Lavoro e Energia

Il lavoro (L) compiuto su un sistema da una forza costante che agisce su di esso è uguale al prodotto scalare tra la forza e lo spostamento generato, cioè tra il modulo “F” della forza, il modulo “Δx” dello spostamento del punto di applicazione della forza ed il “cosθ”, dove “θ” è l’angolo tra il vettore forza ed il vettore spostamento. Il tutto si scrive:
dL = F•Δx = |F||Δx| cosθ , dove "•" è il segno di "prodotto scalare".
L’unità di misura del lavoro è il Joule (1J = 1N•m = kg•m2/s2).

- Teorema dell’energia cinetica (o delle forze vive):
“Quando si compie lavoro su un sistema e come effetto si ha solo una variazione del modulo della sua velocità, il lavoro totale compiuto sul sistema è uguale alla variazione della sua energia cinetica”.L’energia cinetica è dunque legata al moto di una particella.

- Energia potenziale (U):
L’energia potenziale è un’energia di configurazione, ovvero è determinata dalla configurazione geometrica del sistema: spostando i membri del sistemi in posizioni differenti o ruotandoli, possiamo variare la configurazione del sistema e dunque la sua energia potenziale. L’energia potenziale è associata solo ad alcuni tipi di forze, dette “forze conservative”.
L = - ΔU.

- Forze conservative:
Proprietà:
a) Il lavoro compiuto da una forza conservativa agente su un punto materiale che si muove tra due punti qualsiasi è indipendente dal percorso seguito:
L = ∫I F•ds = ∫II F•ds.
b) Il lavoro compiuto da una forza conservativa agente su un punto materiale che descrive una linea chiusa è zero (punto di partenza e punto di arrivo coincidono):
L = ∫A→B F•ds = ∫B→A F•ds = 0.
c) F = -grad U.
d) rot F = 0.

- Operatori:

Nabla:
Nel calcolo vettoriale, il “nabla”, indicato con il simbolo “∇”, è un operatore differenziale vettoriale. Il nabla è una convenzione matematica che consente di scrivere, con una notazione compatta, gli operatori differenziali “gradiente”, “divergenza” e “rotore”.
∇ = ∂/∂x•i + ∂/∂y•j + ∂/∂z•k.

Gradiente:
Nel calcolo differenziale, il “gradiente” di un campo scalare è una funzione vettoriale di più variabili reali. Il gradiente di una funzione è definito come il vettore che ha per componenti cartesiane le derivate parziali della funzione:
grad U = •U = ∂U/∂x•i + ∂U/∂y•j + ∂U/∂z•k.

Divergenza:
Nel calcolo differenziale, la “divergenza” è un operatore che misura la tendenza di un campo vettoriale a divergere o a convergere verso un punto del campo. Essa fa corrispondere ad un vettore una quantità scalare, data dalla somma delle tre derivate parziali delle tre componenti del vettore lungo le direzioni x, y e z:
div F = •F = ∂Fx/∂x + ∂Fy/∂y + ∂Fz/∂z.

Rotore:
Nel calcolo differenziale, il “rotore” è un operatore che descrive la rotazione infinitesima di un campo vettoriale tridimensionale, ed è rappresentato in ogni punto da un vettore. Esso associa ad un vettore un altro vettore le cui componenti sono date dalle differenze tra le derivate parziali delle componenti del vettore rispetto ai tre assi, combinate a due a due:
rot F = x F = i•(∂Fz/∂y - ∂Fy/∂z) + j•(∂Fx/∂z - ∂Fz/∂x) + z•(∂Fy/∂x - ∂Fx/∂y).
Esso rappresenta il determinante di una determinata matrice.

- Energia potenziale gravitazionale:
Se un corpo di massa “m” è fermo ad una altezza “yB”, sotto l’azione della forza di gravità, e viene lasciato cadere fino all’altezza “yA”, la forza di gravità compie un lavoro: il corpo ha in sé una forma di energia immagazzinata, detta “energia potenziale gravitazionale”, la cui variazione rappresenta il lavoro compiuto dalla forza gravitazionale per spostarlo da una posizione iniziale ad una finale:
L = ∫yB→yA (-mg)•dy = -mg•∫yB→yA dy = -mgyA + mgyB = - (UA – UB) = -UA + UB.
Ug = mgy.
La forza peso è una forza conservativa.

