Forze - sforzo e deformazione

 



S n S

Faccia OAB: 3 3 

, coseni degli angoli formati fra e gli assi cartesiani

con n n e n n

1 2 3 i

La condizione di equilibrio delle forze, quindi, si traduce in:

        

   

( ) 0

n

T s S S S

1 11 1 21 2 31 3

cioè

        

   

( ) 0

n

T s n S n S n S

1 11 1 21 2 31 3

In conclusione,

    

  

( )

n

T n n n direzione X

1 11 1 21 2 31 3 1

Analogamente si trova la condizione di equilibrio lungo le altre due direzioni

        

   

( ) 0

n

T s S S S

2 12 1 22 2 32 3

da cui

        

   

( ) 0

n

T s n S n S n S

2 12 1 22 2 32 3

Quindi,

    

  

( )

n

T n n n direzione X

2 12 1 22 2 32 3 2

Infine

        

   

( ) 0

n

T s S S S

3 13 1 23 2 33 3

da cui

        

   

( ) 0

n

T s n S n S n S

3 13 1 23 2 33 3

Quindi,

    

  

( )

n

T n n n direzione X

3 13 1 23 2 33 3 3 6

In forma compatta, la formula di Cauchy diventa

 

 



( )

n

T n

i ji j

Considerando la simmetria del tensore degli sforzi

 

 



( )

n

T n

i ij j

FORMULA DI CAUCHY

 



(n )

 T n

Se ora indichiamo con l’angolo fra e , possiamo risolvere la trazione in una componente

i

 

normale , e in una componente di taglio .

In particolare,    

 

   

       

( n ) ( n ) ( n ) ( n )

T T cos T T sin

n t

 

(n )

T modulo del vettore trazione.

con  

( n )

T può esprimersi come

In termini della componente normale e di quella di taglio, la trazione

  

  

 

( n ) ( n ) ( n )

T T T

n t

Considerando la formula di Cauchy, le componenti normali e tangenziali possono esprimersi anche

come    

 

n n n t

ij j i ij j i



t

dove rappresenta il versore tangenziale alla superficie.

Queste relazioni permettono di determinare le componenti normali e di taglio dello sforzo su una

superficie di orientazione generica passante da un punto in cui sia noto lo stato di sforzo (tramite il

tensore degli sforzi). 7

S P A P

FORZI RINCIPALI E SSI DI SFORZO RINCIPALE

La definizione dello stato di sforzo attraverso il tensore degli sforzi dipende dal sistema di

riferimento cartesiano scelto.  del tensore degli

Al variare del sistema di riferimento cambieranno i valori delle componenti ij

sforzi.

Assegnato il tensore degli sforzi in un determinato sistema di coordinate cartesiane , è

Ox x x

1 2 3

sempre possibile trasformare le componenti dello sforzo in un generico altro sistema di coordinate

' ' ' che sia ruotato rispetto al sistema di riferimento .

cartesiane Ox x x Ox x x

1 2 3 1 2 3

In geologia e in tettonica, quando si è interessati alla descrizione dello stato di sforzo all’interno

delle placche tettoniche, o nell’ambito di un qualsiasi modello di strutture geotettoniche, la

rappresentazione più utile dello stato di sforzo è quella in termini di SISTEMA DI RIFERIMENTO

e degli sforzi principali.

DEGLI ASSI PRINCIPALI

Gli assi principali dello sforzo (o direzioni principali) sono il sistema di assi coordinati in cui le

.

uniche componenti dello sforzo differenti da zero sono quelle lungo la diagonale

.

I valori degli sforzi principali sono i valori delle componenti lungo la diagonale

.

