Esercizi su hat{x} e hat{y}

di _francesca.ricci

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Concetti Chiave

I versori [math] \hat{x} [/math] e [math] \hat{y} [/math] sono unitari e rispettivamente lungo le direzioni degli assi x e y.
Il prodotto scalare di due vettori si calcola sommando i prodotti delle loro rispettive componenti lungo gli assi.
I versori perpendicolari hanno prodotto scalare nullo, mentre i versori paralleli hanno prodotto scalare pari a 1.
Per i vettori dati [math] \vec{a} = 4 \hat{x} - 2 \hat{y} [/math] e [math] \vec{b} = 3 \hat{x} + \hat{y} [/math], il prodotto scalare è [math] 4 \cdot 3 + (-2) \cdot 1 = 10 [/math].
Il calcolo del prodotto scalare conferma che [math] \vec{a} \cdot \vec{b} = 10 [/math], sfruttando le proprietà dei versori unitari e perpendicolari.

[math] \hat{x}[/math]

[math] \hat{y}[/math]

sono i versori lungo le direzioni degli assi

[math]x[/math]

[math]y[/math]

di un sistema di riferimento cartesiano.

Sono dati i vettori

[math]\vec{a} = 4 \hat{x} - 2 \hat{y} [/math]

[math]\vec{b} = 3 \hat{x} + \hat{y} [/math]

Calcola il prodotto scalare
[math] \vec{a} \cdot \vec{b} [/math]
.

Svolgimento

Ricordiamo che i versori sono vettori che hanno lunghezza uguale a 1 e che, in un sistema di riferimento cartesiano nel piano, un vettore si esprime come

[math]\vec{a} = a_x \hat{x} - a_y \hat{y} [/math]

Rappresentiamo i nostri vettori nel piano cartesiano:

Calcoliamo il prodotto scalare dei due vettori:

[math]\vec{a} = a_x \hat{x} - a_y \hat{y} , \vec{b} = b_x \hat{x} - b_y \hat{y}[/math]

[math] \vec{a} \cdot \vec{b} = (a_x \hat{x} - a_y \hat{y})(b_x \hat{x} - b_y \hat{y}) = [/math]

[math] a_x \cdot b_x \cdot \hat{x} \cdot \hat{x} + a_x \cdot b_y \cdot \hat{x} \cdot \hat{y} + a_y \cdot b_x \cdot \hat{x} \cdot \hat{y} + a_y \cdot b_y \cdot \hat{y} \cdot \hat{y} = [/math]

[math] a_x \cdot b_x \cdot \hat{x} ^2 \cdot + a_x b_y \hat{x} \hat{y} + a_y b_x \hat{x} \hat{y} + a_y \cdot b_y \cdot \hat{y} ^2 [/math]

I versori

[math] \hat{x} [/math]

[math] \hat{y} [/math]

sono perpendicolari tra loro, quindi il loro prodotto scalare è nullo:

[math] \hat{x} \cdot \hat{y} = 0[/math]

;

[math] = a_x b_x \hat{x} ^2 \cdot + a_x b_y \cdot 0 + a_y b_x \cdot 0 + a_y b_y \hat{y} ^2 = [/math]

[math] a_x b_x \hat{x} ^2 \cdot + a_y b_y \hat{y} ^2 [/math]

Il versore

[math] \hat{x} [/math]

è parallelo a se stesso, e lo stesso vale per il versore

[math] \hat{y} [/math]

, quindi si ha che:

[math] \hat{x} \cdot \hat{x} = 1 \cdot 1 = 1 , \hat{y} \cdot \hat{y} = 1 \cdot 1 = 1[/math]

Quindi abbiamo:

[math] = a_x b_x \cdot 1 + a_y b_y \cdot 1 = a_x b_x + a_y b_y [/math]

Sapendo che

[math]a_x = 4 [/math]

[math]b_x = 3 [/math]

[math]a_y = -2 [/math]

[math]b_y = 1 [/math]

, possiamo calcolare il prodotto scalare:

[math] \vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot 3 + (-2) \cdot 1 = 12 - 2 = 10 [/math]

Domande da interrogazione

Come si calcola il prodotto scalare di due vettori nel piano cartesiano?

Il prodotto scalare di due vettori nel piano cartesiano si calcola moltiplicando le componenti corrispondenti dei vettori e sommando i risultati, tenendo conto che il prodotto scalare dei versori perpendicolari è nullo.

Qual è il risultato del prodotto scalare tra i vettori [math]\vec{a}[/math] e [math]\vec{b}[/math]?

Il prodotto scalare tra i vettori [math]\vec{a} = 4 \hat{x} - 2 \hat{y}[/math] e [math]\vec{b} = 3 \hat{x} + \hat{y}[/math] è 10.

Quali proprietà dei versori sono utilizzate nel calcolo del prodotto scalare?

Nel calcolo del prodotto scalare, si utilizza la proprietà che i versori [math]\hat{x}[/math] e [math]\hat{y}[/math] sono perpendicolari tra loro, quindi il loro prodotto scalare è nullo, e che il prodotto scalare di un versore con se stesso è 1.

Esercizi su hat{x} e hat{y}

Appunto di matematica della fisica che spiega come calcolare il prodotto scalare tra due vettori; rappresentazione dei vettori nel piano cartesiano.

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