Dal problema al modello matematico - Volume 1 per il biennio

Per il biennio

Carmelo Di Stefano, Dal problema al modello matematico – Volume 1 – Capitolo 1 - Unità 1 - Biennio

Dal problema al modello matematico

Volume 1

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Carmelo Di Stefano, Dal problema al modello matematico – Volume 1 – Capitolo 1 - Unità 1 - Biennio

Presentazione

Nel corso della lettura dei volumi troverai diverse cose, che di seguito ti spiego brevemente.

All’inizio di alcune unità trovi un breve ripasso di argomenti svolti negli anni precedenti che ti risultano utili per affrontare serenamente la stessa unità. Vanno sotto il nome di In Richiamiamo le Conoscenze.

In alcune unità vi sono anche argomenti di approfondimento, denominati con il titolo Quelli che … vogliono sapere di più.

Le definizioni, i teoremi, i corollari e simili enti matematici, sono contenuti all’interno di appositi box di un uguale colore (verde per le definizioni, celeste per i teoremi e così via).

Ogni tanto troverai anche un box che ti spiega il significato di alcuni vocaboli, si intitola Che cosa significa?

Poi ci sono tre diversi tipi di box con diverse informazioni storiche, precisamente ci sono quelli intitolati I Protagonisti, che contengono informazioni relativamente a famosi matematici citati nelle stesse pagine; invece ne ci sono informazioni di varia natura, su quando per la prima volta si sono incontrate le nozioni di cui si sta parlando e simili informazioni, L’angolo storico; infine in quelli dal titolo L’antologia sono riportati e commentati passi di famose opere matematiche.

Vi sono anche dei box chiamati Intervallo matematico o Giochiamo alla matematica, i primi si riferiscono ad applicazioni della matematica e gli altri alla cosiddetta matematica ricreativa.

Tenuto conto delle ultime riforme scolastiche, in particolare della prova multidisciplinare dell’Esame di Stato, che riguarda la matematica e la fisica, ogni tanto troverai anche L’angolo della MateFisica, in cui sono trattati argomenti di fisica attinenti a quelli di matematica sviluppati nell’unità.

Alla fine di ogni argomento vi sono le relative verifiche. In esse sono presenti esercizi di tre livelli di difficoltà, opportunamente indicati. Il Livello 1 è relativo a esercizi che sono spesso semplice applicazione di quanto detto nella teoria; quelli di Livello 2 o contengono calcoli più complicati, o hanno bisogno di un impegno maggiore; infine quelli di Livello 3 riguardano quesiti che devono essere impostati usando la fantasia e non in modo ripetitivo. Questi ultimi sono riferiti ai più volenterosi. Per quelli a cui piace veramente ragionare e impegnarsi, alla fine di ogni unità sono presenti alcuni esercizi molto complessi, che vanno sotto il nome di La sfida. Per aiutarti all’inizio di ogni gruppo di esercizi di livello 1 o 2 vi sono alcuni esercizi simili svolti. Inoltre, in alcuni casi è presente L’angolo delle correzioni, in cui vengono mostrati esercizi errati da correggere.

Sono talvolta presenti box legati a importanti software matematici, quasi tutti di libero uso. In essi sono presenti dei link a delle applicazioni che descrivono come usare il software per comprendere meglio gli argomenti trattati o dei files che puoi usare solo se hai il software installato.

Sono riportati quesiti assegnati nelle prove INVALSI e nelle prove OCSE PISA ((Programme for International Student Assessment) degli ultimi anni. In particolare si ricorda che le prove INVALSI dal 2003 al 2007, in via sperimentale furono assegnate agli alunni di prima superiore, successivamente, dal 2011 in poi a quelli di seconda superiore.

Sono anche presenti dei quesiti tratti da gare matematiche italiane ed internazionali, alcuni quesiti sono anche enunciati in lingua inglese.

Alla fine di ogni unità vi sono le attività di recupero, formate essenzialmente da una serie di esercizi svolti, da completare e da svolgere interamente.

