Legge dei Gas perfetti

Appunto di Fisica che descrive la legge dei gas perfetti, cosa accade se la temperatura è costante, gli elementi che variano.

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di ludo.x
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Concetti Chiave

  • La legge dei gas perfetti combina le leggi di Boyle, Charles e Gay-Lussac per descrivere il comportamento dei gas ideali.
  • La legge di Boyle si applica quando la temperatura è costante, rappresentando il prodotto pressione-volume come costante.
  • La legge di Charles descrive variazioni di pressione con temperatura costante quando il volume è inalterato, risultando in una rappresentazione lineare.
  • La legge di Gay-Lussac riguarda cambiamenti di volume con pressione costante quando la temperatura varia, visualizzabile come una linea retta.
  • L'equazione generale dei gas ideali è PV=nRT, dove R è la costante dei gas perfetti; per molecole, si usa PV=k_B NT con la costante di Boltzmann k_B.

LEGGE DEI GAS PERFETTI
Una breve parentesi sulle formule precedenti applicate ai gas;

SE LA TEMPERATURA E' COSTANTE VARIANO P E V,QUINDI:

[math]PV=costante[/math]

(legge di Boyle) rappresentato graficamente con ramo di iperbole detto isoterma

SE IL VOLUME E' COSTANTE VARIANO T E P,QUINDI:

[math]P=P_0(1+\alpha \Delta t)[/math]

(Legge di Charles), con

[math]P_0,\ \Delta t[/math]
rispettivamente la pressione allo stato iniziale e la variazione di temperatura,
[math]\alpha[/math]
una costante specifica per il gas, e si rappresenta graficamente con una retta che si chiama isocora.

SE LA PRESSIONE E' COSTANTE VARIANO T E V, QUINDI:

[math]V=V_0(1+\alpha \Delta t)[/math]

(legge di Gay Lussac), con

[math]V_0,\ \Delta t[/math]
rispettivamente il volume allo stato iniziale e la variazione di temperatura,
[math]\alpha[/math]
una costante specifica per il gas, si rappresenta sempre con una retta definita isobara. Legge dei Gas perfetti articolo

Detto cio' la legge dei gas perfetti si ricava COMBINANDO QUESTE 3 LEGGI sopra illustrate. Si parte da condizioni note, quindi si suppone di avere una mole di gas (perfetto) alle seguenti condizioni

[math]P=1\ atm,\quad T=0°C,\quad V=22,41\ l[/math]

(con unità di misura, rispettivamente, di atmosfera, grado centigrado e litri). Si sottopone quindi il gas ad un ciclo di trasformazioni descritte in precedenza. Le trasformazioni vanno dal punto

[math]A(P_0,V_0,0^°)[/math]
al punto
[math]B(P_0,V_1,t)[/math]
tramite una trasformazione isobara, e dal punto
[math]B[/math]
al punto
[math]C(P,V,t)[/math]
tramite una trasformazione isoterma.

1) Da

[math]A[/math]
a
[math]B[/math]
noterete che la pressione resta la stessa (
[math]P_0[/math]
), quindi si applica la terza legge sopra esposta che vale appunto quando la pressione è costante: nel punto
[math]B[/math]
quindi
[math]V_1=V_0(1+\alpha t)[/math]
.

2) Dal punto

[math]B[/math]
al punto
[math]C[/math]
resta invece costante la temperatura, quindi graficamente vedete il ramo di iperbole ed è applicabile la legge di Boyle per cui
[math]PV=costante[/math]
. La costante, in questo caso, è rappresentata dal prodotto di
[math]P_0,\ V_1[/math]
, i valori di pressione e volume nel punto
[math]B[/math]
, quindi sostituendo a “costante” i valori summenzionati:

[math]PV=P_0 V_1=P_0 V_0(1+\alpha t)[/math]

Pertanto si ha, nella trasformazione da

[math]A[/math]
a
[math]C[/math]

[math]PV=P_0 V_0(1+\alpha t)[/math]

QUESTA DA SOLA SAREBBE GIA' L'EQUAZIONE DI STATO DEI GAS IDEALI, ma va “arricchita”. Si vogliono usare i gradi Kelvin, quindi t, temperatura celsius, va divisa per 273:

[math]PV=P_0 V_0\left(1+\frac{t}{273}\right)=P_0 V_0\frac{273+t}{273}[/math]

e dal momento che per la temperatura espressa in Kelvin si ha la relazione

[math]T=t+273[/math]

[math]PV=\frac{P_0 V_0}{273}\cdot T[/math]

Ma

[math]P_0 V_0/273[/math]
è una quantità costante nota (perché sono le nostre condizioni iniziali), e dai valori scritti in precedenza si ricava

[math]R=\frac{P_0 V_0}{273}=8,314472\ \frac{J}{mol\ K}[/math]

Questa costante viene detta costante dei gas perfetti. Abbiamo quindi, per una quantità 1 molare di gas la legge

[math]PV=RT[/math]

Dal momento che, in generale, si lavora con gas con

[math]n[/math]
moli, tale legge viene modificata nella forma più generale

[math]PV=nRT[/math]

la quale prende il nome di legge dei gas perfetti. Nel caso, invece, si voglia lavorare con le molecole presenti nel gas, indicato con

[math]N[/math]
il numero di tali molecole si ha la relazione

[math]N=n\cdot N_A[/math]

dove

[math]N_A=6,022\cdot 10^{23}\ mol^{-1}[/math]
è il numero di Avogadro. Sostituendo l'espressione
[math]n=N/N_A[/math]
nella legge precedente otteniamo

[math]PV=\frac{R}{N_A}\ NT=k_B N T[/math]

dove la quantità

[math]k_B=\frac{R}{N_A}=1,380\cdot 10^{-23}\ J/K[/math]

è detta costante di Boltzman.

Domande da interrogazione

  1. Qual è la legge di Boyle e come si rappresenta graficamente?

    2. La legge di Boyle afferma che il prodotto della pressione e del volume di un gas è costante a temperatura costante, rappresentato graficamente con un ramo di iperbole detto isoterma.

  2. Come si applica la legge di Charles e quale grafico la rappresenta?

    3. La legge di Charles si applica quando il volume è costante e varia la temperatura e la pressione, rappresentata graficamente con una retta chiamata isocora.

  3. Cosa descrive la legge di Gay Lussac e come viene rappresentata?

    4. La legge di Gay Lussac descrive la relazione tra volume e temperatura a pressione costante, rappresentata graficamente con una retta definita isobara.

  4. Come si ricava l'equazione di stato dei gas ideali?

    5. L'equazione di stato dei gas ideali si ricava combinando le leggi di Boyle, Charles e Gay Lussac, e si esprime come \(PV=nRT\), dove \(R\) è la costante dei gas perfetti.

  5. Qual è la relazione tra il numero di molecole e la costante di Boltzmann?

    6. La relazione è data da \(PV=\frac{R}{N_A} NT=k_B N T\), dove \(k_B\) è la costante di Boltzmann, e \(N\) è il numero di molecole del gas.

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