LEGGE DEI GAS PERFETTI
Una breve parentesi sulle formule precedenti applicate ai gas;
SE LA TEMPERATURA E' COSTANTE VARIANO P E V,QUINDI:
(legge di Boyle) rappresentato graficamente con ramo di iperbole detto isoterma
SE IL VOLUME E' COSTANTE VARIANO T E P,QUINDI:
[math]P=P_0(1+\alpha \Delta t)[/math]
(Legge di Charles), con
[math]P_0,\ \Delta t[/math]
rispettivamente la pressione allo stato iniziale e la variazione di temperatura,
[math]\alpha[/math]
una costante specifica per il gas, e si rappresenta graficamente con una retta che si chiama
isocora.
SE LA PRESSIONE E' COSTANTE VARIANO T E V, QUINDI:
[math]V=V_0(1+\alpha \Delta t)[/math]
(legge di Gay Lussac), con
[math]V_0,\ \Delta t[/math]
rispettivamente il volume allo stato iniziale e la variazione di temperatura,
[math]\alpha[/math]
una costante specifica per il gas, si rappresenta sempre con una retta definita
isobara.
Detto cio' la legge dei gas perfetti si ricava COMBINANDO QUESTE 3 LEGGI sopra illustrate. Si parte da condizioni note, quindi si suppone di avere una mole di gas (perfetto) alle seguenti condizioni
[math]P=1\ atm,\quad T=0°C,\quad V=22,41\ l[/math]
(con unità di misura, rispettivamente, di atmosfera, grado centigrado e litri). Si sottopone quindi il gas ad un ciclo di trasformazioni descritte in precedenza. Le trasformazioni vanno dal punto
[math]A(P_0,V_0,0^°)[/math]
al punto
[math]B(P_0,V_1,t)[/math]
tramite una trasformazione isobara, e dal punto
[math]B[/math]
al punto
[math]C(P,V,t)[/math]
tramite una trasformazione isoterma.
1) Da
[math]A[/math]
a
[math]B[/math]
noterete che la pressione resta la stessa (
[math]P_0[/math]
), quindi si applica la terza legge sopra esposta che vale appunto quando la pressione è costante: nel punto
[math]B[/math]
quindi
[math]V_1=V_0(1+\alpha t)[/math]
.
2) Dal punto
[math]B[/math]
al punto
[math]C[/math]
resta invece costante la temperatura, quindi graficamente vedete il ramo di iperbole ed è applicabile la legge di Boyle per cui
[math]PV=costante[/math]
. La costante, in questo caso, è rappresentata dal prodotto di
[math]P_0,\ V_1[/math]
, i valori di pressione e volume nel punto
[math]B[/math]
, quindi sostituendo a “costante” i valori summenzionati:
[math]PV=P_0 V_1=P_0 V_0(1+\alpha t)[/math]
Pertanto si ha, nella trasformazione da
[math]A[/math]
a
[math]C[/math]
[math]PV=P_0 V_0(1+\alpha t)[/math]
QUESTA DA SOLA SAREBBE GIA' L'EQUAZIONE DI STATO DEI GAS IDEALI, ma va “arricchita”. Si vogliono usare i gradi Kelvin, quindi t, temperatura celsius, va divisa per 273:
[math]PV=P_0 V_0\left(1+\frac{t}{273}\right)=P_0 V_0\frac{273+t}{273}[/math]
e dal momento che per la temperatura espressa in Kelvin si ha la relazione
[math]T=t+273[/math]
[math]PV=\frac{P_0 V_0}{273}\cdot T[/math]
Ma
[math]P_0 V_0/273[/math]
è una quantità costante nota (perché sono le nostre condizioni iniziali), e dai valori scritti in precedenza si ricava
[math]R=\frac{P_0 V_0}{273}=8,314472\ \frac{J}{mol\ K}[/math]
Questa costante viene detta costante dei gas perfetti. Abbiamo quindi, per una quantità 1 molare di gas la legge
Dal momento che, in generale, si lavora con gas con
[math]n[/math]
moli, tale legge viene modificata nella forma più generale
la quale prende il nome di legge dei gas perfetti. Nel caso, invece, si voglia lavorare con le molecole presenti nel gas, indicato con
[math]N[/math]
il numero di tali molecole si ha la relazione
[math]N=n\cdot N_A[/math]
dove
[math]N_A=6,022\cdot 10^{23}\ mol^{-1}[/math]
è il numero di Avogadro. Sostituendo l'espressione
[math]n=N/N_A[/math]
nella legge precedente otteniamo
[math]PV=\frac{R}{N_A}\ NT=k_B N T[/math]
dove la quantità
[math]k_B=\frac{R}{N_A}=1,380\cdot 10^{-23}\ J/K[/math]
è detta costante di Boltzman.
di 
