PROBLEMA SUI SOLIDI

Questo appunto contiene un problema svolto sui solidi, che mostra come calcolare l'area della superficie totale ed il volume della piramide. Il testo del problema è il seguente:

In una piramide quadrangolare la somma delle lunghezze di uno spigolo laterale e di uno spigolo di base misura

[math]110 cm[/math]
e il loro rapporto è
[math]\frac{5}{6}[/math]
. Calcola l'area della superficie totale e il volume.(Approssima ai decimi)

- Per risolvere il problema è necessario che consideriamo bene i dati. Conosciamo la somma dello spigolo di base e dello spigolo laterale ed il loro rapporto, quindi possiamo impostare una proporzione e applicare la proprietà del comporre (chiamiamo rispettivamente

[math]x[/math]
ed
[math]y[/math]
, lo spigolo di base e quello laterale):
[math]x:y=5:6[/math]

essendo

[math]x+y=110cm[/math]

Applichiamo la suddetta proprietà:

[math](x+y):x=(5+6):5\\
110:x=11:5\\
x=\frac{110*5}{11}=50cm[/math]
[math](x+y):y=(5+6):6\\
110:y=11:6\\
y=\frac{110*6}{11}=60cm[/math]

-A questo punto possiamo calcolare l'altezza della piramide. Essa è il cateto maggiore di un triangolo rettangolo che ha per ipotenusa lo spigolo laterale e per cateto minore la metà della diagonale di base . Applichiamo dunque il teorema di Pitagora:

[math]d^2 = 2*b^2[/math]
[math]d^2 = 2* 50^2 = 2*2500 = 5000 cm^2[/math]
[math]d^2/4 = 5000/4 = 1250 cm^2[/math]
[math]h= \sqrt{l^{2}-d^{2}/4}=\\\sqrt{60^{2}- 1250}=\\
\sqrt{3600-1250}=\\
\sqrt{2350}cm= 48,4 cm[/math]

-A questo punto possiamo calcolare anche l'apotema della piramide (dato essenziale per determinarne l'area).L'apotema della piramide si trova ad essere l'ipotenusa di un triangolo rettangolo che ha secondo cateto l'apotema di base (nel quadrato è pari al semi-spigolo di base) e l'altezza della piramide. Applichiamo quindi il Teorema di Pitagora:

[math]\frac{x}{2}=\frac{50}{2}=25\\
a=\sqrt{25^{2}+48,4^{2}}=\\
\sqrt{625+2342,56}=\\
\sqrt{2967,56}=54,4cm[/math]

-Calcoliamo l'area di base per ottenere il volume della piramide.

[math]A_{b}=l^{2}=(50)^{2}=2500 cm^{2}\\
V=\frac{A_{b}*h}{3}=\frac{2500*48,4}{3}=40333,3 cm^{3}[/math]

-Ora calcoliamo il perimetro per ottenere l'area della superficie laterale.

[math]P_{b}=4l=4*50cm=200cm\\
A_{lat}=\frac{P_{b}*ap}{2}=\frac{200*54,4}{2}=5440cm^{2}[/math]

-Calcoliamo infine l'area totale della piramide:

[math]A_{t}=A_{b}+A_{l}=2500cm^{2}+5440cm^{2}=7940cm^{2}[/math]

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