TEMPERATURA E CALORE TERZO ESERCIZIO

Oggi parleremo di temperatura e calore, in particolare ci occuperemo di risolvere un problema riguardante un tondo di rame che deve attraversare un foro di diametro minore del suo (riferito al tondo di rame che ha un diametro maggiore rispetto al foro). Il testo del problema è il seguente:

Come si può fare per introdurre un tondo di rame di diametro

[math]d_{1}=20mm[/math]
e massa
[math]m_{1}=500g[/math]
in un foro di diametro
[math]d_{2}=19,99mm[/math]
praticato in una lastra di alluminio di massa
[math]m_{2}=1kg[/math]
, senza allargare il foro né tornire il tondo?


Evidentemente, per farlo, l'unico modo è rendere uguale i due diametri e questo è possibile o riscaldando la lastra di alluminio o raffreddando il tondo di rame. Si tratta in entrambi i casi, di dilatazione superficiale. La relazione che la regola è la seguente:


[math]S=S_{0}(1+δΔt)[/math]


Dove

[math]S\ \ e\ \ S_{0}[/math]
sono le superficie alle due temperatura e
[math]δ[/math]
(sigma) è il coefficiente di dilatazione superficiale. Per il rame, il coefficiente di dilatazione superficiale è uguale a:


[math]δ_{1}=28*10^{-6}°C^{-1}[/math]
(rame)

[math]δ_{2}=48*10^{-6}°C^{-1}[/math]
(alluminio)


Si tratterà, nei due casi, di valutare il

[math]Δt[/math]
, che si ricava da questa formula (
[math]S=S_{0}(1+δΔt)[/math]
) e sarà interessante vedere quale delle due operazioni, ovvero scaldare la lastra di alluminio o raffreddare il tondo di rame è più conveniente. Quindi procediamo in questo modo:


[math]S=S_{0}(1+δΔt)\\
=>\ \frac{S}{S_{0}}=1+δΔt\ =>\ \frac{\not{δ}Δt}{\not{δ}}=(\frac{S}{S_{0}}-1)\frac{1}{δ}[/math]


Valutiamo, adesso, le due

[math]Δt[/math]
per l'alluminio e per il rame. per l'alluminio avremo un aumento di temperatura che sarà dato da:


[math]Δt_{A}=\begin{bmatrix}\frac{π(\frac{φ_{1}}{2})^{2}}{π(\frac{φ_{2}}{2})^{2}}\\\end{bmatrix} \frac{1}{φ_{2}}=(\frac{4}{3,996}-1)\frac{1}{48*10^{-6}}=20,85°C[/math]


Bisogna scaldare la lastra di alluminio di

[math]20,85°C[/math]
per ottenere un diametro uguale a quello del tondo di rame. Ora, analogamente, calcoliamo il
[math]Δt[/math]
del rame, e avremo che:


[math]Δt_{R}=\begin{bmatrix}\frac{π(\frac{φ_{2}}{2})^{2}}{π(\frac{φ_{1}}{2})^{2}}\\\end{bmatrix} \frac{1}{φ_{1}}=\ -35,71°C[/math]


Adesso, vediamo quale delle due operazioni, ovvero il riscaldamento della lastra di alluminio o il raffreddamento del tondo di rame, è più conveniente. Riscriviamo le due

[math]Δt[/math]
che abbiamo ottenuto:


[math]Δt_{A}=20,85°C\\
Δt_{R}=-35,71°C[/math]


Per valutare la convenienza, quale delle due operazioni è più conveniente, dobbiamo calcolare le quantità di calore che sono tirate in ballo. E' necessario per questo conoscere i calori specifici, rispettivamente, del rame e dell'alluminio. Essi sono:



Le quantità di calore che cerchiamo (

[math]ΔQ_{1}=rame, ΔQ_{2}=alluminio[/math]
, sono naturalmente date da:


[math]ΔQ_{1}=m_{1}c_{1}Δt_{R}=500*0,093*(-35,71)=-1660,51cal[/math]

[math]ΔQ_{2}=m_{2}c_{2}Δt_{A}=1000*0,217*20,85=4524,45cal[/math]


Vediamo che da questi risultati, che anche se è più scomodo dal punto di vista operativo, è più conveniente raffreddare il tondo di rame.

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