Dal problema al modello matematico - Volume 2 per il biennio

Per il biennio

Carmelo Di Stefano, Dal problema al modello matematico – Volume 2 – Capitolo 1 - Unità 1 - Biennio

Dal problema al modello matematico

Volume 2

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Presentazione

Carmelo Di Stefano, Dal problema al modello matematico – Volume 2 – Capitolo 1 - Unità 1 - Biennio

Nel corso della lettura dei volumi troverai diverse cose, che di seguito ti spiego brevemente.

• All’inizio di alcune unità trovi un breve ripasso di argomenti svolti negli anni precedenti che ti risultano utili per affrontare serenamente la stessa unità. Vanno sotto il nome di Richiamiamo le conoscenze. In alcune unità vi sono anche argomenti di approfondimento, denominati con il titolo Quelli che … vogliono sapere di più.
• Le definizioni, i teoremi, i corollari e simili enti matematici, sono contenuti all’interno di appositi box di un uguale colore (verde per le definizioni, celeste per i teoremi e così via).
• Ogni tanto troverai anche un box che ti spiega il significato di alcuni vocaboli, si intitola Che cosa significa?
• Poi ci sono tre diversi tipi di box con diverse informazioni storiche, precisamente ci sono quelli intitolati I Protagonisti, che contengono informazioni relativamente a famosi matematici citati nelle stesse pagine; invece ne L’angolo storico ci sono informazioni di varia natura, su quando per la prima volta si sono incontrate le nozioni di cui si sta parlando e simili informazioni; infine in quelli dal titolo L’antologia sono riportati e commentati passi di famose opere matematiche.
• Vi sono anche dei box chiamati Intervallo matematico o Giochiamo alla matematica, i primi si riferiscono ad applicazioni della matematica e gli altri alla cosiddetta matematica ricreativa.
• Tenuto conto delle ultime riforme scolastiche, in particolare della prova multidisciplinare dell’Esame di Stato, che riguarda la matematica e la fisica, ogni tanto troverai anche L’angolo della MateFisica, in cui sono trattati argomenti di fisica attinenti a quelli di matematica sviluppati nell’unità.
• Alla fine di ogni argomento vi sono le relative verifiche. In esse sono presenti esercizi di tre livelli di difficoltà, opportunamente indicati. Il Livello 1 è relativo a esercizi che sono spesso semplice applicazione di quanto detto nella teoria; quelli di Livello 2 contengono calcoli più complicati, o hanno bisogno di un impegno maggiore; infine quelli di Livello 3 riguardano quesiti che devono essere impostati usando la fantasia e non in modo ripetitivo. Questi ultimi sono riferiti ai più volenterosi. Per quelli a cui piace veramente ragionare e impegnarsi, alla fine di ogni unità sono presenti alcuni esercizi molto complessi, che vanno sotto il nome di La sfida. Però per aiutarti all’inizio di ogni gruppo di esercizi di livello 1 o 2 vi sono alcuni esercizi simili svolti. Inoltre, in alcuni casi è presente L’angolo delle correzioni, in cui vengono mostrati esercizi errati da correggere.
• Sono talvolta presenti box legati a importanti software matematici, quasi tutti di libero uso. In essi sono presenti dei link a delle applicazioni che descrivono come usare il software per comprendere meglio gli argomenti trattati o dei files che puoi usare solo se hai il software installato.
• Sono riportati quesiti assegnati nelle prove INVALSI e nelle prove OCSE PISA (Programme for International Student Assessment) degli ultimi anni. In particolare si ricorda che le prove INVALSI dal 2003 al 2007, in via sperimentale furono assegnate agli alunni di prima superiore, successivamente, dal 2011 in poi a quelli di seconda superiore.
• Sono anche presenti dei quesiti tratti da gare matematiche italiane ed internazionali, alcuni quesiti sono anche enunciati in lingua inglese.
• Alla fine di ogni unità vi sono le attività di recupero, formate essenzialmente da una serie di esercizi svolti, da completare e da svolgere interamente.
• Infine sono proposti dei test in formato multimediale, almeno 10 di numero, relativi ai più importanti argomenti dell’unità didattica, essi sono utilizzabili solo on line dal sito http://mathinterattiva.altervista.org.
• Un altro sito da cui puoi scaricare molto materiale didattico gratuito è http://matdidattica.altervista.org.
• Vi sono anche diversi collegamenti multimediali che ti portano a pagine web o a files di qualcuno dei software liberi che sono descritti nel libro, o ancora delle applicazioni che mostrano meglio come si fa una certa procedura o come si dimostra un teorema o altro ancora. Buon lavoro da Carmelo Di Stefano.

