Dal problema al modello matematico - Volume 1 per il triennio

Dal problema al modello matematico

Volume primo

Per il triennio

Carmelo Di Stefano

Dal Problema al Modello matematico

Volume Primo

Per il triennio

http://mathinterattiva.altervista.org/E-Book.htm

Edizione riveduta e corretta e arricchita di collegamenti multimediali.

Luglio 2019

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citati correttamente sono pregati di mettersi in contatto con l’autore o con l’editore per gli interventi che si

riterranno necessari; si fa presente che questo libro non ha scopo di lucro.

Carmelo Di Stefano, Dal problema al modello matematico – Volume 3 – Capitolo 1 - Unità 1

Presentazione

Nel corso della lettura dei volumi troverai diverse cose, che di seguito ti spiego brevemente.

All’inizio di alcune unità trovi un breve ripasso di argomenti svolti negli anni precedenti che ti risultano

• Utili per affrontare serenamente la stessa unità. Vanno sotto il nome di In

Richiamiamo le Conoscenze.

In alcune unità vi sono anche argomenti di approfondimento, denominati con il titolo Quelli che … vogliono sapere di più

Le definizioni, i teoremi, i corollari e simili enti matematici, sono contenuti all’interno di appositi box di

• Un uguale colore (verde per le definizioni, celeste per i teoremi e così via)

Ogni tanto troverai anche un box che ti spiega il significato di alcuni vocaboli, si intitola Che cosa significa?

Poi ci sono tre diversi tipi di box con diverse informazioni storiche, precisamente ci sono quelli intitolati

• Che contengono informazioni relativamente a famosi matematici citati nelle stesse pagine;

I Protagonisti, ne ci sono informazioni di varia natura, su quando per la prima volta si sono

L’angolo storico

incontrate le nozioni di cui si sta parlando e simili informazioni; infine in quelli dal titolo L’antologia

sono riportati e commentati passi di famose opere matematiche.

Vi sono anche dei box chiamati Intervallo matematico o Giochiamo alla matematica,

• I primi si riferiscono ad applicazioni della matematica e gli altri alla cosiddetta matematica ricreativa.

Tenuto conto delle ultime riforme scolastiche, in particolare della prova multidisciplinare dell’Esame di

• Stato, che riguarda la matematica e la fisica, ogni tanto troverai anche in cui

L’angolo della MateFisica, sono trattati argomenti di fisica attinenti a quelli di matematica sviluppati nell’unità. In particolare vengono presentati e, a volte svolti, quesiti assegnati agli Esami o nelle Simulazioni che il Ministero prepara durante l’anno.

Alla fine di ogni argomento vi sono le relative verifiche. In esse sono presenti esercizi di tre livelli di difficoltà, opportunamente indicati. Il

• Livello 1 è relativo a esercizi che sono spesso semplice applicazione

di quanto detto nella teoria; quelli di Livello 2 o contengono calcoli più complicati, o hanno bisogno di

un impegno maggiore; infine quelli di Livello 3 riguardano quesiti che devono essere impostati usando

la fantasia e non in modo ripetitivo. Questi ultimi sono riferiti ai più volenterosi. Per quelli a cui piace

veramente ragionare e impegnarsi, alla fine di ogni unità sono presenti alcuni esercizi molto complessi,

che vanno sotto il nome di La sfida. Per aiutarti all’inizio di ogni gruppo di esercizi di livello 1 o

2 vi sono alcuni esercizi simili svolti.

Sono talvolta presenti box legati a importanti software matematici, quasi tutti di libero uso. In essi sono

• Presenti dei link a delle applicazioni che descrivono come usare il software per comprendere meglio gli

argomenti trattati o dei files che puoi usare solo se hai il software installato.

Alla fine dell’unità sono presentati, quando possibile, esercizi tratti dagli esami di stato, soprattutto del

• Liceo Scientifico, riferiti ad anni passati.