Ovviamente, GLI ASSI PRINCIPALI DELLO SFORZO CAMBIANO DA PUNTO A PUNTO

P

R

ICERCA DEGLI SFORZI RINCIPALI

Il problema da risolvere è il seguente:   

 

 

11 12 13

    

  in un sistema di riferimento cartesiano

Assegnato il tensore degli sforzi ij 21 22 23

 

  

 

31 32 33

   

, ' , ' '

, trovare il sistema di coordinate in cui il tensore degli sforzi si riduce

x x e x x x e x

1 2 3 1 2 3

S P

ad una matrice diagonale, il T

ENSORE DEGLI FORZI RINCIPALI

8

 

 P 0 0

 

11

  

 

P P

0 0

 

ij 22  P

0 0

 

33

S :

IGNIFICATO FISICO DEGLI ASSI PRINCIPALI

insieme di assi coordinati tali che sui piani normali ad essi non agiscono sforzi di taglio.

L’utilità del ragionare in termini di assi principali e di sforzi principali risiede nel fatto che essi

danno una chiara rappresentazione dello stato di sforzo in un punto.

:

IMPORTANTE

Per specificare in maniera univoca lo stato di sforzo in un punto è comunque sempre necessario

definire 6 componenti – in questo caso i 3 assi principali e i e sforzi principali.

La derivazione degli assi e degli sforzi principali è un classico PROBLEMA AGLI AUTOVALORI

Consideriamo una superficie elementare interna ad un continuo, orientata arbitrariamente nello

 

 

  



( ) ( )

n n

; consideriamo la trazione che agisce su tale

spazio secondo il versore normale n T T

i

superficie.  

  



 



( ) ( )

n n e di non coincidono, a meno che, non definisca già

In generale, la direzione di n n

T T

i

la direzione di un asse principale.

In base alla formula di Cauchy  

 



( )

n

T n

i ij j

Ricordando la espressione esplicita della formula di Cauchy,

    

  

( )

n

T n n n

1 11 1 12 2 13 3

    

  

( )

n

T n n n

2 21 1 22 2 23 3

    

  

( )

n

T n n n

3 31 1 32 2 33 3 è che sia

Se ne deduce che la n

CONDIZIONE AFFINCHÉ SIA UNA DIREZIONE PRINCIPALE

i

soddisfatta la relazione    

 

( )

n

T n n

i ij j i

o, al variare dell’indice i

     

   

( )

n

T n n n n

1 11 1 12 2 13 3 1 9

     

   

( )

n

T n n n n

2 21 1 22 2 23 3 2

     

   

( )

n

T n n n n

3 31 1 32 2 33 3 3

 1 dei 3 sforzi principali – quello lungo la direzione principale

essendo n .

i





Se riscriviamo come la condizione precedente può essere riformulata nella

n n

n i i ij j

maniera seguente      

  

( )

n

T n n n

i ij j i ij j

cioè  

  

  0

n

ij ij j

Riscritto nella forma completa 

   

   

 

n

1 0 0

   

 

11 12 13 1



       

n 0

0 1 0

   

 



 21 22 23 2

   

 



    n

0 0 1

   

 



 31 32 33 3

    

   

n

   

11 12 13 1

      

n 0

   

21 22 23 2

   

     n

   

31 32 33 3

 

   

    0

n n n

11 1 12 2 13 3

 

   

    0

n n n

21 1 22 2 23 3

 

       

n n n 0

31 1 32 2 33 3  

, con la condizione

Questo sistema può essere risolto per ricavare le Direzioni Principali n n e n

1 2 3

  

2 2 2

n n n 1

aggiuntiva 1 2 3  0 , dalla teoria delle matrici si dimostra che il sistema di

Escludendo la soluzione banale n

  i

  

  0

n

equazioni ha soluzione solo se il determinante dei coefficienti è nullo.

ij ij j

Cioè:   

  0

ij ij

10

Riscrivibile anche come    



11 12 13

      

    0

21 22 23

ij ij    



31 32 33

       



      

    21 22

21 23

22 23

   

       

13

12

11   31 32

31 33

32 33

          

 

        

    21 22

21 23

22 23 22 23

   

          

13

12

11    31 32

31 33

32 33 32 33

   

         

              

       

11 22 33 23 32 22 33 23 32

   

       

           

     

12 21 33 23 31 13 21 32 31 22

   

   

                   

          

2 2

11 22 33 22 33 23 32 22 33 22 33 23 32

   

