Dal problema al modello matematico - Volume 3 per il triennio

Dal problema al modello matematico

Volume terzo

Per il triennio

Carmelo Di Stefano, Dal problema al modello matematico – Volume 5 – Capitolo 9 - Unità 1

Carmelo Di Stefano

Dal Problema al Modello matematico

Volume Terzo

Per il triennio

http://mathinterattiva.altervista.org/E-Book.htm

Edizione riveduta e corretta e arricchita di collegamenti multimediali

Agosto 2019

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Carmelo Di Stefano, Dal problema al modello matematico – Volume 5 – Capitolo 9 - Unità 1

Presentazione

Nel corso della lettura dei volumi troverai diverse cose, che di seguito ti spiego brevemente.

All’inizio di alcune unità trovi un breve ripasso di argomenti svolti negli anni precedenti che ti risultano utili per affrontare serenamente la stessa unità. Vanno sotto il nome di In Richiamiamo le Conoscenze.

In alcune unità vi sono anche argomenti di approfondimento, denominati con il titolo Quelli che … vogliono sapere di più.

Le definizioni, i teoremi, i corollari e simili enti matematici, sono contenuti all’interno di appositi box di un uguale colore (verde per le definizioni, celeste per i teoremi e così via).

Ogni tanto troverai anche un box che ti spiega il significato di alcuni vocaboli, si intitola Che cosa significa?

Poi ci sono tre diversi tipi di box con diverse informazioni storiche, precisamente ci sono quelli intitolati I Protagonisti, che contengono informazioni relativamente a famosi matematici citati nelle stesse pagine; invece ne L’angolo storico ci sono informazioni di varia natura, su quando per la prima volta si sono incontrate le nozioni di cui si sta parlando e simili informazioni; infine in quelli dal titolo L’antologia sono riportati e commentati passi di famose opere matematiche.

Vi sono anche dei box chiamati Intervallo matematico o Giochiamo alla matematica, i primi si riferiscono ad applicazioni della matematica e gli altri alla cosiddetta matematica ricreativa.

Tenuto conto delle ultime riforme scolastiche, in particolare della prova multidisciplinare dell’Esame di Stato, che riguarda la matematica e la fisica, ogni tanto troverai anche L’angolo della MateFisica, in cui sono trattati argomenti di fisica attinenti a quelli di matematica sviluppati nell’unità. In particolare vengono presentati e, a volte svolti, quesiti assegnati agli Esami o nelle Simulazioni che il Ministero prepara durante l’anno.

Alla fine di ogni argomento vi sono le relative verifiche. In esse sono presenti esercizi di tre livelli di difficoltà, opportunamente indicati. Il Livello 1 è relativo a esercizi che sono spesso semplice applicazione di quanto detto nella teoria; quelli di Livello 2 contengono calcoli più complicati, o hanno bisogno di un impegno maggiore; infine quelli di Livello 3 riguardano quesiti che devono essere impostati usando la fantasia e non in modo ripetitivo. Questi ultimi sono riferiti ai più volenterosi.

Per quelli a cui piace veramente ragionare e impegnarsi, alla fine di ogni unità sono presenti alcuni esercizi molto complessi, che vanno sotto il nome di La sfida. Però, per aiutarti, all’inizio di ogni gruppo di esercizi di livello 1 o 2 vi sono alcuni esercizi simili svolti.

Sono talvolta presenti box legati a importanti software matematici, quasi tutti di libero uso. In essi sono presenti dei link a delle applicazioni che descrivono come usare il software per comprendere meglio gli argomenti trattati o dei file che puoi usare solo se hai il software installato.

Alla fine dell’unità sono presentati, quando possibile, esercizi tratti dagli esami di Stato, soprattutto del Liceo Scientifico, riferiti ad anni passati.

Sono anche presenti dei quesiti tratti da gare matematiche italiane ed internazionali, alcuni quesiti sono anche enunciati in lingua inglese.

Alla fine di ogni unità vi sono le attività di recupero, formate essenzialmente da una serie di esercizi svolti, da completare e da svolgere interamente.

