli elementi base del gruppo sono le rotazioni del poligono pari all’n-esima parte dell’angolo giro, e la riflessione attorno ad un asse di simmetria del poligono.

360° / 5 = 72° = 2π / 5 rad

Una rotazione del pentagono di 72°

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Una riflessione del pentagono attorno al proprio asse di simmetria

Esistono in tutto n rotazioni possibili e n assi di simmetria per un poligono di n lati, per cui il gruppo diedrale corrispondente è formato da 2n elementi.

Ha due generatori: la riflessione s rispetto ad un asse, e la rotazione oraria r di 360 / n gradi.

Componendo le simmetrie s e r si ottengono tutte le altre simmetrie.

Il gruppo diedrale, di solito indicato con D_2n, è quindi un gruppo finito di 2n elementi.

Non è un gruppo abeliano: infatti, gli elementi r × s e s × r sono simmetrie differenti (entrambe riflessioni, ma con assi diversi).

Sottogruppo del gruppo diedrale è il gruppo ciclico, che è il gruppo delle simmetrie generato da una rotazione pari a 2π/n.

I gruppi discreti che possono essere solo diedrali o ciclici vengono definiti gruppi di simmetria dei rosoni, nome attribuito per mettere in rilievo le figure di cui sono i gruppi di simmetria e cioè gli elementi decorativi delle facciate delle chiese in stile romanico e gotico.

Igrexa principal de Noia, Galicia

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Questi gruppi possono descrivere numerose simmetrie presenti in natura: i più evidenti esempi, anche se non del tutto esatti ma solo approssimati, si trovano in tantissimi fiori.

Se i petali non sono simmetrici la simmetria sarà di tipo ciclico, se invece sono simmetrici sarà di tipo diedrale.

In molti casi si osserva che il gruppo di simmetria di un fiore è C₅ oppure D₅ (cioè il fiore ha cinque petali).

Esempio di gruppo ciclico, Vinca Major

Esempio di gruppo diedrale, Gazania

Esempi, invece, di gruppi D₆ si trovano nelle creazioni inorganiche simmetricamente più perfette, i cristalli dei fiocchi di neve, composti semplicemente di acqua congelata:

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La simmetria nei poliedri

Le simmetrie nei poliedri sono riscontrabili nei solidi regolari, ovvero poliedri convessi che hanno per facce poligoni regolari fra loro congruenti.

Questi solidi sono cinque e sono tradizionalmente chiamati solidi platonici per il ruolo fondamentale che giocano nella cosmogonia elaborata da Platone.

Ciascuno di essi ha un gruppo di simmetrie: questi gruppi di simmetrie sono degli oggetti di importanza fondamentale nell’algebra e nella geometria moderne, e si ritrovano in molti contesti differenti.

Due solidi platonici duali (dato un poliedro E, il suo poliedro duale è il poliedro i cui vertici sono i baricentri delle facce di E e i cui spigoli sono i segmenti che uniscono i vertici che stanno su facce di E adiacenti) hanno lo stesso gruppo di simmetrie.

Tutti questi gruppi di simmetrie sono finiti e non abeliani.

I gruppi di simmetria di due solidi platonici duali sono isomorfi.

Solido duale

Tetraedro — tetraedro

Cubo — ottaedro

Icosaedro — dodecaedro

Il duale del cubo è l’ottaedro

Il duale dell’ottaedro è il cubo

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Il duale del dodecaedro è l’icosaedro

Il duale dell’icosaedro è il dodecaedro

Inoltre essi possono essere inscritti non solo in una sfera, ma anche l’uno nell’altro sfruttando parte dei vertici oppure il punto centrale dei lati.

Perché sono solo 5?

Soltanto il triangolo equilatero, il quadrato e il pentagono regolare possono essere facce di poliedri regolari: infatti, in un vertice di un poliedro devono convergere almeno 3 facce che non stiano sullo stesso piano, quindi la somma dei loro angoli deve essere inferiore a 360°.

I solidi platonici: fondamenta del mondo

Come già affermato i cinque solidi regolari devono il loro nome al filosofo greco Platone che, nonostante non li abbia scoperti lui, li ha usati per fondare la sua cosmologia.

In particolare egli nel suo dialogo, Timeo, associa il tetraedro, l’ottaedro, il cubo, e l’icosaedro rispettivamente a quelli che erano allora ritenuti i quattro elementi fondamentali: fuoco, aria, terra, e acqua.

Il dodecaedro, non realizzabile unendo opportunamente triangoli (come invece avviene per gli altri poliedri citati), viene invece associato all’immagine del cosmo intero, realizzando la cosiddetta quintessenza.

Questa identificazione suggerisce un’immagine di perfezione che indubbiamente nasce anche dal fatto che il dodecaedro, in volume, approssima più degli altri poliedri regolari la sfera.