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LEGGE DEI GAS PERFETTI
Una breve parentesi sulle formule precedenti applicate ai gas;

SE LA TEMPERATURA E' COSTANTE VARIANO P E V,QUINDI:

[math]PV=costante[/math]

(legge di Boyle) rappresentato graficamente con ramo di iperbole detto isoterma

SE IL VOLUME E' COSTANTE VARIANO T E P,QUINDI:

[math]P=P_0(1+\alpha \Delta t)[/math]

(Legge di Charles), con

[math]P_0,\ \Delta t[/math]
rispettivamente la pressione allo stato iniziale e la variazione di temperatura,
[math]\alpha[/math]
una costante specifica per il gas, e si rappresenta graficamente con una retta che si chiama isocora.

SE LA PRESSIONE E' COSTANTE VARIANO T E V, QUINDI:

[math]V=V_0(1+\alpha \Delta t)[/math]

(legge di Gay Lussac), con

[math]V_0,\ \Delta t[/math]
rispettivamente il volume allo stato iniziale e la variazione di temperatura,
[math]\alpha[/math]
una costante specifica per il gas, si rappresenta sempre con una retta definita isobara.

Detto cio' la legge dei gas perfetti si ricava COMBINANDO QUESTE 3 LEGGI sopra illustrate. Si parte da condizioni note, quindi si suppone di avere una mole di gas (perfetto) alle seguenti condizioni

[math]P=1\ atm,\quad T=0°C,\quad V=22,41\ l[/math]

(con unità di misura, rispettivamente, di atmosfera, grado centigrado e litri). Si sottopone quindi il gas ad un ciclo di trasformazioni descritte in precedenza. Le trasformazioni vanno dal punto

[math]A(P_0,V_0,0^°)[/math]
al punto
[math]B(P_0,V_1,t)[/math]
tramite una trasformazione isobara, e dal punto
[math]B[/math]
al punto
[math]C(P,V,t)[/math]
tramite una trasformazione isoterma.

1) Da

[math]A[/math]
a
[math]B[/math]
noterete che la pressione resta la stessa (
[math]P_0[/math]
), quindi si applica la terza legge sopra esposta che vale appunto quando la pressione è costante: nel punto
[math]B[/math]
quindi
[math]V_1=V_0(1+\alpha t)[/math]
.

2) Dal punto

[math]B[/math]
al punto
[math]C[/math]
resta invece costante la temperatura, quindi graficamente vedete il ramo di iperbole ed è applicabile la legge di Boyle per cui
[math]PV=costante[/math]
. La costante, in questo caso, è rappresentata dal prodotto di
[math]P_0,\ V_1[/math]
, i valori di pressione e volume nel punto
[math]B[/math]
, quindi sostituendo a “costante” i valori summenzionati:

[math]PV=P_0 V_1=P_0 V_0(1+\alpha t)[/math]

Pertanto si ha, nella trasformazione da

[math]A[/math]
a
[math]C[/math]

[math]PV=P_0 V_0(1+\alpha t)[/math]

QUESTA DA SOLA SAREBBE GIA' L'EQUAZIONE DI STATO DEI GAS IDEALI, ma va “arricchita”. Si vogliono usare i gradi Kelvin, quindi t, temperatura celsius, va divisa per 273:

[math]PV=P_0 V_0\left(1+\frac{t}{273}\right)=P_0 V_0\frac{273+t}{273}[/math]

e dal momento che per la temperatura espressa in Kelvin si ha la relazione

[math]T=t+273[/math]

[math]PV=\frac{P_0 V_0}{273}\cdot T[/math]

Ma

[math]P_0 V_0/273[/math]
è una quantità costante nota (perché sono le nostre condizioni iniziali), e dai valori scritti in precedenza si ricava

[math]R=\frac{P_0 V_0}{273}=8,314472\ \frac{J}{mol\ K}[/math]

Questa costante viene detta costante dei gas perfetti. Abbiamo quindi, per una quantità 1 molare di gas la legge

[math]PV=RT[/math]

Dal momento che, in generale, si lavora con gas con

[math]n[/math]
moli, tale legge viene modificata nella forma più generale

[math]PV=nRT[/math]

la quale prende il nome di legge dei gas perfetti. Nel caso, invece, si voglia lavorare con le molecole presenti nel gas, indicato con

[math]N[/math]
il numero di tali molecole si ha la relazione

[math]N=n\cdot N_A[/math]

dove

[math]N_A=6,022\cdot 10^{23}\ mol^{-1}[/math]
è il numero di Avogadro. Sostituendo l'espressione
[math]n=N/N_A[/math]
nella legge precedente otteniamo

[math]PV=\frac{R}{N_A}\ NT=k_B N T[/math]

dove la quantità

[math]k_B=\frac{R}{N_A}=1,380\cdot 10^{-23}\ J/K[/math]

è detta costante di Boltzman.

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