Infine sono proposti dei test in formato multimediale, almeno 10 di numero, relativi ai più importanti argomenti dell’unità didattica, essi sono utilizzabili solo on line dal sito http://mathinterattiva.altervista.org

Un altro sito da cui puoi scaricare molto materiale didattico gratuito è http://matdidattica.altervista.org.

Vi sono anche diversi collegamenti multimediali che ti portano a pagine web o a file di qualcuno dei software liberi che sono descritti nel libro, o ancora delle applicazioni che mostrano meglio come si fa una certa procedura o come si dimostra un teorema o altro ancora. Buon lavoro da Carmelo Di Stefano

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Carmelo Di Stefano, Dal problema al modello matematico – Volume 3 – Capitolo 9 - Unità 1

Indice

9. Successioni di numeri reali e funzioni reali di una variabile reale

9.1 Successioni infinite e serie numeriche

Richiamiamo le conoscenze Pag. 2

Verifiche 4

Proprietà delle successioni di numeri reali 6

Verifiche 10

Successioni divergenti 12

Verifiche 15

Successioni convergenti 17

Verifiche 22

Operazioni aritmetiche con i limiti 24

Successioni infinitesime e infinite 28

Verifiche 31

Proprietà dei limiti di successione 35

Verifiche 39

Le serie numeriche 40

Verifiche 44

Intervallo matematico 46

Serie a termini di segno costante 47

Verifiche 51

L’angolo di Derive 52

L’angolo di Microsoft Mathematics 52

La sfida 52

Temi assegnati agli esami di Stato 53

Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 54

Questions in English 55

Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 56

Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 56

9.2 Caratteristiche delle funzioni

Richiamiamo le conoscenze Pag. 58

Verifiche 60

Intervalli di numeri reali 62

Verifiche 64

Definizione di funzione secondo Dirichlet 65

Verifiche 68

Dominio e codominio delle funzioni 73

Verifiche 75

Iniettività e suriettività di una funzione. Funzioni invertibili 82

Verifiche 85

Particolari simmetrie delle funzioni 89

Verifiche 92

Composizione di due o più funzioni 95

Verifiche 96

La sfida 98

Temi assegnati agli esami di Stato 100

Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 101

Questions in English 102

Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 103

Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 105

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Carmelo Di Stefano, Dal problema al modello matematico – Volume 3 – Capitolo 9 - Unità 1

9.3 Continuità delle funzioni

Richiamiamo le conoscenze Pag. 107

Topologia della retta 108

Verifiche 112

I limiti delle funzioni reali di una variabile reale 114

Verifiche 121

Operazioni aritmetiche con i limiti e forme indeterminate 124

Verifiche 130

Continuità di una funzione 135

Verifiche 139

Giochiamo alla matematica 141

Teoremi sulle funzioni continue 142

Verifiche 145

I limiti notevoli 147

Verifiche 153

L’angolo di Geogebra 159

La sfida 160

Temi assegnati agli esami di Stato 160

Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 162

Questions in English 163

Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 164

Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 164

10. Il calcolo differenziale

10.1 Le derivate

Concetto di derivata di una funzione Pag. 166

Verifiche 175

Derivate delle funzioni elementari 179

Verifiche 183

Operazioni aritmetiche elementari con le derivate 185

Verifiche 189

Derivate delle funzioni composte e delle funzioni inverse 193

Verifiche 196

Teoremi del calcolo differenziale 201

Verifiche 212

L’angolo di Derive 219

L’angolo della MateFisica 219

La sfida 222

Temi assegnati agli esami di Stato 222

Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 227

Questions in English 228

Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 230

Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 230

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Carmelo Di Stefano, Dal problema al modello matematico – Volume 3 – Capitolo 9 - Unità 1

