Dal problema al modello matematico - Volume 2 per il triennio

Carmelo Di Stefano, Dal problema al modello matematico – Volume 4 – Capitolo 6 - Unità 2

Verifiche

Lavoriamo insieme

Sulle facce di un cubo costruiamo delle piramidi regolari la cui altezza misura quanto lo spigolo del cubo,

. .

ottenendo il seguente poliedro stellato Calcolare la misura della sua superficie

Essendo l’altezza lunga , l’apotema, usando il teorema di Pitagora, sarà lunga

ℓ

2 1 5 5

 

ℓ

2 2

. Quindi la superficie laterale di una piramide è 2

1 5 . Infine

⋅ ⋅ ⋅

+ = ⋅ + = ⋅ = ⋅

ℓ ℓ ℓ

ℓ ℓ ℓ

 

2 4 2 2

  2

la superficie del poliedro stellato è 6 5 .

⋅ ⋅ ℓ

1

Livello

1. Determinare la misura della superficie di una piramide regolare a base un triangolo equilatero, le cui

 

2

3 ⋅ ℓ

facce sono tutti triangoli equilateri uguali, in funzione dello spigolo .  

ℓ

2. In figura abbiamo un cubo e una piramide che viene chiamata tetraedro trirettangolo perché tre delle

sue facce sono triangoli rettangoli. Che tipo di triangolo è la quarta faccia? Possiamo dire che la pira-

, quanto misura la superficie

mide è retta? Giustificare la risposta. Se lo spigolo del cubo è lungo 2 m

 

( ) 2

del tetraedro? Equilatero; Sì; 2 3 3

⋅ + m

 

3. Con riferimento al quesito precedente. Dividiamo a metà gli spigoli del cubo e tronchiamo il tetraedro

 

 

9 5 3

+ ⋅ 2

trirettangolo. Quanto misura la superficie del tronco di piramide così ottenuto?  

  m

 

2

 

 

 

4. Ripetiamo in un parallelepipedo rettangolo la costruzione effettuata nel cubo per ottenere un tetraedro

trirettangolo. Possiamo dire che in generale si ottiene una piramide retta? Giustificare la risposta.

[No ]

5. Quanti fra i sei spigoli di un tetraedro trirettangolo dobbiamo conoscere, al minimo, per potere deter-

minare la misura della superficie? [3]

6. Con riferimento al precedente quesito, determinare la misura della superficie del tetraedro ottenuto a

partire da un parallelepipedo di dimensioni 5, 12 e 35. Sugg: per determinare l’area della faccia non

 

655 25 337

+ ⋅

 

( ) ( ) ( )

triangolo rettangolo usare la formula di Erone: .

⋅ − ⋅ − ⋅ −

p p a p b p c 2

 

7. Il tronco di piramide ottenuto sezionando una piramide con un piano passante per il punto medio

dell’altezza, ha superficie laterale metà di quello della piramide? Giustificare la risposta. [No]

Con riferimento al precedente quesito, in che rapporto sono invece le superfici laterali della piramide

8. iniziale e del tronco da essa ottenuto? [4 : 3]

9. Nella dimostrazione del Teorema delle 3 perpendicolari abbiamo costruito una particolare piramide le

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cui facce sono tutti triangoli rettangoli. Essa si chiama tetraedro quadrirettangolo. Quanti fra i sei spi-

goli dobbiamo conoscere, al minimo, per potere determinare la misura della superficie? [3]

10. Determinare la misura della superficie del tetraedro quadrirettangolo in figura, in cui = 21, = 20,

b c

= 28. [1260]

h

11. La scelta del punto sulla retta per perpendicolare al piano che contiene incide sul fatto che il

V C ABC

tetraedro sia quadrirettangolo? Giustificare la risposta. [No]

12. Con riferimento al problema 10, dopo avere dimostrato che anche se la retta perpendicolare è tracciata

 

42 74 896

per il tetraedro è quadrirettangolo, inalterati i dati determinare la superficie. ⋅ +

B  

13. Tronchiamo un tetraedro quadrirettangolo con = 6, = 8, = 10 (vedi figura precedente) con un pia-

b c h

no parallelo al piano determinato da , e , in modo da dividere a metà . Quanto misura la superfi-

A B C h  

6 34 90

cie del tronco così ottenuto? ⋅ +

 

14. Su una faccia di un cubo di lato 1 scaviamo una cavità a forma di piramide, la cui base coincide con

m

la faccia del cubo e il cui vertice è il centro dello stesso cubo. Quanto misura la superficie laterale di

 

2

tale piramide? 2 m

 

15. Un tronco di piramide retta ha per base maggiore un triangolo rettangolo i cui cateti misurano 21 e

cm

72 . Il perimetro della base minore misura 56 cm e l’altezza 18 . Determinare la misura

cm cm ]

dell’altezza della piramide dalla quale è stato ottenuto il tronco. [27 cm

16. Trovare la misura della superficie laterale di un tronco di piramide regolare a basi quadrangolari di lati

2

80 e 10 e il cui spigolo misura 37 . [2160 ]

cm cm cm cm

Lavoriamo insieme

Determinare la misura delle diagonali di un tronco di piramide regolare a basi quadrangolari, sapendo che

2 7 .

