Alcuni problemi irrisolti

LE SOLUZIONI DELLE CONGETTURE DI

GOLDBACH (1772) E DI POLIGNAC (1849)?

L’autore, in questo breve articolo, si occuperà dei primi tre problemi, facendo perno

sulla numerosità dei pari esistenti tra due primi.

Il libro di David Wells “PERSONAGGI E PARADOSSI DELLA MATEMATICA”

I edizione Oscar Saggi Mondatori, marzo 2002 e giunto nel 2006 alla ottava edizione,

2

nelle pagine 267, 268 riporta il paragrafo in cui “Hardy parla della dimostrazione e

di Ramanujan” e tra l’altro recita: “Non è difficile avere delle intuizioni intelligenti;

ci sono teoremi, come quello di “Goldbach”, che non sono mai stati provati e che

chiunque potrebbe indovinare.”

Proprio questa frase ha dato la carica psicologica all’autore ad indagare su alcuni

suoi precedenti articoli, dai quali scaturiscono le dimostrazioni che seguono.

Il numero dei “pari” n compresi tra due numeri primi qualunque e è dato dalla

p p

h k

semidifferenza tra gli stessi −

p p (1)

k h

=

n 2

Per chi ha l’esigenza si dà la dimostrazione per via deduttiva, partendo dall’ipotesi

che tra i numeri primi e vi possano essere alcuni numeri naturali pari indicati

p p

h k

, i=1, 2, 3, ..., n , infatti, si osserva che essi sono termini di una progressione

con m i

aritmetica (di ragione r=2),della quale i termini estremi, cioè il primo e l’ultimo sono:

= + = −

, . (2)

1 1

p p

m m

1 n

h k

Essendo noto che in una progressione aritmetica di ragione r=2, il termine n.simo in

( )

= + − ⋅ , da questa si potrà ricavare

funzione del primo termine è n 1 r

m m

n 1

( )

= − + , nella quale sostituite le (2) si otterrà

n 2 1

m m

n 1

( ( )

) ( ) ( )

= − − + + = − − + = − e tale risultato dimostra la(1).

n 1 1 2 1 2 2 1 2

p p p p p p

k h k h k h

Teorema di Goldbach. – “Ogni numero pari maggiore di 2 è somma di due numeri

primi non necessariamente distinti”. { }

{ }

Siano con , . Tesi:

∈ >

∀ ∈ ≤ ∈ ∈ = +

p p p p

N M m : m numer

o pari 2

h , k h k , n N , , p : p numero primo M

0 h k h k

e

Essendo per la (1) i pari n tra due primi qualunque p p

h k

2 Godfrey Harold Hardy ( 1887-1947 ), matematico inglese, collaboratore in analisi matematica e in teoria dei numeri

di John Edensor Littlewood (1885-1977). Hardy dal 1914 ebbe il ruolo di mentore di Srinivasa Ramanujan (1887-

1920), il genio indiano del XX secolo, ed entrambi divennero stretti collaboratori. 2

−

p p ,

= k h

n 2

si ha ,

= −

p p

2 n k h

si somma ad ambo i membri p

2 h ,

+ = − +

p p p p

2 2 n 2

h k h h

si raccoglie 2 a fattore comune )

( ,

+ = +

p p p

2 n

h h k

avendosi al primo membro un numero pari, perché il doppio della somma tra un

numero primo ed un naturale compreso lo zero, si potrà scrivere

,

= +

p p

M h k 3 (IV sec. a. C.), prova l’asserto

ciò, considerata l’infinità dei primi dovuta ad Euclide

di Goldbach (1772): “ Ogni numero pari >2 è somma di due numeri primi non

necessariamente distinti”.

Teorema di Polignac. – “Ogni numero pari è ottenibile come differenza di infinite

coppie di numeri primi consecutivi”, che comprende quello dei numeri primi gemelli

(numeri primi consecutivi di differenza 2), cioè: “Il numero 2 è ottenibile come

differenza di infinite coppie di numeri primi consecutivi”.

{ }

{ }

{ }

Siano , , , . Tesi:

∀ ∈ ∈ ∈

∈ = −

p p p p

N N

k \ 1

, 2 n M m : m numero pari

, p : p numero primo M

− −

0 0 k k k k

1 1

e

Essendo per la (1) i pari n tra due primi qualunque p p

h k

−

p p ,

= k h

n 2

che nel caso di due primi consecutivi, si potrà scrivere

−

p p − ,

= k k 1

n 2

dalla quale si ha ,

= −

p p

2 n −

k k 1

essendo 2n un numero pari, si potrà scrivere

,

= −

p p

M −

k k 1 alcune sequenze

ciò, considerate l’infinità dei primi dovuta ad Euclide (IV sec. a. C.)

,

3

di numeri composti (che lasciano supporre di poter ottenere sempre ogni numero

3 Euclide (IV sec. a. C.) dimostrò per primo che esistono infiniti numeri primi. La sua dimostrazione è la seguente: se 2,

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + il quale ha la proprietà di dare resto

3, 5, …, p fossero i soli numeri primi, potremmo costruire il numero p

2 3 5 ... 1

1 quando è diviso per ciascuno di questi numeri primi. Poiché ogni numero maggiore di 1 è primo oppure divisibile per

almeno un numero primo, la lista proposta non può essere completa. Ad es. se ipotizzassimo che 2,3,5,7 fossero i soli

⋅ ⋅ ⋅ + = , esso è primo non essendo divisibile per alcuno dei primi che lo precedono

primi, costruendo il numero 2 3 5 7 1 211

2,3,5,7,11,…, fino a 103 (è superfluo provare a dividere 211 per i primi che seguono 107,109,…,199 in quanto è

evidente che il quoziente è < 2). Ciò prova la primalità di 211 e l’esistenza di altri infiniti numeri primi, contro l’ipotesi

formulata in questo esempio.