 

             

     

12 21 33 21 23 31 13 21 32 31 22 31

                      

          

2 2 2 3

11 22 33 11 22 11 33 11 11 23 32 22 33 22 33 23 32

                 

     

12 21 33 12 21 12 23 31 13 21 32 13 31 22 13 31

   

                 

           

3 2

11 22 33 11 22 11 33 22 33 23 32 12 21 13 31

                 

      

11 22 33 11 23 32 12 21 33 12 23 31 13 21 32 13 31 22

Definendo le quantità

 

  

  

I 1 11 22 33

pressione media 11    

 

 

            11 13 22 23

11 12

          

I      

2 11 22 11 33 22 33 23 32 12 21 13 31 21 22 31 33 32 33

importante nella teoria delle faglie   

11 12 13

                    

        

I 3 11 22 33 11 23 32 12 21 33 12 23 31 13 21 32 13 31 22 21 22 23

  

31 32 33

dette anche I S (in quanto i loro valori non cambiano al variare del sistema di

NVARIANTI DEGLI FORZI

riferimento) , si può scrivere      

      

3 2 0

I I I

1 2 3

ij ij   

, (per

La soluzione di questa equazione permette di ottenere gli sforzi principali e

1 2 3

  

  ).

convenzione 1 2 3  

  

  0

n

Le direzioni degli assi principali si ottengono risolvendo la equazione rispetto

ij ij j

n sostituendo di volta in volta i differenti valori degli sforzi principali; cioè imponendo

a j

successivamente  

 1

 

 2

 

 3

n

La soluzione rappresenta l’orientazione dell’asse principale nel sistema di coordinate

j   

 

 

11 12 13

     

  

, in cui è specificato il tensore degli sforzi generale .

x x e x 21 22 23

1 2 3 ji  

  

 

31 32 33

12

E ’E

QUAZIONE DELL QUILIBRIO

Il punto di partenza per lo studio dello stato di sforzo in un mezzo continuo è dato dalla equazione

dell’equilibrio o dalla equazione del moto, a seconda dei casi. Per esempio, nel caso di problemi

tettonici, in cui le accelerazioni possono essere trascurate, si applica la equazione dell’equilibrio.

D’altra parte, quando gli sforzi cambiano rapidamente, come avviene ad esempio durante la

propagazione delle onde sismiche, le accelerazioni diventano importanti e si deve utilizzare la

equazione del moto.

’

E

QUAZIONE DELL EQUILIBRIO

Affinché un continuo sia in equilibrio è necessario che risulti uguale a zero

la risultante di tutte le forze, sia di volume che di superficie;

a)

b) la risultante del momento attorno ad ogni asse.

Equilibrio delle forze:

La condizione che la risultante di tutte le forze (di volume e di superficie) sia nulla implica che

siano nulle le componenti della forza risultante in ogni direzione. agenti ad esempio lungo la

Riferendoci alla Figura 2, le componenti delle forze di superficie

sono:

direzione di x 1

 



 1

1

 

  

dx dx e agenti sulle due facce perpendicolari alla direzione di x , e

dx dx dx

1

1

1

1 2 3 1 2 3

  1



x 1

  e x +dx

poste in x

1 1 1

 



 2

1

 

  

dx dx e agenti sulle due facce perpendicolari alla direzione di x e

dx dx dx

2

1 1 3 2

1 2 1 3

  2



x 2

  poste in x e x +dx

2 2 2



 

 3

1 



  

dx dx e agenti sulle due facce perpendicolari alla direzione di x e

dx dx dx

3

1 1 2 3

1 3 1 2



 3



x 3 

 e x +dx

poste in x

3 3 3

della risultante delle forze di superficie è dunque:

La componente lungo la direzione di x 1

   



 



1

1 2

1

   

 

   

S = - dx dx + - dx dx +

dx dx dx dx dx dx

1

1 2

1

1 2 3 1

1 2 3 2 1 3 2

1 1 3

   

1

x  

x x

1 2

   



 

 3

1 