Indice

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Carmelo Di Stefano, Dal problema al modello matematico – Volume 2 – Capitolo 1 - Unità 1 - Biennio

5 Algebra non lineare

5.1 I numeri irrazionali

Richiamiamo le conoscenze Pag. 2

Operazione di estrazione di radice n-esima 4

Verifiche 6

Enigmi matematici 10

Operazioni con i radicali 11

Verifiche 15

Notazione esponenziale dei radicali 23

Verifiche 24

Razionalizzazione di una espressione irrazionale 26

Verifiche 29

Quelli che vogliono sapere di più … 35

Costruzione dei numeri irrazionali

Per la prova Invalsi 37

La sfida 38

Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 38

Questions in english 39

Attività di recupero 40

5.2 Equazioni e sistemi di grado superiore al primo

Richiamiamo le conoscenze Pag. 50

Verifiche 52

Equazioni binomie 53

Verifiche 55

Equazioni di secondo grado 58

L’angolo storico. Il metodo del completamento dei quadrati 64

Verifiche 65

Equazioni trinomie 70

Verifiche 73

Relazioni fra i coefficienti di una equazione trinomia e le sue soluzioni 75

Verifiche 76

Equazioni parametriche di II grado 78

Verifiche 79

Equazioni fratte 82

Verifiche 83

Equazioni irrazionali 85

Verifiche 87

Sistemi di equazioni non lineari 90

Verifiche 92

Quelli che vogliono sapere di più … 95

Regola dei segni di Cartesio

Verifiche 98

Quelli che vogliono sapere di più … 100

Particolari equazioni di grado superiore al secondo. Equazioni reciproche

Verifiche 104

L’Antologia 113

iii

Carmelo Di Stefano, Dal problema al modello matematico – Volume 2 – Capitolo 1 - Unità 1 - Biennio

Per la prova Invalsi 116

La sfida 117

Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 117

Questions in english 120

Attività di recupero 122

5.3 Disequazioni non lineari

Disequazioni non lineari Pag. 132

Verifiche 136

Sistemi di disequazioni non lineari 141

Verifiche 143

Per la prova Invalsi 145

La sfida 145

Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 146

Questions in english 146

Attività di recupero 147

5.4 Problemi non lineari

Problemi non lineari Pag. 154

Verifiche 155

L’Antologia 161

Per la prova Invalsi 162

La sfida 163

Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 163

Questions in english 165

Attività di recupero 166

6. Geometria del piano seconda parte

6.1 La circonferenza

La circonferenza e le sue parti Pag. 170

Verifiche 173

Posizione reciproche di retta e circonferenza 176

Verifiche 183

Enigmi matematici 188

Posizioni reciproche di due circonferenze 189

Verifiche 191

Poligoni inscritti e circoscritti a una circonferenza 194

L’Antologia 198

Verifiche 200

Per la prova Invalsi 201

La sfida 203

Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 203

Questions in english 205

Attività di recupero 207

iv

Carmelo Di Stefano, Dal problema al modello matematico – Volume 2 – Capitolo 1 - Unità 1 - Biennio

6.2. La similitudine

Richiamiamo le conoscenze. Le proporzioni Pag. 213

Verifiche 216

Concetto di similitudine 219

Verifiche 222

Teorema di Talete 224

Verifiche 228

Criteri di similitudine 232

Verifiche 236

Importanti teoremi sulla similitudine 243

Verifiche 248

Quelli che vogliono sapere di più ... Retta di Eulero e cerchio dei 9 punti 252

Nozioni di trigonometria 254

Verifiche 256

Per la prova Invalsi 259

La sfida 261

Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 262

Questions in english 264

Attività di recupero 267

6.3 L’equiestensione

Nozione di equiestensione ed area dei poligoni elementari Pag. 276

Verifiche 286

Intervallo matematico 294

Enigmi matematici 295

Teorema di Pitagora 296

Verifiche 304

Teoremi di Euclide 315

Verifiche 318

Superficie del cerchio 320

Verifiche 323

L’Antologia 327

Quelli che vogliono sapere di più ...

