La simmetria come metodo d'analisi della realtà

LA SIMMETRIA

Il termine deriva dal greco symmetros, che significa ben commisurato, ben proporzionato, e che

anticamente veniva usato sia in senso morale sia in senso geometrico e spaziale. Euclide, infatti, lo

usava in relazione ai segmenti commensurabili; Aristotele, invece, con questo termine si riferisce al

giusto mezzo a cui dovrebbero tendere gli uomini virtuosi nelle loro azioni; nel linguaggio moderno

il termine ha perso i suoi connotati morali, ma ne ha mantenuto quelli estetici, con significato

corrispondente all’eleganza delle proporzioni, all’armonia e alla gradevolezza, e quelli puramente

scientifici della geometria e della matematica, per le quali il discorso sulla simmetria si fa più rigido

e rigoroso. Spesso non ci rendiamo conto che la simmetria esterna delle decorazioni,

dell’architettura, dei motivi ornamentali prodotti dall’uomo, è indizio di una simmetria strutturale

ben più profonda, che è possibile cogliere soltanto dal punto di vista della matematica, che ne è la

radice. Quest’ultima, infatti, può offrirci una larghezza di sguardo sufficiente a trovare il ritmo

nascosto in forme all’apparenza tanto diverse e aiutarci a scoprire una chiave di lettura significativa

del mondo che ci circonda.

LA SIMMETRIA IN MATEMATICA

Nel linguaggio matematico la parola simmetria si riferisce alla proprietà di un oggetto di rimanere

invariato e indistinguibile nello spazio e nel tempo qualora sia sottoposto ad una serie di operazioni,

dette appunto di simmetria, che consistono in movimenti rigidi che spostano e ripetono la figura

senza alterare le sue dimensioni. Si possono distinguere simmetrie in algebra e simmetrie in

geometria.

SIMMETRIE IN ALGEBRA

simmetria

Una in un'espressione matematica (ad esempio una formula o un'equazione, ma anche

permutazione

una relazione binaria o una matrice.) contenente delle variabili è una di queste che

lascia invariata l'espressione. Ad esempio, nel polinomio

2 2 2

+ +

x y z

ogni permutazione delle variabili è una simmetria.

permutazione

N.B. Una è un modo di combinare n oggetti distinti scambiandoli di posizione, come

nell'anagrammare una parola. In termini matematici una permutazione di un insieme X si definisce

→ .

p : X X Una funzione è biiettiva se e solo se è

come una funzione biiettiva →

contemporaneamente iniettiva e suriettiva. Una funzione f : X X è biiettiva se e solo se è

invertibile. Una funzione si dice iniettiva se elementi distinti del dominio hanno un'immagine

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distinta, o equivalentemente se ad ogni elemento del codominio corrisponde al più un elemento del

dominio; una funzione si dice suriettiva quando l'immagine coincide con il codominio, ovvero

quando ogni elemento y del codominio è immagine di almeno un punto del dominio. Dal momento

che una permutazione è una funzione biiettiva, due permutazioni p e p' possono quindi essere

composte, ed il risultato è ancora una permutazione.

L'insieme S(X) delle permutazioni di X con l'operazione di composizione forma un gruppo, detto

gruppo simmetrico

. L'elemento neutro è la permutazione che lascia fissi tutti gli elementi.

Perciò nel caso delle simmetrie in algebra, esse formano un gruppo, che è sottogruppo del gruppo

simmetrico di tutte le permutazioni delle variabili.

SIMMETRIE IN GEOMETRIA

Una simmetria di una figura geometrica è una trasformazione che lascia la figura invariata. Una tale

definizione dipende da cosa si intende per "figura geometrica" e "trasformazione". Le

"trasformazioni" formano un gruppo con l'operazione di composizione, e le simmetrie formano un

gruppo delle simmetrie

sottogruppo, detto della figura. In altre parole, si verificano i fatti seguenti:

• fra le simmetrie di un oggetto, c'è sempre l'identità: è la trasformazione che lascia tutti i

punti fermi;

• la composizione di due simmetrie è sempre una simmetria;

• una simmetria ha sempre una inversa, che è ancora una simmetria.

gruppo è una struttura algebrica formata da un insieme con un'operazione binaria che

N.B. Un

soddisfa alcuni assiomi. E’ quindi un insieme G munito di una operazione binaria *, che ad ogni

coppia di elementi a, b di G associa un elemento, che indichiamo con a * b, appartenente a G,

rispettando i seguenti assiomi:

• l’insieme G è chiuso rispetto all’operazione * ; ∈

∀

• l’operazione * ha la proprietà associativa ( a, b, c G , (a*b)*c=a*(b*c));

• nell’insieme G esiste l’elemento neutro e rispetto all’operazione * (e appartenente a G è

l’elemento neutro se a * e = e * a = a per ogni a appartenente a G);

• per ogni a appartenente a G esiste un b appartenente a G definito come l’inverso di a tale

che a*b=b*a=e.