Sono anche presenti dei quesiti tratti da gare matematiche italiane ed internazionali, alcuni quesiti sono

• Anche enunciati in lingua inglese.

Alla fine di ogni unità vi sono le attività di recupero, formate essenzialmente da una serie di esercizi

• Svolti, da completare e da svolgere interamente.

Infine sono proposti dei test in formato multimediale, almeno 10 di numero, relativi ai più importanti argomenti dell’unità didattica, essi sono utilizzabili solo online dal sito http://mathinterattiva.altervista.org.

Un altro sito da cui puoi scaricare molto materiale didattico gratuito è http://matdidattica.altervista.org.

• Vi sono anche diversi collegamenti multimediali che ti portano a pagine web o a files di qualcuno dei
• Software liberi che sono descritti nel libro, o ancora delle applicazioni che mostrano meglio come si fa

una certa procedura o come si dimostra un teorema o altro ancora. Buon lavoro da Carmelo Di Stefano

ii

Carmelo Di Stefano, Dal problema al modello matematico – Volume 3 – Capitolo 1 - Unità 1

Indice

1. Le basi del ragionamento

1.1 Concetti logici applicati alle matematiche

Richiamiamo le conoscenze Pag. 7

Che cosa sono le matematiche? 7

Nozione di problema 9

Concetto di verità 9

Nozione di definizione 10

L’Antologia 12

Verifiche 14

Assiomi e teoremi 16

L’Antologia 17

Verifiche 18

I principi della logica classica 19

Verifiche 22

L’angolo di Derive 23

La sfida 23

Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 23

Questions in English 24

Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 25

Intervallo matematico 26

Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 27

1.2 Verso il concetto di dimostrazione

Richiamiamo le conoscenze Pag. 29

Verifiche 31

I quantificatori 33

Verifiche 37

L’Antologia 40

Il calcolo proposizionale 42

Verifiche 46

Intervallo matematico 47

Il concetto di dimostrazione 49

Verifiche 56

Giochiamo alla matematica 60

L’Antologia 61

L’angolo di Derive 62

L’angolo di Excel 62

Intervallo matematico 63

La sfida 64

Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 64

Questions in English 67

Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 68

Quelli che … vogliono sapere di più – I sillogismi aristotelici 73

Verifiche 75

Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 76

1

Carmelo Di Stefano, Dal problema al modello matematico – Volume 3 – Capitolo 1 - Unità 1

1.3 Insiemi dotati di struttura

Richiamiamo le conoscenze Pag. 77

Verifiche 79

Strutture algebriche 82

Verifiche 86

I Gruppi 88

L’Antologia 90

Verifiche 91

Anelli, Corpi e Campi 94

Verifiche 97

Isomorfismi 98

Verifiche 99

L’angolo di Derive 99

La sfida 100

Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 100

Questions in English 101

Quelli che … vogliono sapere di più - Ordine dei sottogruppi 102

Verifiche 104

2. Geometria delle coordinate

2.1 Risoluzione dei sistemi lineari

Richiamiamo le conoscenze Pag. 106

Verifiche 109

Risoluzione di un sistema lineare di equazioni in incognite 112

n n

L’Antologia 123

Verifiche 124

Inversione di matrici 132

Verifiche 136

Giochiamo alla matematica 141

Risoluzione di sistemi lineari di equazioni in incognite 144

n m

Verifiche 148

L’angolo di Derive 157

L’angolo di Microsoft Mathematics 157

La sfida 157

Temi assegnati agli esami di stato 158

Quelli che … vogliono sapere di più - Metodo di diagonalizzazione di Gauss 159

Verifiche 165

2.2 Il riferimento cartesiano ortogonale

Richiamiamo le conoscenze Pag. 168

Concetto di sistema di riferimento sulla retta 170

Verifiche 173

Concetto di sistema di riferimento sul piano 178

Verifiche 183

Giochiamo alla matematica 186

Geometria dei punti e delle figure poligonali 187

Verifiche 189

Suddivisione di un segmento in un dato rapporto 197

Verifiche 200

Aree di figure poligonali 204

Verifiche 207

L’angolo di Geogebra e Cabri 208

L’angolo di Derive 208

2

Carmelo Di Stefano, Dal problema al modello matematico – Volume 3 – Capitolo 1 - Unità 1