Incommensurabilità di segmenti nel piano 329

Generalizzazioni del Teorema di Pitagora 330

Verifiche 332

Per la prova Invalsi 333

La sfida 339

Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 340

Questions in english 344

Attività di recupero 348

v

Carmelo Di Stefano, Dal problema al modello matematico – Volume 2 – Capitolo 1 - Unità 1 - Biennio

7. La matematica dell’incertezza

7.1 Il calcolo delle probabilità

Concetto di evento aleatorio. Probabilità secondo Laplace di eventi semplici Pag. 359

Verifiche 363

L’Antologia 367

Unione di eventi elementari 371

Verifiche 374

Estrazioni con e senza rigenerazione. Eventi indipendenti. Probabilità condizionata 378

Verifiche 380

Enigmi matematici 384

Per la prova Invalsi 384

La sfida 388

Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 388

Questions in english 390

Attività di recupero 392

7.2 La statistica descrittiva

Prime nozioni Pag. 400

Verifiche 403

Rappresentazioni grafiche 406

Verifiche 409

Indici centrali 413

Verifiche 419

Variabilità 427

Verifiche 430

Per la prova Invalsi 431

La sfida 442

Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 442

Questions in english 444

Attività di recupero 447

Algebra non lineare

5.1 I numeri irrazionali

Prerequisiti

• Numeri razionali e relative operazioni
• Relazioni di equivalenza
• Geometria euclidea
• Concetto di elevamento a potenza
• Insiemistica
• Numeri razionali
• Calcolo polinomiale
• Diseguaglianze e disequazioni di primo grado o a esse riconducibili

Obiettivi

• Acquisire il concetto di numero irrazionale
• Acquisire familiarità con le operazioni aritmetiche con i radicali
• Determinare, almeno in linea di principio, un valore approssimato di un radicale irriducibile
• Comprendere il concetto di esponente frazionario
• Distinguere i valori approssimati da quelli esatti

Contenuti

• Richiamiamo le conoscenze: I numeri reali
• Operazione di estrazione di radice n-esima
• Operazioni con i radicali
• Notazione esponenziale dei radicali
• Razionalizzazione di una espressione irrazionale

Quelli che vogliono sapere di più

Costruzione dei numeri irrazionali

Parole chiave

Approssimazione per difetto – Approssimazione per eccesso – Indice – Irrazionale – Radicale – Radicando –

Incommensurabile – Radicale apparente – Radicale irriducibile

Simbologia

• Indica l’insieme dei numeri irrazionali

I

n R

• Indica la radice del numero

n-esima R

Richiamiamo le conoscenze

I numeri reali

Carmelo Di Stefano, Dal problema al modello matematico – Volume 2 – Capitolo 5 - Unità 1 - Biennio

Definizione A

• Chiameremo insieme dei numeri reali l'insieme dei numeri che possono essere scritti premettendo il segno + o – a un numero intero, facendolo poi seguire da una virgola e da altre cifre in numero qualsiasi.
• Chiameremo sua parte intera il numero che precede la virgola.
• Chiameremo sua parte decimale le infinite cifre che seguono la virgola.

Notazione A

L’insieme dei numeri reali si indica con il simbolo R.

Notazione B

Quando scriviamo i numeri reali positivi possiamo anche omettere il segno +. Se a partire da una certa cifra in poi tutte le altre sono zero conveniamo di non scriverle; se tutta la parte decimale è composta da infiniti zeri non scriveremo nemmeno la virgola.