Infine sono proposti dei test in formato multimediale, almeno 10 di numero, relativi ai più importanti argomenti dell’unità didattica, essi sono utilizzabili solo on line dal sito http://mathinterattiva.altervista.org

Un altro sito da cui puoi scaricare molto materiale didattico gratuito è http://matdidattica.altervista.org.

Vi sono anche diversi collegamenti multimediali che ti portano a pagine web o a files di qualcuno dei software liberi che sono descritti nel libro, o ancora delle applicazioni che mostrano meglio come si fa una certa procedura o come si dimostra un teorema o altro ancora. Buon lavoro da Carmelo Di Stefano

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Carmelo Di Stefano, Dal problema al modello matematico – Volume 1 – Capitolo 1 - Unità 1 - Biennio

Indice

1. Le basi del ragionamento

1.1 Concetti logici applicati alle matematiche

Enunciati logici Pag. 2

Verifiche 5

I quantificatori 6

Verifiche 8

I connettivi 11

Verifiche 17

Per la prova Invalsi 20

Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 21

Questions in English 22

Attività di recupero 24

1.2 Insiemi numerici fondamentali

Concetto di insieme Pag. 27

Verifiche 29

L’insieme dei numeri naturali 31

L’insieme dei numeri interi relativi 34

Verifiche 38

Intervallo matematico 42

Divisibilità e fattorizzazione nell’insieme dei numeri interi 43

Verifiche 49

L’insieme dei numeri razionali relativi 55

Verifiche 61

Operazioni con le frazioni 65

Verifiche 68

Giochiamo alla matematica 74

Per la prova Invalsi 75

Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 81

Questions in English 85

Attività di recupero 87

1.3 Insiemi astratti

Proprietà caratteristica di un insieme Pag. 96

Verifiche 99

L’operazione di intersezione insiemistica 104

L’operazione di unione insiemistica 105

L’operazione di differenza insiemistica 106

L’operazione di differenza simmetrica insiemistica 107

Verifiche 108

Sottoinsiemi di un insieme e insieme delle parti 116

Verifiche 121

Per la prova Invalsi 126

La sfida 126

Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 126

Questions in English 127

Attività di recupero 129

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1.4 Le relazioni binarie

Richiamiamo le conoscenze Pag. 139

Prodotto cartesiano di insiemi 140

Verifiche 143

Concetti di relazione e funzione 145

Verifiche 150

Relazioni binarie 153

Verifiche 158

Giochiamo alla matematica 163

Relazioni di equivalenza 165

Verifiche 167

Relazioni di ordine 169

Verifiche 171

Per la prova Invalsi 172

La sfida 173

Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 173

Questions in English 174

Attività di recupero 176

2. Il calcolo simbolico

2.1 Monomi

Concetto di monomio Pag. 184

Verifiche 187

Operazione di somma algebrica nell’insieme dei monomi 191

Verifiche 194

Per la prova Invalsi 197

La sfida 197

Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 198

Questions in English 198

Attività di recupero 200

2.2 Polinomi

Richiamiamo le conoscenze Pag. 204

Verifiche 205

Concetto di polinomio 206

Verifiche 209

Moltiplicazione nell’insieme dei polinomi 210

Verifiche 212

Prodotti notevoli 216

Verifiche 219

Potenze di binomi e triangolo di Tartaglia 228

Verifiche 231

Quelli che … vogliono saperne di più 237

Polinomi e notazione posizionale dei numeri. Cambiamenti di base

Verifiche 239

Giochiamo alla matematica 240

Per la prova Invalsi 242

La sfida 243

Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 243

Questions in English 244

Attività di recupero 245

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2.3 La fattorizzazione dei polinomi