L’angolo di Microsoft Mathematics Pag. 208

La sfida 208

Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 210

Questions in English 211

Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 212

Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 212

3. Rette e trasformazioni geometriche

3.1 Curve di primo grado

Richiamiamo le conoscenze Pag. 214

Concetto di luogo geometrico–analitico 216

L’Antologia 220

Verifiche 222

Equazione della retta 225

Verifiche 232

Posizioni reciproche di due rette 240

Verifiche 245

Fasci di rette 257

Verifiche 259

L’angolo di Derive 263

L’angolo di Geogebra e Cabri 263

L’angolo della MateFisica 264

La sfida 265

Temi assegnati agli esami di stato 265

Quelli che … vogliono sapere di più – Cenni sulla programmazione lineare 267

Verifiche 271

L’angolo di Derive 278

L’angolo di Geogebra 278

Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 278

Questions in English 280

Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 281

Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 284

3.2 Trasformazioni geometriche

Richiamiamo le conoscenze Pag. 286

Trasformazioni geometriche 287

Verifiche 290

Composizione di trasformazioni geometriche 292

Verifiche 294

Inversione di trasformazioni geometriche 295

L’Antologia 297

Verifiche 298

Leggi delle trasformazioni isometriche 299

Leggi della traslazione 300

Verifiche 302

Leggi delle simmetrie 305

Verifiche 309

Leggi delle rotazioni 318

Verifiche 320

Intervallo Matematico 324

Leggi delle omotetie 325

Verifiche 328

Leggi delle trasformazioni di similitudine 332

3

Carmelo Di Stefano, Dal problema al modello matematico – Volume 3 – Capitolo 1 - Unità 1

Verifiche Pag. 334

Leggi delle trasformazioni di affinità 338

Verifiche 341

L’angolo di Derive 345

L’angolo di Geogebra e Cabri 345

L’angolo della MateFisica 346

La sfida 347

Temi assegnati agli esami di stato 350

Giochiamo alla matematica 351

Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 351

Questions in English 352

Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 352

Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 352

4. Geometria delle coniche

4.1 Le sezioni coniche

Richiamiamo le conoscenze Pag. 354

Verifiche 354

I numeri complessi 355

L’Antologia 358

Operazioni aritmetiche con i numeri complessi 359

Verifiche 362

L’angolo di Derive 366

L’angolo di Microsoft Mathematics 366

Le coniche 367

L’Antologia 373

Verifiche 374

Posizioni reciproche di retta e conica e di due coniche 376

Verifiche 381

L’angolo di Geogebra 386

Fasci di coniche 387

Verifiche 389

Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 391

Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 391

4.2 Le circonferenze

Equazione della circonferenza Pag. 393

Verifiche 397

L’angolo di Derive 409

Fasci di circonferenze 410

Verifiche 413

L’angolo della MateFisica 415

La sfida 415

Temi assegnati agli esami di stato 417

Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 419

Questions in English 420

Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 421

Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 422

4

Carmelo Di Stefano, Dal problema al modello matematico – Volume 3 – Capitolo 1 - Unità 1