Esempio A

L'insieme R risulta infinito e comprende come sue parti

• l'insieme N: i numeri naturali sono quelli che sono preceduti dal segno + e hanno parte decimale tutta formata da zeri;
• l'insieme Z: gli interi relativi si comportano come i naturali ma possono essere preceduti anche dal segno – o essere il numero 0;
• l'insieme Q: i numeri razionali che hanno la parte decimale che contiene infiniti zeri a partire da una determinata posizione (numeri decimali limitati), oppure la parte decimale formata ripetendo all'infinito le prime n cifre (numeri periodici semplici), o infine la ripetizione all'infinito di gruppi di cifre tutti uguali a partire non dalla prima cifra dopo la virgola ma dopo un certo numero di altre cifre (numeri periodici misti).

Così i seguenti sono esempi di numeri reali: 123; 12,31; 14,2323232323… ; 0,12345678… In particolare nell’ultimo numero sottintendiamo di scrivere uno dietro l’altro tutti i numeri naturali.

Vediamo adesso due importanti proprietà dei numeri reali.

Definizione B

• Dato un insieme numerico se fra due suoi elementi qualunque, a e b, con a < b esiste sempre un numero c tale che si abbia a < c < b, l’insieme si dirà denso.
• Dato un insieme numerico denso, se fra due suoi elementi qualunque, a e b, con a < b esistono solo numeri dello stesso insieme, esso si dirà continuo.

Esempio B

• L'insieme N non è denso, per esempio fra i numeri naturali 2 e 3 non vi sono altri numeri naturali. Lo stesso succede per Z.
• Invece sia Q che R sono densi. Per esempio fra 1,2 e 1,3 c’è il numero razionale 1,25. Fra 0,123... format da tutti i numeri naturali scritti uno dietro l’altro e 0,13579... scrivendo solo i numeri dispari vi è per esempio il numero reale 0,124567... π.
• Invece Q non è continuo perché per esempio fra 3,14 e 3,15 c’è il numero π che non è un numero razionale. Invece R è un insieme continuo, fra due numeri reali ci sono solo numeri reali.

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Carmelo Di Stefano, Dal problema al modello matematico – Volume 2 – Capitolo 5 - Unità 1 - Biennio

Definizione C

Diciamo insieme dei numeri irrazionali l’insieme differenza R Q.

Notazione C

L’insieme dei numeri irrazionali si indica con il simbolo I.

Che cosa significa? Numero irrazionale letteralmente vuol dire che sfugge alla ragione. Per la prima volta Michel Stiefel nella Arithmetica integra del 1544 parla di numeri irrationales riferendosi ai rapporti di grandezze geometriche incommensurabili, ossia che non possono essere espresse nella stessa unità di misura.

Esempio B

I numeri irrazionali sono tutti quei numeri esprimibili con una parte decimale infinita ma non periodica. Il numero √2 = 1,4142... e il numero π = 3,1415... sono due fra i numeri irrazionali più utilizzati. Non ci si lasci ingannare dalle ellissi: esse compaiono qui perché le cifre sono infinite, non perché esse verificano qualche particolare condizione. Infatti la quinta e la sesta cifra decimale di √2 = 1,4142... non sono 4 e 3 mentre invece esse sono 1 e 3. Lo stesso discorso vale per π e per altri numeri irrazionali.

Operazione di estrazione di radice n-esima

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Carmelo Di Stefano, Dal problema al modello matematico – Volume 2 – Capitolo 5 - Unità 1 - Biennio

In fondo, anche se in questo testo non abbiamo mai parlato di radici quadrate, queste sono note allo studente sin dalla scuola media, in particolare dall’applicazione del teorema di Pitagora. Queste conoscenze sono però intuitive e poco rigorose, adesso è venuto il momento di renderle più precise.

Definizione 1

Dato un numero reale non negativo a, diciamo sua radice quadrata il numero reale positivo r il cui quadrato è uguale ad a.

Notazione 1

Per indicare la radice quadrata di a scriviamo √a.

L’angolo storico

Il simbolo ha avuto una lunga storia nel corso dei secoli. Già in un papiro egiziano compare il simbolo di una squadra posta in piedi. In seguito, durante il medioevo, in Europa i simboli più usati furono R, con il significato di radix; l, con il significato di latus, e il segno √. Quest’ultimo segno ebbe origine in Germania e