4 8 , ⋅ cm

gli spigoli delle basi misurano cm e cm mentre l’altezza misura

Consideriamo la figura. Ovviamente tutte le diagonali hanno la stessa misura. E

altrettanto ovviamente l’altezza del triangolo relativa al lato è lunga quanto l’altezza del

A′H AA′C AC OO′

tronco. Stessa misura ha anche condotto perpendicolarmente ad da Quindi:

C′K, AC C′.

8 2 4 2

⋅ − ⋅

' ' ' ' 2 2

− +

AC A C AC A C ' '

2 2 , e = + =

= = ⋅ A C A H HC

cm cm

= − = − = =

HC AC AH AC 2

2 2

2 2

( ) ( )

2 7 2 2 28 8 6 .

= ⋅ + ⋅ = + =

cm cm cm

2

Livello

17. Determinare l’altezza di una piramide regolare a base quadrata di lato e di facce triangoli equi-

2 cm

lateri. [1 cm]

18. Determinare lo spigolo di base di una piramide regolare a base quadrata di lato e di facce triangoli e-

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quilateri, la cui altezza è . [4

8 cm]

cm

19. In un tronco di piramide retto a basi quadrate, lo spigolo laterale forma con la diagonale della base

maggiore un angolo di 60° e misura 2 2 . Sapendo che la differenza delle aree delle due basi è 12

⋅ cm  

( ) 2

20 12 7

2 + ⋅ cm

, determinare la misura della superficie del tronco.

cm  

20. Il rapporto delle aree dei pentagoni di base di un tronco di piramide regolare è 16. Sapendo che la dif-

ferenza dei lati delle due basi è 12 e che lo spigolo laterale forma con il lato della base maggiore un

cm  

2

300 3

angolo di 60°, determinare la misura della superficie laterale. ⋅ cm

 

21. I lati delle basi di un tronco di piramide quadrangolare regolare hanno per somma 46 e lo spigolo

cm

laterale forma con il lato della base maggiore un angolo di 45°. Se la superficie di una faccia laterale

 

2 32 2

misura 184 , determinare la misura dello spigolo laterale. ⋅ cm

cm  

2

22. La superficie totale di una piramide regolare quadrangolare misura 800 . Trovare la misura della

cm 2

superficie laterale sapendo che l’altezza misura 15 [544 ]

cm. cm

23. In una piramide quadrangolare regolare la superficie di base è 5/26 di quella laterale; sapendo che

l’altezza è 24 trovare la misura dell’apotema. [26

cm cm]

Una piramide regolare a base quadrangolare ha l’altezza che misura quanto il semiperimetro di base.

24.  

17

Quanto vale il rapporto fra l’apotema e lo spigolo di base?  

2

 

25. Un rombo di diagonale minore lunga 20 è base di una piramide retta di altezza 15 Sapendo che

cm cm.

il raggio del cerchio inscritto nel rombo è lungo 8 trovare la misura della superficie della piramide.

cm, 2500

 

2

cm

 

3

 

26. Il raggio del cerchio inscritto nel triangolo di base di una piramide retta regolare è lungo 28 trova-

cm;

 

2

4452 3

re la misura della superficie laterale della piramide sapendo che l’altezza è di 45 ⋅ cm

cm.  

27. In una piramide regolare a base quadrata l’altezza è 56/65 dell’apotema; trovare la misura della super-

2 2

. [2145 ]

ficie laterale sapendo che quella totale misura 3234 cm

cm

28. Determinare l’area della superficie di un solido composto da un cubo di lato , sulla cui base maggio-

ℓ

re è sovrapposto una piramide regolare a base triangolare che ha uno spigolo coincidente con uno del

 

 

3 2

cubo. 6

 

 

+ ⋅ ℓ

 

2

 

 

 

29. Consideriamo un cubo di lato 1 e il suo centro Determinare la misura della superficie laterale della

O.  