4.3 Le ellissi

Equazione dell’ellisse Pag. 424

Verifiche 432

Fasci di ellissi 444

Verifiche 446

Intervallo matematico 447

L’angolo di Derive 447

L’angolo di Geogebra 448

L’angolo della MateFisica 448

La sfida 449

Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 449

Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 449

4.4 Le iperboli

Equazione dell’iperbole Pag. 451

Verifiche 458

Fasci di iperboli 471

L’antologia 473

Verifiche 474

Intervallo matematico 477

L’angolo di Derive 477

L’angolo di Geogebra 477

L’angolo della MateFisica 478

La sfida 478

Temi assegnati agli esami di stato 479

Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 480

Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 481

4.5 Le parabole

Equazione della parabola Pag. 483

Verifiche 490

Fasci di parabole 509

Verifiche 510

Intervallo matematico 511

L’angolo di Derive 511

L’angolo di Geogebra 511

L’angolo della MateFisica 512

La sfida 513

Temi assegnati agli esami di stato 514

Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 521

Questions in English 521

Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 522

Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 523

5

Carmelo Di Stefano, Dal problema al modello matematico – Volume 3 – Capitolo 1 - Unità 1

1. Le basi del ragionamento

1.1 Concetti logici applicati alle matematiche

Prerequisiti

Conoscenze grammaticali elementari

• Nozione di enunciato logico.
• Nozione di raggruppamento di oggetti in base a una loro caratteristica o prerogativa.

Obiettivi

Riconoscere la necessità di introdurre, alla base della matematica, delle affermazioni indimostrabili.

• Riconoscere l’opportunità di dimostrare fatti anche apparentemente ovvi e intuitivi.
• Distinguere in un teorema ipotesi e tesi.
• Distinguere il Teorema come risultato sicuro, ossia sostenuto da una dimostrazione, dalla congettura,

presunto,

• Ossia risultato sostenuto da un certo numero di prove, anche infinito.

Riconoscere e assimilare il significato della dimostrazione matematica di un fatto.

• Essere consapevoli che infinite verifiche non dimostrano alcunché, mentre un solo controesempio serve
• Ad abbattere la presunta verità di un fatto.
• Imparare a distinguere ciò che è necessario da ciò che è superfluo.
• Acquisire l’abilità di suddividere i problemi in altri più semplici.
• Riconoscere l’opportunità di raggruppare sotto un unico nome oggetti che hanno qualcosa che li accomuna.
• Familiarizzare con le opportune simbologie.

Contenuti

Che cosa sono le matematiche?

• Nozione di problema
• Concetto di verità
• Nozione di definizione
• Assiomi e teoremi
• I principi della logica classica

Parole chiave

Enunciato – Congettura – Dimostrazione – Assioma o postulato – Teorema – Corollario – Ipotesi – Tesi

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Richiamiamo le conoscenze

Enunciati logici

Un enunciato logico è una frase del linguaggio comune, dotata di senso, alla quale possiamo associare in

modo univoco un valore di verità, della quale possiamo cioè dire in modo definitivo se è vera o falsa.

Così sono veri i seguenti enunciati logici indipendentemente dal fatto che ciascuno di noi conosca o meno i

fatti citati:

• L’Italia è una repubblica.
• Giove è il pianeta più grande del sistema solare.
• Pitagora è nato a Samo.

Sono invece falsi gli enunciati logici che seguono:

• Il Brasile confina con Cuba.
• Giulio Cesare è vissuto 100 anni dopo la nascita di Cristo.
• I Pink Floyd hanno scritto la famosa canzone Let it be.

Non sono enunciati logici le seguenti frasi, perché si riferiscono a opinioni personali, indipendentemente dal

fatto che possano essere condivisibili da un numero enorme di persone:

• I Genesis sono stati il miglior gruppo rock degli anni ottanta del XX secolo.
• Il calcio è lo sport più appassionante.
• Il tedesco è una lingua difficile.

Nemmeno le seguenti scritte sono enunciati logici:

• Quanto tempo manca alla mezzanotte?
• Stai dopo come allora.
• Ammaammsas dlklkd.

Esse sono rispettivamente una domanda, una successione disordinata di parole della lingua italiana senza un

significato logico, una serie di simboli privi di senso nella lingua italiana (e non solo in quella).

Che cosa sono le matematiche?