- Energia potenziale elastica:
È possibile definire l’energia potenziale elastica, dovuta alla forza elastica o “legge di Hooke” (F = -kx), di una mola che, compressa in un tratto qualunque, è in grado di compiere un lavoro e ritornare alla sua posizione iniziale. Il lavoro da compiere su una molla contro le forze elastiche per comprimerla dal punto “x0” al punto “x1” è dato da:
L = ∫x0→x1 F•ds = ∫x0→x1 (-kx)•dx = -k•[x2/2]x0→x1 = -½kx12 + ½kx02 = - (U1 – U0) = -U1 + U0.
Ue = ½kx2.
La forza elastica è una forza conservativa.

- Dall’energia potenziale all’energia cinetica:
Un corpo fermo che risente di una forza, come una massa posta a una certa quota, possiede una certa energia potenziale, dovuta alla sua posizione. La sua energia cinetica però è nulla, perché il corpo è fermo. Quando il corpo viene messo in moto, per esempio fatto cadere, la sua energia potenziale diminuisce a favore della sua energia cinetica, che aumenta.

- Principio di conservazione dell’energia meccanica:
Sistema isolato (forze d’attrito trascurate):
L’energia meccanica (Em) è uguale alla somma tra l’energia cinetica e l’energia potenziale:
L = ΔK
L = - ΔU
ΔK = - ΔU
ΔK + ΔU = 0
Δ(K + U) = 0
Em = K + U = 0.
Tale equazione rappresenta l’enunciato del “principio di conservazione dell’energia meccanica”. Scrivendo per esteso le variazioni di energia dell’equazione “ΔK + ΔU = 0”, si ottiene:
(Kf – Ki) – (Uf – Ui) = 0
Kf + Uf = Ki + Ui => ½mvf2 + mgyf = ½mvi2 + mgyi.
Nei sistemi non isolati, ovvero dove non vengono trascurate le forze d’attrito, vale invece la relazione:
Δ(K + U) = L + Lnc, dove “Lnc = Fattr•d”, è il lavoro delle forze non conservative.

- Equilibrio di un sistema:

1) Si considera la funzione energia potenziale per un sistema costituito da una molla e da un blocco, che è data da: U = ½kx2, la quale in un diagramma x/U rappresenta una parabola. La pendenza di tale curva è data da: “Fmolla = - dU/dx = -kx”.
Quando il blocco è posto con velocità nulla nella posizione di equilibrio della molla (x = 0), dove “F = 0”, esso vi rimane finché non agisce una forza esterna su di esso.
a) Se la forza esterna allunga la molla, spostandola dalla posizione di equilibrio, si ha:
x > 0 => dU/dx > 0 => Fmolla => il blocco, libero, accelera verso “x = 0”.
b) Se la forza esterna comprime la molla, si ha:
x dU/dx Fmolla > 0 => il blocco, libero, accelera verso “x = 0”.
Concludendo, la posizione “x = 0” è detta posizione di “equilibrio stabile”. In generale, “le configurazioni di equilibrio stabile di un sistema sono quelle per le quali “U (x)” è minima”.
Se il corpo è portato ad una posizione iniziale “xmax”, la sua energia totale iniziale è l’energia potenziale “U = ½kxmax2”, immagazzinata nella molla. Appena il blocco inizia a muoversi, il sistema acquista energia cinetica e perde energia potenziale. Il blocco oscilla tra i due punti “-xmax” e “+xmax”, detti “punti di inversione”.

2) Si considera un punto materiale che si muove lungo l’asse x, sotto l’azione di una forza conservativa “Fx”. Anche in questo caso “Fx = 0” per “x = 0”, dunque in tale posizione il punto materiale è in equilibrio. Questa posizione è tuttavia una posizione di “equilibrio instabile”.
a) Se spostiamo il punto materiale verso destra (x > 0), si ha:
x > 0 => dU/dx Fx > 0 => il punto accelera e si allontana da “x = 0”.
b) Se spostiamo il punto materiale verso sinistra (x x dU/dx > 0 => Fx il punto accelera e si allontana da “x = 0”.
“x = 0” è una posizione di “equilibrio instabile” perché per ogni spostamento la forza spinge il punto materiale sempre più lontano dall’equilibrio verso una posizione di energia potenziale minore. In generale, “le configurazioni di equilibrio instabile di un sistema sono quelle per le quali “U (x)” del sistema è massima”.

3) Una configurazione di “equilibrio indifferente” si verifica quando “U” è costante in una data regione. Piccoli spostamenti di un corpo da una posizione in questa regione non provocano alcun tipo di forza. Una pallina appoggiata su un piano orizzontale è un esempio di corpo in una posizione di equilibrio indifferente.