2

piramide che ha per vertice e per base una delle facce del cubo.  

O  

2 17

30. Calcolare l’altezza di una piramide a base quadrata di area 16 e con uno spigolo di 5 cm

cm cm.  

31. Sugli spigoli di un tronco di piramide regolare a basi esagonali scegliamo i punti

medi, quindi uniamo tali punti ottenendo il poliedro convesso in figura. Quante facce, vertici e spigoli

ha il poliedro? [20; 18; 36]

32. Sugli spigoli di un tronco di piramide regolare a basi quadrate scegliamo i 2 punti che li dividono nel

rapporto 1/3, quindi uniamo tali punti ottenendo un poliedro convesso. Quante facce, vertici e spigoli

ha? [14; 24; 36]

3

Livello

33. Uno spigolo di una piramide è perpendicolare alla base quadrata in un suo vertice, se il lato di base

misura 3 e l’altezza 4, calcolare la misura della superficie totale. [26]

34. Dimostrare che in un tronco di piramide le basi sono poligoni simili, le cui aree stanno fra loro come i

quadrati delle loro distanze dal vertice della piramide troncata.

98

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35. Determinare una formula per il calcolo della superficie di un tetraedro trirettangolo ottenuto a partire

 

3 3

+ 2

⋅

 

ℓ

da un cubo di spigolo .

ℓ 2

 

Determinare una relazione fra l’altezza di un tetraedro trirettangolo a base un triangolo equilatero e

36. h  

6

= ⋅ h

ℓ

lo spigolo della base .  

ℓ

37. Determinare una formula per il calcolo della superficie di un tronco di tetraedro trirettangolo ottenuto

 

 

9 5 3

+ ⋅ 2

tagliando a metà gli spigoli del cubo generatore del tetraedro.  

  ⋅

ℓ ℓ

 

8

 

 

 

38. Determinare la misura della superficie di un tetraedro quadrirettangolo in funzione degli spigoli e

b, c

 

2 2 2 2

⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ +

b c b h b c h c b h

 

nella figura dell’esercizio 10.

h 2

 

 

39. Determinare l’altezza di una piramide retta di base un quadrato di lato e di facce triangoli equilateri.

ℓ  

ℓ

 

2

 

40. Determinare lo spigolo di base di una piramide retta di base un quadrato di lato e di facce triangoli e-

 

2

quilateri, la cui altezza è ⋅ h

h.  

Di un tronco di piramide a base quadrata conosciamo la misura dell’apotema, 41 la differenza de-

41. cm,

3

gli spigoli di base, 6 e il rapporto di questi ultimi: . Determinare la misura degli spigoli di base e

cm, 4

dell’altezza. [18 24 40

cm; cm; cm]

Sugli spigoli di una piramide retta a base quadrata scegliamo i punti che li dividono nel

42. rapporto 1/4, quindi uniamo tali punti ottenendo il poliedro convesso in figura. Sapendo che il lato di

base della piramide di partenza è uguale all’altezza e misura 8 vogliamo sapere: a) quante facce,

cm

 

( ) 2

10;16; 24; 60 52 5 8 2

vertici e spigoli ha il poliedro? b) quanto misura la sua area? + + cm

 

Lavoriamo insieme

Calcolare la caratteristica di Eulero per il solido in figura, in cui abbiamo “scavato” una

faccia di un parallelepipedo pieno, ottenendo un altro piccolo parallelepipedo.

I vertici sono la somma dei vertici dei due parallelepipedi, cioè 16, le facce invece sono la somma delle

facce dei due solidi diminuita di 1, perché il parallelepipedo piccolo è privo della faccia superiore, cioè 11.

Gli spigoli sono somma degli spigoli dei due poliedri, cioè 24. Quindi la caratteristica è 16 + 11 – 24 = 3.

Calcolare la caratteristica di Eulero di ciascuno dei seguenti poliedri

1

Livello

43. A forma di E ; A forma di F ; A forma di L ; A forma di H [2; 2 ; 2 ; 2]

Nelle figure seguenti le parti bianche indicano che il poliedro è bucato

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44. ; ; ; [2; 2; 3; 3]

45. ; ; ; [2; 5; 4; 2]

2

Livello

46. ; [2; 4]

47. Poliedro “doppia cornice” in figura [–2]

48. Poliedro ottenuto sovrapponendo 20 parallelepipedi rettangoli tutti di diverse dimensioni, in modo che

la base di quello posto di sopra sia interna alla base di quello di sotto, senza che vi siano né vertici né

spigoli in comune. In figura vi è il caso con 3 parallelepipedi. [21]

3

Livello