Operazione di divisione nell’insieme dei monomi Pag. 257

Verifiche 259

Operazione di divisione nell’insieme dei polinomi in una variabile 262

Verifiche 264

Operazione di divisione nell’insieme dei polinomi in più di una variabile 267

Verifiche 268

Teorema e regola di Ruffini 270

Verifiche 274

Scomposizione dei polinomi in fattori. Prodotti notevoli nelle scomposizioni 280

Verifiche 281

Messa in evidenza a fattor comune 286

Verifiche 288

Messa in evidenza con raggruppamenti parziali 292

Verifiche 293

Scomposizione di trinomi notevoli 296

Verifiche 298

Il teorema di Ruffini e la scomposizione di polinomi 304

Verifiche 305

Operazioni con le frazioni algebriche 308

Verifiche 311

Quelli che … vogliono saperne di più 316

Principio di identità dei polinomi e teorema fondamentale dell'algebra

Verifiche 318

Per la prova Invalsi 319

La sfida 320

Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 320

Questions in English 322

Attività di recupero 324

3. Geometria del piano

3.1 Prime nozioni di geometria

Postulati ed enti primitivi della geometria euclidea del piano. Le rette Pag. 340

Verifiche 351

Il concetto di isometria. Segmenti e poligoni 354

Verifiche 362

Concetto di angolo piano e sua misurazione in gradi sessagesimali 364

Verifiche 371

Per la prova Invalsi 373

La sfida 374

Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 374

Questions in English 375

Attività di recupero 376

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3.2 La geometria del triangolo

Criteri di isometria dei triangoli Pag. 381

Verifiche 388

Rette parallele tagliate da una trasversale e classificazione dei triangoli rispetto agli angoli 391

L’angolo storico (V postulato) 398

Verifiche 400

Classificazione dei triangoli rispetto ai lati. Segmenti e punti notevoli 404

L’antologia 413

Verifiche 415

Giochiamo alla matematica 420

Per la prova Invalsi 421

La sfida 422

Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 423

Questions in English 425

Attività di recupero 427

3.3 La geometria dei poligoni con più di tre lati

Poligoni con più di tre lati Pag. 436

Verifiche 439

I parallelogrammi 443

Verifiche 447

Giochiamo alla matematica 452

Applicazioni ai triangoli. I trapezi. 453

L’Antologia 457

Verifiche 458

Quelli che ... vogliono sapere di più. Applicazioni di geometria analitica 462

Verifiche 464

Per la prova Invalsi 466

La sfida 468

Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 468

Questions in English 470

Attività di recupero 472

3.4 Trasformazioni isometriche nel piano

Concetto di trasformazione geometrica. Le traslazioni Pag. 480

Verifiche 485

Le simmetrie 489

Verifiche 492

La rotazione 496

Verifiche 499

Intervallo matematico 501

Per la prova Invalsi 502

La sfida 504

Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 505

Questions in English 506

Attività di recupero 507

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4. Problemi lineari

4.1 Equazioni di I grado in una incognita

Il concetto di uguaglianza in matematica Pag. 511

Verifiche 514

Proprietà delle uguaglianze 516

Verifiche 520

Giochiamo alla matematica 521

Classificazione delle equazioni e risoluzione delle equazioni di primo grado 522

Verifiche 529

Equazioni fratte 535

Verifiche 536

Equazioni parametriche 538

Verifiche 539

Per la prova Invalsi 542

La sfida 544

Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 545

Questions in English 545

Attività di recupero 547

4.2 Risolvere problemi

Problemi risolubili per tentativi Pag. 555

Verifiche 557

Problemi risolubili con equazioni di primo grado o a esse riconducibili 561

L’Antologia 562

Verifiche 564

Giochiamo alla matematica 572

Per la prova Invalsi 572

La sfida 576

Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 576

Questions in English 578

Attività di recupero 580

4.3 Uguaglianze lineari in più variabili

I sistemi di equazioni. Risoluzione dei sistemi lineari: metodo di sostituzione Pag. 587