Un gruppo si chiama commutativo (o abeliano) se vale anche a * b = b * a per ogni coppia a, b di

elementi di G. 7

I punti fissi sono i punti della figura geometrica che restano fermi in una simmetria. Se esiste un

solo punto fisso (come accade, ad esempio, in una rotazione nel piano), questo è detto centro della

simmetria, mentre se i punti fissi formano una retta (come in una riflessione nel piano, o una

rotazione nello spazio) questa è l'asse della simmetria. Alcune trasformazioni (ad esempio le

traslazioni) non hanno punti fissi.

Una figura piana può avere più assi di simmetria: in questo caso, questi si intersecano tutti in un

punto. Ad esempio, un quadrato ha 4 assi di simmetria, che si intersecano nel centro.

Una figura solida, come un poliedro, può avere degli assi di simmetria (in presenza di rotazioni) o

dei piani di simmetria (in presenza di riflessioni). Ad esempio, un parallelepipedo ha almeno 3 assi

di simmetria e 3 piani di simmetria.

Nella geometria euclidea, una figura geometrica è un qualsiasi sottoinsieme dello spazio euclideo

(ad esempio, del piano o dello spazio tridimensionale). Sono quindi figure geometriche ad esempio i

poligoni o le coniche nel piano, o i poliedri nello spazio. Le trasformazioni della geometria euclidea

sono le isometrie: ovvero traslazioni, riflessioni, rotazioni, e composizioni di queste. Ciascuna di

queste trasformazioni sposta tutti i punti dello spazio, ed in particolare muove la figura geometrica

che vi è contenuta.

LA SIMMETRIA NEI POLIGONI

Il gruppo delle simmetrie di un poligono regolare (parte di piano delimitata da una linea spezzata

chiusa avente tutti i lati e gli angoli congruenti fra loro) con n lati è un gruppo molto studiato in

gruppo diedrale

algebra, detto gruppo diedrale. Il di ordine 2n è il gruppo formato dalle isometrie

del piano che lasciano immutati i poligoni regolari a n lati.

L'aggettivo diedrale deriva da diedro (dal greco: solido a due facce), che a sua volta origina dalla

possibilità di considerare un poligono come un solido degenere ad altezza nulla. Gli elementi base

rotazioni riflessione

del gruppo sono le del poligono pari all'n-esima parte dell'angolo giro, e la

attorno ad un asse di simmetria del poligono. π

°

360 2

= ° =

72 rad

Una rotazione del pentagono di 5 5

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Una riflessione del pentagono attorno al proprio asse di simmetria

Esistono in tutto n rotazioni possibili e n assi di simmetria per un poligono di n lati, per cui il

gruppo diedrale corrispondente è formato da 2n elementi. Ha due generatori: la riflessione s rispetto

ad un asse, e la rotazione oraria r di 360 / n gradi. Componendo le simmetrie s e r si ottengono tutte

, è quindi un gruppo finito di 2n

le altre simmetrie. Il gruppo diedrale, di solito indicato con D

2n

r x s s x r

elementi. Non è un gruppo abeliano: infatti, gli elementi e sono simmetrie differenti

(entrambe riflessioni, ma con assi diversi).

gruppo ciclico

, che è il gruppo delle simmetrie generato da

Sottogruppo del gruppo diedrale è il

2π/ n. I gruppi discreti che possono essere solo diedrali o ciclici vengono

una rotazione pari a

gruppi di simmetria dei rosoni

, nome attribuito per mettere in rilievo le figure di cui sono

definiti

i gruppi di simmetria e cioè gli elementi decorativi delle facciate delle chiese in stile romanico e

gotico. Igrexa principal de Noia, Galicia

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Questi gruppi possono descrivere numerose simmetrie presenti in natura: i più evidenti esempi,

anche se non del tutto esatti ma solo approssimati, si trovano in tantissimi fiori. Se i petali non sono

simmetrici la simmetria sarà di tipo ciclico, se invece sono simmetrici sarà di tipo diedrale.

