Quadrilateri: SCHEDA

www.matematicamente.it Appunti sui quadrilateri 1

APPUNTI SUI QUADRILATERI

 Un quadrilatero è un poligono con quattro lati, quattro angoli e due diagonali; ciascun

lato è minore della somma degli altri tre; la somma dei lati si chiama perimetro e si

indica usualmente con 2p (di conseguenza il semiperimetro si indica con p); due

quadrilateri con lo stesso perimetro si dicono isoperimetrici.

 La somma degli angoli interni vale sempre 360°.

 Contrariamente a quanto avviene coi triangoli non sempre è possibile tracciare una

circonferenza inscritta (tangente internamente tutti i lati) e una circoscritta (passante

per tutti i vertici).

 Condizione necessaria affinché si possa tracciare una circonferenza inscritta a un

quadrilatero è che siano uguali le somme dei lati opposti. Per tracciare una circonferenza

circoscritta a un quadrilatero è necessario che siano uguali le somme degli angoli opposti

(visto che la somma degli angoli interni vale sempre 360°, allora la somma degli angoli

opposti deve essere 360°:2=180°, si dice, più brevemente, che gli angoli opposti devono

essere supplementari).

Classificazione dei quadrilateri

 Trapezio: sono i quadrilateri con almeno due lati paralleli; i due lati opposti paralleli

prendono il nome di basi (spesso la base maggiore viene indicata con B, e la minore con b)

mentre gli altri due vengono chiamati lati obliqui, in tutti i trapezi gli angoli adiacenti a

uno stesso lato obliquo sono supplementari.

Si distinguono tre tipi di trapezi:

 trapezio scaleno: tutti i lati disuguali,

 trapezio rettangolo: un lato obliquo perpendicolare alla due basi,

 trapezio isoscele: lati obliqui congruenti, proiezioni dei lati obliqui sulla base maggiore

congruenti, diagonali congruenti. Inoltre, poiché gli angoli alla base sono congruenti, gli

angoli opposti sono supplementari e tutti i trapezi isosceli sono inscrivibili in una

circonferenza. I trapezi isosceli hanno un asse di simmetria.

 Parallelogrammi: sono i quadrilateri con i lati opposti paralleli (e congruenti). Gli angoli

opposti sono congruenti, gli angoli adiacenti a ciascun lato sono supplementari, le

diagonali non sono congruenti, si tagliano scambievolmente a metà (si bisecano), il punto

di incontro delle diagonali costituisce il centro di simmetria. In generale, i

parallelogrammi non hanno asse di simmetria e le diagonali non sono bisettrici degli

angoli.

 Rombi: sono i parallelogrammi con tutti i lati (l) congruenti (equilateri). Le diagonali di

un rombo sono fra loro perpendicolari e bisettrici dei rispettivi angoli, essendo

generalmente disuguali prendono il nome di diagonale maggiore (D) e diagonale minore

(d). I rombi oltre al centro di simmetria, hanno due assi di simmetria, coincidenti con le

diagonali. In tutti i rombi è possibile inscrivere una circonferenza (infatti poiché i rombi

hanno i lati tutti uguali allora anche le somme dei lati opposti sono uguali, 2l=2l=p).

 Rettangoli: sono i parallelogrammi con tutti gli angoli congruenti (equiangoli). Poiché la

somma degli angoli interni di un quadrilatero è 360°, ciascun angolo sarà 360°:4=90°, cioè

retto. Le diagonali sono congruenti ma non sono di solito bisettrici dei rispettivi angoli. I

rettangoli hanno un centro di simmetria e due assi di simmetria, coincidenti con gli assi

dei lati. I rettangoli, avendo angoli opposti supplementari 90°+90°=180°, sono inscrivibili

in una circonferenza.

 Quadrati: sono quadrilateri regolari (equiangoli e equilateri). Poiché sono

contemporaneamente rombi e rettangoli hanno le caratteristiche di entrambi: tutti i lati

sono congruenti, quattro angoli retti, diagonali congruenti che sono anche perpendicolari e

bisettrici degli angoli retti (che risultano di conseguenza divisi in due angoli di 90°:2=45°).

a cura di Giovanna Puppo