Verifiche 591

Risoluzione dei sistemi lineari: metodo e teorema di Cramer 601

Verifiche 606

Rette nel piano cartesiano 612

Verifiche 615

Problemi lineari in più incognite 617

Verifiche 619

Giochiamo alla matematica 626

Per la prova Invalsi 628

La sfida 632

Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 632

Questions in English 634

L’antologia 635

Attività di recupero 636

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4.4 Disequazioni di primo grado in un'incognita

Proprietà delle disuguaglianze Pag. 645

Verifiche 647

Disequazioni di primo grado in un'incognita 648

Verifiche 650

Giochiamo alla matematica 652

Disequazioni prodotto e disequazioni fratte 653

Verifiche 656

Sistemi di disequazioni in un'incognita 660

Verifiche 661

Equazioni e disequazioni di primo grado in valore assoluto 666

Verifiche 668

Quelli che … vogliono sapere di più 671

Problemi indeterminati

Verifiche 673

Per la prova Invalsi 675

La sfida 677

Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 677

Questions in English 678

Attività di recupero 679

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1. Le basi del ragionamento

1.1 Concetti logici applicati alle matematiche

Prerequisiti

Possedere conoscenze grammaticali elementari.

• Sapere che cos’è una proposizione.
• Concetti di aritmetica e geometria elementare.

Obiettivi

• Riconoscere frasi coerenti.
• Distinguere proposizioni del linguaggio comune e proposizioni logiche.
• Determinare il valore di verità di enunciati logici.
• Sapere utilizzare scritte simboliche per rappresentare leggi di natura qualsiasi.
• Abituarsi alla precisione di linguaggio.
• Sapere negare enunciati logici semplici e composti, anche contenenti quantificatori.
• Sapere compilare e interpretare semplici tabelle di verità.

Contenuti

• Enunciati logici
• I quantificatori
• I connettivi
• L'implicazione materiale e la deduzione
• La doppia implicazione materiale

Parole chiave

Congiunzione logica – Disgiunzione inclusiva ed esclusiva – Enunciato o proposizione – Esiste almeno – Implicazione e doppia implicazione materiale – Per ogni – Tabella di verità – Valore di verità

Simbologia

Indica la negazione di un enunciato

¬ Indica la congiunzione logica

∧ o vel Indica la disgiunzione logica inclusiva

∨ o aut Indica la disgiunzione logica esclusiva

ɺ Per ogni

∀ Esiste almeno uno

∃ Carmelo Di Stefano, Dal problema al modello matematico – Volume 1 – Capitolo 1 - Unità 1 - Biennio

Enunciati logici

Quando si parla di matematica sembra che si debbano solo snocciolare numeri, fare calcoli e disegnare grafici. Non si pensa che, anche se ciò fosse vero, e non lo è, in ogni caso si usano delle parole che perciò debbono ubbidire a una serie di regole che non sono solo quelle grammaticali della lingua italiana. Anzi, nel caso della matematica, le frasi debbono essere più rigorose di quanto invece succede nel linguaggio di ogni giorno, in cui le frasi talvolta si lasciano in sospeso, si usano modi di dire, forme dialettali e così via. In matematica non si possono creare equivoci, quando si parla di qualcosa, tutti debbono avere in mente la stessa cosa. Ecco perché prima di cominciare a parlare di numeri e di figure dobbiamo chiarire alcune questioni sulla formazione delle frasi.

La lingua italiana come altre lingue, ma più in generale come i codici che permettono lo scambio di informazioni, come per esempio l'informatica, ma anche i segnali stradali o le note musicali, ha delle leggi che la regolamentano. Vi sono delle regole relative all'ortografia, altre alla pronuncia, altre ancora alla formazione delle frasi, quindi regole di tipo grammaticale o sintattico, e così via.

Esempio 1

Consideriamo alcune frasi intese nel senso largo di unione di simboli tratti dall'alfabeto latino allargato, ossia con 26 simboli per le lettere.

1. Caro asdjasljdkla, come stai?

2. I love you.

3. Ti volio bene assai.

4. Se potrei avere mille euro al mese.

5. Triangolo lati tre ha.