In molti casi si osserva che il gruppo di simmetria di un fiore è oppure (cioè il fiore ha cinque

C D

5 5

petali). Esempio di gruppo ciclico,

Vinca Major

Esempio di gruppo diedrale,

Gazania

si trovano nelle creazioni inorganiche simmetricamente più perfette, i

Esempi, invece, di gruppi D

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cristalli dei fiocchi di neve, composti semplicemente di acqua congelata:

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LA SIMMETRIA NEI POLIEDRI

Le simmetrie nei poliedri sono riscontrabili nei solidi regolari, ovvero poliedri convessi che hanno

per facce poligoni regolari fra loro congruenti. Questi solidi sono cinque e sono tradizionalmente

solidi platonici per il ruolo fondamentale che giocano nella cosmogonia elaborata da

chiamati

Platone. Ciascuno di essi ha un gruppo di simmetrie: questi gruppi di simmetrie sono degli oggetti

di importanza fondamentale nell'algebra e nella geometria moderne, e si ritrovano in molti contesti

differenti. Due solidi platonici duali (dato un poliedro E, il suo poliedro duale è il poliedro i cui

vertici sono i baricentri delle facce di E e i cui spigoli sono i segmenti che uniscono i vertici che

stanno su facce di E adiacenti.) hanno lo stesso gruppo di simmetrie. Tutti questi gruppi di

simmetrie sono finiti e non abeliani. I gruppi di simmetria di due solidi platonici duali sono

isomorfi. solido duale

tetraedro tetraedro

cubo ottaedro

icosaedro dodecaedro

Il duale del cubo è l'ottaedro Il duale dell'ottaedro è il cubo

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Il duale del dodecaedro è l'icosaedro Il duale dell'icosaedro è il dodecaedro

Inoltre essi possono essere inscritti non solo in una sfera, ma anche l’uno nell’altro sfruttando parte

dei vertici oppure il punto centrale dei lati.

Perché sono solo 5?

Soltanto il triangolo equilatero, il quadrato e il pentagono regolare possono essere facce di poliedri

regolari: infatti, in un vertice di un poliedro devono convergere almeno 3 facce che non stiano sullo

stesso piano, quindi la somma dei loro angoli deve essere inferiore a 360°.

I SOLIDI PLATONICI: FONDAMENTA DEL MONDO

Come già affermato i cinque solidi regolari devono il loro nome al filosofo greco Platone che,

nonostante non li abbia scoperti lui, li ha usati per fondare la sua cosmologia.

In particolare egli nel suo dialogo, Timeo, associa il tetraedro, l'ottaedro, il cubo, e l'icosaedro

rispettivamente a quelli che erano allora ritenuti i quattro elementi fondamentali: fuoco, aria, terra,

e acqua. Il dodecaedro, non realizzabile unendo opportunamente triangoli (come invece avviene per

gli altri poliedri citati), viene invece associato all'immagine del cosmo intero, realizzando la

cosiddetta quintessenza. Questa identificazione suggerisce un'immagine di perfezione che

indubbiamente nasce anche dal fatto che il dodecaedro, in volume, approssima più degli altri

poliedri regolari la sfera.

L’idea di Platone che i poliedri regolari facciano da tramite tra la perfezione del mondo delle Idee

(Iperuranio) e il disordine del mondo sensibile ebbe un enorme successo nella cultura occidentale,

influenzando soprattutto il mondo del Rinascimento, intriso di teorie neo platoniche, ma anche le

epoche successive. Arte e Scienza si mescolano in maniera profonda, Piero della Francesca scrive il

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Libellus de quinque corporibus regularibus, e Luca Pacioli ne dà una versione in volgare nel De

divina Proportione, commissionando 60 tavole a Leonardo da Vinci con lo scopo di illustrare le

possibili variazioni dei poliedri regolari semplici.

L'idea che ispira un tale progetto è di una singolare modernità, nel senso che si vuole sostenere

(siamo alla fine del XV secolo), contro i pregiudizi umanistici, come la scienza non sia solo

astrazione o pura tecnica, ma anche arte liberale.

Keplero, nella sua opera Mysterium cosmografaphicum, riprende, in termini diversi, l'indagine di