10.2 Rappresentazione grafica delle funzioni

Estremi relativi di una funzione Pag. 232

Verifiche 239

Temi assegnati agli esami di Stato 250

Rappresentazione grafica di una funzione 261

Verifiche 267

L’angolo di Derive 275

L’angolo della MateFisica 275

La sfida 276

Temi assegnati agli esami di Stato 277

Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 299

Questions in English 300

11. Il calcolo integrale

11.1 Integrazione indefinita

Richiamiamo le conoscenze Pag. 302

L’integrale come area di un trapezoide 303

Verifiche 307

L’operatore inverso della derivata 308

Verifiche 312

Integrazione per parti 319

Verifiche 321

Integrazione di funzioni razionali fratte 323

Verifiche 327

Integrazione per sostituzione 329

Verifiche 331

L’angolo di Derive 333

L’angolo di Geogebra 333

L’angolo della MateFisica 333

La sfida 334

Temi assegnati agli esami di Stato 335

Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 337

Questions in English 337

11.2 Integrazione definita

Calcolo di integrali definiti e applicazione al calcolo di aree Pag. 340

Verifiche 344

Volume di alcuni solidi di rotazione e lunghezza di alcune curve piane 351

Verifiche 354

Integrali impropri e generalizzati 358

Verifiche 361

L’angolo di Geogebra 362

L’angolo di Derive 362

L’angolo di Microsoft Mathematics 362

L’angolo della MateFisica 362

La sfida 365

Temi assegnati agli esami di Stato 365

Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 388

Questions in English 389

Quelli che … vogliono sapere di più - Equazioni differenziali 390

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Carmelo Di Stefano, Dal problema al modello matematico – Volume 3 – Capitolo 9 - Unità 1

Verifiche 397

L’angolo della MateFisica 402

Temi assegnati agli esami di Stato 403

Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 403

Questions in English 403

12. Incertezza e realtà fisica

12.1 Il calcolo delle probabilità

Richiamiamo le conoscenze Pag. 406

Verifiche 407

Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 408

Questions in English 408

Concetto di evento aleatorio e diversi punti di vista della Probabilità 409

L’Antologia 411

Verifiche 413

La concezione frequentista 414

Verifiche 416

Probabilità secondo Laplace 418

Verifiche 423

Giochiamo alla matematica 424

Probabilità dell’unione di eventi elementari 429

Verifiche 433

Estrazioni con e senza rigenerazione 437

Verifiche 439

Giochiamo alla matematica 441

Probabilità condizionata 442

Verifiche 445

Giochiamo alla matematica 447

Eventi dipendenti ed eventi indipendenti 448

Verifiche 451

Teorema di Bayes e legge dei grandi numeri 453

Verifiche 455

Intervallo matematico 457

L’angolo di Derive 458

L’angolo di Excel 459

La sfida 459

Temi assegnati agli esami di Stato 460

Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 464

Questions in English 468

Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 470

Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 473

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Carmelo Di Stefano, Dal problema al modello matematico – Volume 3 – Capitolo 9 - Unità 1

12.2 Statistica inferenziale

Richiamiamo le conoscenze Pag. 475

Verifiche 478

Variabili casuali 479

Verifiche 482

Principali variabili casuali 485

Verifiche 491

Stime e decisioni statistiche 496

Verifiche 499

Correlazione e metodo dei minimi quadrati 502

Verifiche 506

L’angolo di Geogebra 509

L’angolo di Excel 509

Temi assegnati agli esami di Stato 509

Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 512

Questions in English 512

Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 513

Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 517

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Carmelo Di Stefano, Dal problema al modello matematico – Volume 3 – Capitolo 9 - Unità 1

9. Successioni di numeri reali e funzioni reali di una variabile reale

9.1 Successioni infinite e serie numeriche

Prerequisiti

Numeri naturali

• Proprietà ed operazioni con i numeri naturali
• Insiemi numerabili

Obiettivi

• Riconoscere successioni numeriche e saperne studiare le proprietà
• Comprendere il concetto di limite di una successione
• Sapere calcolare semplici limiti di successioni
• Comprendere il concetto di serie numerica e sua regolarità
• Conoscere le principali serie geometriche
• Sapere determinare il carattere di semplici serie geometriche

