Forze - sforzo e deformazione

Sforzo e deformazione

Tensore dello sforzo

Le forze che agiscono su ogni elemento materiale sono di due tipi: forze di volume e forze di superficie.

• Le forze di volume agiscono sul volume dell'elemento e la loro intensità è direttamente proporzionale al suo volume o alla sua massa.

In geofisica la forza di volume coincide con la forza di gravità, cioè il peso dell'elemento, pari al prodotto della sua massa per l'accelerazione di gravità, F_g = m · g ed è diretta secondo la direzione di g.

• Le forze di superficie agiscono sulle superfici che delimitano l'elemento di volume. Esse si originano dalle forze interatomiche che vengono esercitate dal materiale su un lato della superficie sul materiale che si trova sull'altro lato della superficie. La loro intensità è direttamente proporzionale all'area della superficie su cui agiscono e dipende dall'orientazione di tale superficie. Le forze di superficie possono agire sia parallelamente alla superficie sia perpendicolarmente.

Per derivare le forze di superficie consideriamo un volume materiale V, delimitato dalla superficie S, in un sistema di riferimento cartesiano Ox₁x₂x₃.

Figura 1

Sia V una porzione del volume V e S un piccolo elemento della superficie S che delimita V, con n_i normale unitaria esterna a S.

Indichiamo con F_i la forza di superficie che la porzione di corpo esterno a S esercita alla porzione di corpo interno a S attraverso S. Tale forza dipende non solo dallo stato in cui si trova il corpo, ma anche dalla posizione e dall'orientazione di S.

Si definisce trazione la forza per unità di area agente sulla superficie di orientazione specificata dal versore n_i e pari a

T(n_i) = lim_{S 0} F_i/S

Dimensioni: forza per unità di superficie.

Unità di misura: N/m² Pa.

La trazione può essere definita su ogni superficie interna ad un continuo ed è generalmente funzione della coordinata.

La trazione non necessariamente risulta normale alla superficie su cui agisce. Essa può dunque essere scomposta in due componenti, una normale e una tangenziale alla superficie oppure in tre componenti cartesiane.

Convenzione: la trazione è positiva quando agisce nello stesso verso della normale esterna alla superficie: tensione.

La trazione è negativa nel caso contrario: compressione.

Per generalizzare il concetto di trazione, consideriamo un piccolo volume a forma di parallelepipedo con facce parallele ai 3 piani del sistema cartesiano Ox₁x₂x₃ e dimensioni dx₁, dx₂ e dx₃. Indichiamo i vettori trazione agenti sulle tre facce indicate in figura con T(n₁), T(n₂), T(n₃), dove n₁, n₂ e n₃ indicano i versori normali esterni alle tre superfici.

Figura 2

2

Il vettore trazione agente su ogni superficie può essere scomposto in tre componenti, una normale e due tangenti alla faccia di cui agisce. Ognuna di queste componenti viene indicata come _ij, con il primo indice che indica la direzione della normale alla faccia su cui agisce la trazione mentre il secondo indice indica la direzione lungo cui agisce la componente specifica. Dunque,

T(₁) = ₁₁ · ₁ + ₁₂ · ₂ + ₁₃ · ₃

T(₂) = ₂₁ · ₁ + ₂₂ · ₂ + ₂₃ · ₃

T(₃) = ₃₁ · ₁ + ₃₂ · ₂ + ₃₃ · ₃

Le nove componenti della trazione formano la matrice o tensore degli sforzi.

_ij = ( _{11   12   1321   22   2331   32   33} )

che definisce in modo univoco lo stato di sforzo in ogni punto del nostro continuo.

La magnitudo di ogni componente del tensore degli sforzi denota la componente della forza di superficie per unità di area (trazione) che la parte del corpo situata dalla parte positiva dell'elemento di superficie (definita dal versore normale) esercita sulla parte giacente sul lato negativo.

Fisicamente, le componenti diagonali (i = j) agiscono normalmente alla superficie su cui sono applicate, mentre le componenti fuori dalla diagonale (i j) agiscono tangenzialmente.

Dimensioni: nel SI lo sforzo è espresso in pascal (Pa), equivalente a 1 N/m². Nell’ambito delle Scienze della Terra il multiplo più comunemente utilizzato è il megapascal (1 MPa = 10⁶ pascal).

Analizziamo ora l'equilibrio dell'elemento infinitesimo rispetto ai momenti di rotazione attorno ai tre assi passanti per il suo centro e paralleli alle direzioni degli assi cartesiani x₁, x₂ e x₃.

(a)

(b)

(c)

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Si noti che solo le componenti tangenziali dello sforzo contribuiscono alla rotazione.

a. Momento risultante attorno all'asse passante per il centro dell'elemento e parallelo alla direzione di x₁ (pannello a - figura precedente).