Bisaccia

Lovecchio Ing. Filomeno

Della parte di BISACCIA di equazione
y=(2x^2+3x.radice(52-3x^4))/26
le derivate I^ e II^ sono
y'=(4x.radice(52-3x^4)+
-27x^4+156):26;
y"=(2.radice(52-3x^4)^3+
-2340x^3+156x^7):13radice(52+3x^4)^3,per
a=6; b=4; a^2+b^2=52.
Ciò premesso ,
PERIMETRO della BISACCIA=
2.integrale da -2 a 2 di
radice(1+(f'(x)^2);sostituendo
=2.integrale da -2 a +2 di
(1+(4x.radice(52-3x^4)-+27x^4+156)^2);con l'ausilio di un calcolatore,=10,888393u.

DERIVATA I^in P(x(p)=1,9;y(p)=
2(1,9)^2+3(1,9)radice(52+
-3(1,9)^4)):26=1.065206948),
y'(P)=(4(1,9)radice di
(52-3(1,9)^4)-27(1,9)^4+156)/
26=-1,804845 .

EQUAZIONE della tangente in P.
y=-1,804845(x-1,9)+1,06520695=
-1,804845x+4,49441245.

PERPENDICOLARE alla tangente in P.y=(1/1,804845)(1-1,9)+
+1,06520695=
0,5540642x+0,0124845.

DERIVATA II^in P ,(x(P)=1,9 ;
y(P)=1,065206948).
y"(P)=(2.radice(52-3x^4)^3-
+2340x^3+156x^7)/13radice(52-+3x^4)^3=(sostituendo x(P))=
-14,466116u.

COORDINATE del centro di curvatura in P. x(c)=
=x(P)-y'(P)/y"(P)(1+(y'(P)^2)=
1,9-1,804845/14,466116(1+
+(1,804845)^2)=1,36882256u;
y(c)=y(P)+1/y"(P)(1+(y'(P)^2)=
=1,065206948-(1/-14,46616)(1+
+(1,804845)^2)=0,75776432u.

RAGGIO di curvatura in P.
R(c)=(1+(y'(P)^2)^(3/2))/y"(P)
=(1+(1,804845)^2)^(3/2)+
-14,46616 =0,60726012.
Tale risultato si può ottenere
in funzione delle coordinate di R(c)=x(c) e y(c) e di
P ( x(P), y(P).
R(c)=radice((x(P)-x(c))^2+
+(y(P)-y(c))^2) =(sostituendo)
=0,60726012u.

Lovecchio Ing. Filomeno

ERRATA CORRIGE:
sostituire radice(n-3x^4) a radice(n-x^2)e radice(n-x^4),
trascritte erroneamente.
Ciò premesso,la derivata II^ della "Bisaccia" di equazione
y=(bx^2+,-ax.radice(n-3x^4))/n,
derivando la derivata I^,è
y"=2((b.radice(n-3x^4)^3+,-3ax^3(+,-9x^4-,+5n))/n.radice(n-3x^4)^3,per n=(a^2+b^2);
mentre la derivata I^,tenendo presente i segni +,-, è
y'=((2bxradice(n-3x^4)+,-9ax^4
-,+an))/n.radice(n-3x^4).

Lovecchio Ing.filomeno

Derivata prima della "curva bisaccia" di equazione
(1/(a^2+b^2)(2bx+,-a((a^2+b^2-3x^4)/radice(a^2+b^2-x^4)).
Dimostrazione.
Ammesso (a^2+b^2)=n ,
y=(1/n).((bx^2+,-ax.radice(n-x^4));
(1/n)(((d/dx)(bx^2+,- ((d/dx)ax.radice(n-x^4))=
(1/n)((2bx+,-a(x(d/dx)(n-x^4)/
2radice(n-x^4)+
+radice(n-x^4).(d/dx)x))=
(1/n)(2bx+,-a((-2x^4/radice(n-x^4)+radice(n-x^4))=
(1/n)(2bx+,-a((-2x^4+(n-x^4)/
radice(n-x^4))=
sostituendo,
1/(a^2+b^2)((2bx+,-a(a^2+b^2-3x^4)/radice((a^2+b^2-x^4))=
y' della "curva bisaccia".
Della "curva bisaccia" ,y=
y=(1/26)((2x^2+,-3x.radice(52-x^4)); derivata prima=
y'=(1/26)((4x+,-3((52-3x^4)/
radice(52-x^4)).

Lovecchio Ing.filomeno

Dimostriamo che l'equazione cartesiana della " curva bisaccia" è
y=((bx^2+,-ax.radice(a^2+b^2-x^2)):sad:a^2+b^2).Premesso che
sent=-y/x=radice(1-(cost)^2);
cost=+,-radice(1-y^2/x^2);
+,-(a/x).radice(x^2-y^2)=x-by/x.Sostituendo,x=
+,-a.radice(1-y^2/x^2)+dy/x;
Elevando al quadrato ,
a^2(x^2-y^2)/x^2=
=x^2-2by+b^2y^2/x^2 ;
(a^2+b^2)y^2-(2bx^2).y+(x^4-a^2.x^2)=0 ; risolvendo
y=((bx^2+,-ax.radice(a^2+b^2-x^2)):sad:a^2+b^2),equazione cartesia della
"curva bisaccia".
Per a=6 ,b=4,si ha una bella
"curca bisaccia"
di equazione y=
=((2x^2+,-3x.radice(52-3x^4)):26