Contenuti

• Richiamiamo le conoscenze: Disequazioni
• Proprietà delle successioni di numeri reali
• Successioni divergenti
• Successioni convergenti
• Operazioni aritmetiche con i limiti
• Successioni infinitesime e infinite
• Proprietà dei limiti di successione
• Le serie numeriche
• Serie a termini di segno costante

Parole chiave

Carattere di una serie – Convergente – Divergente – Estremo inferiore e superiore – Infinitesimo – Infinito – Limite – Maggiorante – Minorante – Oscillante – Serie

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Carmelo Di Stefano, Dal problema al modello matematico – Volume 3 – Capitolo 9 - Unità 1

Richiamiamo le conoscenze

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Data la disequazione di II grado ax² + bx + c > (≥; <; 0, in cui possiamo sempre supporre a > 0, diversamente cambiamo segno a tutti i coefficienti e verso alla disequazione, possono accadere i seguenti fatti.

• Δ = b² – 4ac > 0, in questo caso l’equazione associata ax² + bx + c = 0 ha le soluzioni reali x₁ < x₂ e vale il seguente schema

ax² + bx + c > 0 ⇔ x < x₁ ∨ x > x₂

ax² + bx + c ≥ 0 ⇔ x ≤ x₁ ∨ x ≥ x₂

ax² + bx + c < 0 ⇔ x₁ < x < x₂

ax² + bx + c ≤ 0 ⇔ x₁ ≤ x ≤ x₂

• Δ = b² – 4ac = 0, in questo caso l’equazione associata ax² + bx + c = 0 ha la soluzione reale doppia x = x₁ = x₂ = –b/2a e vale il seguente schema

ax² + bx + c > 0 ⇔ x ∈ ℝ

ax² + bx + c ≥ 0 ⇔ x ∈ ℝ

ax² + bx + c < 0 ⇔ ∅

ax² + bx + c ≤ 0 ⇔ x = x₁

• Δ = b² – 4ac < 0, in questo caso l’equazione associata ax² + bx + c = 0 non ha soluzioni reali e vale il seguente schema

ax² + bx + c > 0 ⇔ ∀x ∈ ℝ

ax² + bx + c ≥ 0 ⇔ ∀x ∈ ℝ

ax² + bx + c < 0 ⇔ ∅

ax² + bx + c ≤ 0 ⇔ ∅

Esempio A

La disequazione –x² – 5x + 6 > 0, si riscrive nella forma x² + 5x – 6 < 0. L’equazione x² + 5x – 6 = 0, ha le soluzioni reali x₁ = 2 < 3 = x₂. Pertanto, per lo schema precedente, la disequazione data ha soluzioni 2 < x < 3.

La disequazione x² + 5x – 6 > 0, ha soluzioni x < 2 ∨ x > 3.

La disequazione –x² – 4x + 4 > 0, dato che l’equazione –x² – 4x + 4 = 0, ha Δ = 16 – 16 = 0, e perciò ha l’unica soluzione reale x = 2, per lo schema precedente, ha soluzioni x ≠ 2.

La disequazione –x² – 4x + 4 ≥ 0 ha ogni numero reale per soluzione.

La disequazione –x² – 4x + 4 < 0 non ha soluzioni reali.

La disequazione –x² – 4x + 4 ≤ 0 ha l’unica soluzione x = 2.

La disequazione –x² – 4x + 5 > 0, dato che l’equazione –x² – 4x + 5 = 0, ha Δ = 16 – 20 < 0, per lo schema precedente, ha ogni numero reale per soluzione.

La disequazione –x² – 4x + 5 < 0 non ha soluzioni reali.

Dobbiamo fare particolare attenzione alle disequazioni parametriche.

Esempio B

La disequazione (1 + h)x² – x + 1 > 0, è parametrica di parametro h. La sua equazione associata è anch’essa parametrica, il cui Δ = 1 – 4h – 4 = –3 – 4h. Quindi esso è positivo solo se h < –3/4. Quindi