∀ ∈

3 a N

Si adotterà la seguente successione (a+2)!+2,(a+2)!+3,…,(a+2)!+(a+1),(a+2)!+(a+2); detti numeri

( rispettivamente divisibili per 2, 3, …,

divisibili per 2,3,…,(a+1),(a+2) sono solo parte di tutti i composti (almeno a+1)

(a+1), (a+2)), che vi sono tra i due numeri primi di ordine consecutivo. Chiariremo la successione con un esempio: se

a=3, si avrà (3+2)!+2, (3+2)!+3, (3+2)!+4, (3+2)!+5; 5!+2, 5!+3, 5!+4, 5!+5; 1x2x3x4x5(cioè cinque fattoriale

5!=120)+2, 120+3, 120+4,120+5; 122, 123,124,125, i quali almeno quattro numeri (3+1=4), essendo rispettivamente

3

4

pari dalle differenze di due primi consecutivi ) e la densità dei primi che diminuisce

lentamente man mano che i numeri diventano sempre più grandi (v. Appendice),

prova l’asserto di Polignac (1849): “Ogni numero pari è ottenibile come differenza di

infinite coppie di numeri primi consecutivi” e quella dei primi gemelli, “Il numero 2 è

ottenibile come infinite coppie di numeri primi consecutivi”.

Per concludere si riportano alcuni casi concreti delle due tesi, partendo da quelli più

semplici con i primi minori:

( )

Da GOLDBACH(1772)

= + = +

p p p

M n

2 h h k =2+2

4=2(2+0)= +

p p

1 1 =3+3

6=2(3+0)= +

p p

2 2 =3+5

8=2(3+1)= +

p p

2 3 =3+7

10=2(3+2)= +

p p

2 4 =5+7

12=2(5+1)= +

P P

3 4

14=2(3+4)= =3+11

+

P P

2 5

…………………………

Da POLIGNAC(1849)

= = −

p p

M n

2 −

k k 1

=5-3= =7-5= =13-11=…

2= ⋅ = − − −

p p p p p p

2 1 3 2 4 3 6 5

=11-7= =17-13= =23-19=…

4= ⋅ = − − −

p p p p p p

2 2 5 4 7 6 9 8

=29-23= =37-31= =53-47=…

6= ⋅ = − − −

p p p p p p

2 3 10 9 12 11 16 15

=97-89= =367-359= =397-389=…

8= ⋅ = − − −

p p p p p p

2 4 25 24 73 72 78 77

=149-139= =191-181= =251-241=…

10= ⋅ = − − −

p p p p p p

2 5 35 34 43 42 54 53

=211-199= =223-211= =479-467=…

12= ⋅ = − − −

p p p p p p

2 6 47 46 48 47 92 91

=127-113= =307-293= =331-317=…

14= ⋅ = − − −

p p p p p p

2 7 31 30 63 62 67 66

…………………………………………………………………….

Infine, ci piace sottolineare che lo scopo del presente articolo è anche quello di

mettere in risalto come da un punto di vista didattico sia opportuno, non tanto

propinare agli alunni direttamente formule o leggi più o meno complicate, quanto

fornire agli stessi dei mezzi di osservazione che possano condurli ad intravedere o

scoprire le leggi medesime.

divisibili per 2, 3, 4, 5 sono composti, insieme a 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121 e 126, in tutto tredici numeri

composti esistenti tra i numeri primi 113 e 127.

4 39014 ±

Si riportano due coppie di numeri primi gemelli:9857, 9859 ed una più grande calcolata nel 1998 che è 835335 1

4

APPENDICE

SULLA DENSITA’ DEI NUMERI PRIMI

A prima vista si direbbe che i numeri primi siano distribuiti tra i numeri interi quasi a caso. Per esempio nei 100 numeri

immediatamente prima di 10.000.000 ci sono 9 primi, mentre nei 100 numeri dopo ve ne sono solo 2. Però, su larga

scala, il modo in cui i primi sono distribuiti e' molto regolare. Legendre e Gauss fecero entrambi estesi calcoli della

densità dei primi. Gauss (che era un calcolatore prodigioso) disse ad un amico che ogni qualvolta egli aveva una

quindicina di minuti liberi la passava a contare i primi in una "ciliade" (gruppi di 1000 numeri). Verso la fine della sua

vita, si stima che egli avesse contati tutti i primi fino a 3 milioni. Sia Legendre che Gauss arrivarono alla conclusione

che per un grande n la densità dei primi vicino a n e' di circa 1/log(n), intendendo per log(n) il logaritmo naturale di n.

≤

Legendre diede una stima per (n) il numero di primi n di

≅

(n) n/(log(n) - 1.08366),

mentre la stima di Gauss e' in termini dell' integrale logaritmico

n

∫

≅

(n) (1/log(t) dt.

2 ( )

≅ ⋅

p

L’n.simo primo è ,

n log n

( )

π n

che scaturisce dall'affermazione che la densità dei primi e' 1/log(n), nota come il Teorema dei Numeri Primi. Tentativi

e Riemann

di dimostrarlo continuarono per tutto il diciannovesimo secolo, con notevole progresso fatto da Chebyshev

che fu anche capace di correlare il problema a qualcosa chiamata l'Ipotesi di Riemann : un risultato ancora non provato

degli zeri nel piano Complesso di qualcosa chiamata la funzione-zeta di Riemann. Il risultato venne in seguito

dimostrato (usando i metodi potenti dell'analisi complessa) da Hadamard e de la Vallée Poussin nel 1896.

COMPARAZIONE DEI NUMERI DISPARI CON I PRIMI

Potrebbe apparire che la formula (1) sia pertin