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Sintesi
Lo scopo di queste pagine è quello di dimostrare la formula di Binet per i numeri di Fibonacci facendo uso dell’algebra lineare. Estratto del documento
2
Ponendo, per semplicità, ⎤
⎡ √
⎡ ⎤ 1+ 5
1 1 ⎥
⎢ 0
√ √ ⎥
⎢
⎣ ⎦ √
2
P ,D
= =
− ⎦
⎣
1+
5 1 5 − 5
1
− 0
2 2 2
abbiamo −1 k k −1
A P DP A P D P
= da cui =
e quindi k −1
P D P u ∀k ≥ .
u = 1
k 0
Dal momento che
⎡ ⎤
√ k
⎤
⎡ √ k 1+ 5
⎢ ⎥
1+ 5 0
⎢ ⎥
⎥
⎢ 0 2
⎢ ⎥
⎥
⎢
k √
2
D √
= = ⎢ ⎥
⎦
⎣ k
− 5
1 ⎣ ⎦
−
1 5
0 0
2 2
√
⎡ ⎤
⎤
⎡ 5+1
−1 √
1 1 1
⎢ ⎥
√
√ 5 2
⎢ ⎥
⎦
⎣
−1
P ,
√
= =
− ⎣ ⎦
1+
5 1 5 5 −
− 5 1 −1
2 2 2
F F
possiamo ottenere l’espressione generale per i numeri e :
k+1 k
⎤
⎡ √ √
k ⎤
⎡
⎡ ⎤ 5
1 +
5+1
√
⎥
⎢ 0
1 1 1 ⎥
F ⎢
⎥
⎢ 1
2
√ √ 5
k+1 2 ⎥
⎢
⎥
⎢
⎣ ⎦
√
√
= ;
⎥
⎢
− ⎦
⎣
k
1 +
5 1 5
F 5 −
⎦
⎣ −
− 0
5 1
5
1
k −1
0
2 2 2
2
svolgiamo i calcoli:
⎡ ⎤
√ √
k ⎡ ⎤
⎤
⎡ 1+ 5
5 + 1
√ ⎢ ⎥
0
1 1 ⎢
⎢ ⎥
F ⎥
2
√
√
5
k+1 2
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎦
⎣
√
√
= ⎢ ⎥
− ⎣ ⎦
k
1 +
5 1 5
F 5 −
⎣ ⎦
−
− 5 1
5
1
k 0
2 2 2
2
e quindi ⎤
⎡
√ k+1
1+ 5
⎡ ⎤ ⎥
⎢
√ ⎥
⎢
1 1
F 2 ⎥
⎢
√
√
5
k+1 ⎣ ⎦ ⎥
⎢ ;
=
− √
1+
5 1 5 ⎥
⎢ k+1
F 5 − ⎦
⎣ −
k 5
1
−
2 2 2
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