Dov'è Moriarty? Cerchiamo la via più breve con Mathcad

Dov'è Moriarty? Cerchiamo la via più breve con Mathcad

Potete determinare la distanza più breve da tre punti e trovare Moriarty?

Si sa che la via più breve tra due punti è la linea retta. Ma vi siete mai chiesti, “Qual è la via più breve

tra tre punti ? o tra quattro punti?”

Per esempio, fate conto di essere Sherlock Holmes che si sta avvicinando al suo mortale nemico,

Moriarty. Dalle informazioni che avete in mano, sapete che Moriarty ha stabilito basi operative in tre

zone diverse della città. Sapete anche che a Moriarty piace posizionarsi in un luogo che riduca al

massimo le distanze che i suoi uomini devono percorrere per fare rapporto sui percorsi tra queste basi.

Nelle pagine seguenti vi verrà chiesto di trovare la distanza più breve tra tre e tra quattro punti. Mentre

sperimenterete soluzioni diverse, Mathcad traccerà le soluzioni su un piano coordinato e troverà la

lunghezza totale della soluzione.

Via più breve da tre punti

Per cominciare, supponiamo che le basi operative di Moriarty siano dislocate sui vertici di un triangolo

A, B C

e vengono definiti e tracciati sotto. Con Mathcad è

equilatero con lati di lunghezza 16. I vertici

più facile scrivere un punto come vettore con la coordinata x sopra e la coordinata y sotto. Per facilitare

A

il disegno del grafico porremo i tre vertici in un dato ordine, ripetendo alla fine, in modo che il

triangolo possa essere disegnato completamente. Poiché vorremo disegnare tanti triangoli e dato che

con Mathcad trovare funzioni è facile, definiremo una funzione che formi un triangolo con tre punti.

8

0 16

A C

B 0

0 .

8 3

A B C A

1 1 1 1

tri A , B , C A B C A

2 2 2 2

T tri A , B , C

i 1 .. 4 20

10

T 2 , i 0 0 10 20

T 1 , i

Ci sono molti modi per congiungere i tre punti. Sotto ci sono tre soluzioni possibili.

D(domanda): Quale di queste soluzioni porta la distanza totale più breve tra i tre punti?

D: Se tu fossi Moriarty, dove saresti posizionato?

Indovinare la Soluzione per un Triangolo Equilatero

x

Nel diagramma sotto, il punto rappresenta il punto di intersezione delle linee blu. Provate a

y

x y

cambiare le coordinate e nella definizione a destra del grafo. Si vede che la lunghezza totale delle

linee blu viene calcolata automaticamente e immediatamente. Trasformeremo anche il percorso in una

funzione, così da poter riutilizzare la definizione. Tracciamo il grafico percorrendo il tratto tra il primo

vertice la nostra intersezione, da qui al secondo vertice e ritorno e poi di nuovo verso il terzo e ultimo

vertice. A x B x C

1 1 1

percorso x , y , A , B , C y y

A B C

2 2 2

percorso1 percorso x , y , A , B , C

c 1 .. 3

j 1 .. 5

Determineremo anche una funzione di lunghezza totale che sommi le lunghezze dei tre segmenti del

percorso. Qui il valore assoluto sta ad indicare la distanza tra due punti usando la formula

corrispondente. x x x

lunghezza_totale

x , y , A , B , C A B C

y y y

lunghezza1 lunghezza_totale

x , y , A , B , C

20

T 2 , i

T 2 , c 10

percorso1 2 , j

y 0 0 10 20

T , T , percorso1 , x

1 , i 1 , c 1 , j

x 4

y 4

lunghezza1

= 28.943

D: Avrete la soluzione che vi aspettate se

x 0 x 16

? Se ?

y 0 y 0 x y

D: Quali valori interi delle coordinate di e vi daranno le distanze più brevi tra tre punti? Sapete

trovare i valori esatti?

D: Quando troverete la distanza più breve, osservate gli angoli con il vertice nel punto di intersezione.

Formulate una ipotesi generale sulla geometria della distanza più breve tra tre punti.

