Concetti Chiave
- Il problema riguarda l'inserimento di un tondo di rame in un foro più piccolo senza modificare il foro o il tondo.
- Per risolvere il problema, si può scegliere tra riscaldare la lastra di alluminio o raffreddare il tondo di rame, basandosi sulla dilatazione superficiale.
- Le variazioni di temperatura necessarie sono 20,85°C per l'alluminio e -35,71°C per il rame.
- Il calore necessario per modificare le temperature è 4524,45 cal per l'alluminio e -1660,51 cal per il rame.
- Nonostante la scomodità operativa, raffreddare il tondo di rame è più conveniente dal punto di vista energetico.
Oggi parleremo di temperatura e calore, in particolare ci occuperemo di risolvere un problema riguardante un tondo di rame che deve attraversare un foro di diametro minore del suo (riferito al tondo di rame che ha un diametro maggiore rispetto al foro). Il testo del problema è il seguente:
Come si può fare per introdurre un tondo di rame di diametro
Evidentemente, per farlo, l'unico modo è rendere uguale i due diametri e questo è possibile o riscaldando la lastra di alluminio o raffreddando il tondo di rame. Si tratta in entrambi i casi, di dilatazione superficiale. La relazione che la regola è la seguente:
Dove
sono le superficie alle due temperatura e
(sigma) è il coefficiente di dilatazione superficiale. Per il rame, il coefficiente di dilatazione superficiale è uguale a:
(rame)
(alluminio)
Si tratterà, nei due casi, di valutare il
, che si ricava da questa formula (
) e sarà interessante vedere quale delle due operazioni, ovvero scaldare la lastra di alluminio o raffreddare il tondo di rame è più conveniente. Quindi procediamo in questo modo:
=>\ \frac{S}{S_{0}}=1+δΔt\ =>\ \frac{\not{δ}Δt}{\not{δ}}=(\frac{S}{S_{0}}-1)\frac{1}{δ}[/math]
Valutiamo, adesso, le due
per l'alluminio e per il rame. per l'alluminio avremo un aumento di temperatura che sarà dato da:
Bisogna scaldare la lastra di alluminio di
per ottenere un diametro uguale a quello del tondo di rame. Ora, analogamente, calcoliamo il
del rame, e avremo che:
Adesso, vediamo quale delle due operazioni, ovvero il riscaldamento della lastra di alluminio o il raffreddamento del tondo di rame, è più conveniente. Riscriviamo le due
che abbiamo ottenuto:
Δt_{R}=-35,71°C[/math]
Per valutare la convenienza, quale delle due operazioni è più conveniente, dobbiamo calcolare le quantità di calore che sono tirate in ballo. E' necessario per questo conoscere i calori specifici, rispettivamente, del rame e dell'alluminio. Essi sono:
Le quantità di calore che cerchiamo (
, sono naturalmente date da:
Vediamo che da questi risultati, che anche se è più scomodo dal punto di vista operativo, è più conveniente raffreddare il tondo di rame.
Domande da interrogazione
- Come si può introdurre un tondo di rame in un foro di diametro minore senza modificare il foro o il tondo?
- Quali sono i coefficienti di dilatazione superficiale per il rame e l'alluminio?
- Qual è l'operazione più conveniente tra riscaldare l'alluminio e raffreddare il rame?
È possibile farlo rendendo uguali i diametri attraverso il riscaldamento della lastra di alluminio o il raffreddamento del tondo di rame, sfruttando la dilatazione superficiale.
Il coefficiente di dilatazione superficiale per il rame è [math]δ_{1}=28*10^{-6}°C^{-1}[/math], mentre per l'alluminio è [math]δ_{2}=48*10^{-6}°C^{-1}[/math].
Raffreddare il tondo di rame è più conveniente, poiché richiede meno calore rispetto al riscaldamento della lastra di alluminio, nonostante sia più scomodo operativamente.
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