Soluzioni per un triangolo qualsiasi

Ampliando questo problema, supponiamo che le tre basi operative si trovino sui vertici di un triangolo

rettangolo o scaleno qualsiasi. A destra vengono date le coordinate dei vertici di un triangolo

rettangolo. Per prendere in considerazione un triangolo scaleno, provate a cambiare le coordinate alla

destra della definizione

X

di Y

(useremo le maiuscole per distinguere questo caso da quello equilatero).

0

A2 0

0

B2 13

17

C2 0

T2 tri A2 , B2 , C2

percorso2 percorso X , Y , A2 , B2 , C2

lunghezza2 lunghezza_totale

X , Y , A2 , B2 , C2

20

T2

2 , i

T2

2 , c 10

percorso2 2 , j

Y 0 0 10 20

T2 , T2 , percorso2 , X

1 , i 1 , c 1 , j

X 2

Y 2

lunghezza2

= 29.142

D: Servendovi delle ipotesi che avete sviluppato sopra, trovate i valori interi delle coordinate della

X di Moriarty.

posizione Y

D: Per ogni gruppo di tre punti la soluzione è unica? In altre parole, per un dato triangolo, Moriarty

potrebbe trovarsi in più di un punto?

D: Cosa succede se uno degli angoli è uguale o maggiore di 120°?

Calcolare la soluzione per un triangolo qualsiasi x

Find

Usando un blocco soluzione, e la funzione , Mathcad trova il punto di intersezione in modo

y

A3, B3 C3.

che la lunghezza totale venga minimizzata. Provate a cambiare la posizione di e

0

A3 4

4

B3 15

14

C3 2

T3 tri A3 , B3 , C3

… ipotesi iniziale per il punto di intersezione

x 4

y 7

Vogliamo che la lunghezza totale sia la più piccola possibile, e useremo dei calcoli sofisticati per

'

x y.

trovare i valori migliori per e Se conoscete un po l'analisi matematica, potete capire cosa stiamo

facendo: definiamo la lunghezza totale come funzione delle due coordinate del punto che stiamo

cercando. Imponendo che la derivata di questa funzione, rispetto ad ogni variabile, sia uguale a 0, si

pone una condizione che viene soddisfatta dal punto migliore. (Per gli appassionati di analisi

matematica, queste sono derivate parziali).

Dapprima si definisce la funzione lunghezza:

f x , y lunghezza_totale

x , y , A3 , B3 , C3

Il blocco risolutivo di Mathcad (basato anch'esso su concetti di analisi matematica) dà come soluzione

per le coordinate:

Given

d f x , y 0

dx

d f x , y 0

dx

x x , y

find

y

percorso3 percorso x , y , A3 , B3 , C3

Ecco la soluzione trovata da Mathcad:

20

10

0 0 10 20

Le coordinate del punto di intersezione:

x 4.146

=

y 5.803

La distanza più breve tra tre punti è:

f x , y = 24.282

Il problema per un quadrato

Ora, supponiamo che ci siano quattro basi operative situate sui vertici di un quadrato di lato 16

0

As 0

0

Bs 16

16

Cs 16

16

Ds 0

As Bs Cs Ds As

1 1 1 1 1

S As Bs Cs Ds As

2 2 2 2 2

La figura è ora un quadrilatero. Quattro soluzioni tipiche per collegare i vertici appaiono sotto

D: Quale di queste soluzioni è la più breve? punti di intersezione. Ciò significa che Moriarty

Notare che alcune di queste soluzioni presentano due

potrebbe trovarsi nell'uno o nell'altro! Nella pagina seguente vi verrà chiesto di trovare due punti di

intersezione. Ricordatevi che due punti possono anche essere lo punto.

stesso P

Ora provate l'esperimento con un quadrato. Nota: per questo lavoro non supporre che sia alla destra

S

di . Poiché ora abbiamo più vertici, dovremo definire espressioni nuove per il percorso e la

lunghezza, e alcune variabili di campo per il disegno.

i 1 .. 5

c 1 .. 4

j 1 .. 8 As P Bs P R Cs R Ds

1 1 1 1 1 1 1 1

percorso4 As P Bs P R Cs R Ds

2 2 2 2 2 2 2 2

lunghezza_totales As P Bs P P R Cs R Ds R

P R

e e verificate quanto breve sia la lunghezza totale che riuscite ad ottenere.

Stabilite le coordinate di

20

15

10

5

0 0 5 10 15 20