Meccanica Quantistica - Formulario

1.3 Perturbazioni ai Livelli Energetici (0) (0) (0)

Se l’Hamiltoniano del sistema si scrive come = + , è diagonalizzabile (H = ),

H H λV H ψ E ψ

0 0 0 i i i

e 1, allora si può sviluppare l’autovalore di come serie di potenze di

*

λ H λ:

(0) (1) (2) (n)

= + + + + .

2 n

E E λE λ E ... λ E

i i i i i

Le autofunzioni di si sviluppano in serie delle soluzioni di (soluzioni imperturbate):

H H 0

' (0) (1) (2)

= = + + +

2

ψ a ψ , a δ λa λ a ...

k ki ki ki

i

i ki ki

(0)

Se il livello energetico imperturbato è non degenere si ha:

E i (0) (0)

( &ψ |V |ψ ' (0)

(1) (0) (0) (1) ;

= = i

k

&ψ |V |ψ ', ψ

E ψ

i i i i k

(0) (0)

−

E E

k% =

i i k

2

(0) (0) (

( (

|&ψ |V |ψ '| V V V

V V V ik kk ki

ij jk ki

(2) (3)

= =

i

k −

E , E (E )(E ) (E )(E )

i i

(0) (0) − − − −

E E E E

−

E E i j i k i k i k

k% =

i

k% =

i j% =

i,k% =

i

i k (0)

Se il livello energetico imperturbato è degenere bisogna diagonalizzare l’operatore nel sotto-

E V

i

spazio degli stati degeneri. Gli autovalori sono le correzioni all’energia al primo ordine, gli autovettori

corrispondenti sono le correzioni alle autofunzioni degeneri al primo ordine. Gli stati ottenuti devono

essere normalizzati.

1.4 Meccanica Ondulatoria Tridimensionale

Valgono le relazioni di commutazione [x ] = .

, p ih̄δ

i j ij

In coordinate sferiche il Laplaciano si scrive come:

) *

1

1 1

1 2 2

∂

∂ ∂ ∂

+ sin +

=

2

∇ r θ ,

sin sin

2

2 2 2 2

r ∂r r θ ∂θ ∂θ ∂φ

θ

l’equazione di Schrodinger si separa in una parte orbitale e radiale:

) *

2 1

h̄ + ) + ($ )ψ($ ) = ).

2 2

− ∇ ∇ ψ($

r V r r Eψ($

r

2m r θ,φ

2

r

Si cercano soluzioni in cui la dipendenza angolare e radiale è fattorizzata: ) = (θ,

ψ($

r R(r)Y φ)

1.4.1 Momento Angolare Orbitale

Se il potenziale è centrale ($ ) = (r) l’equazione angolare assume forma

V r V

(θ, (θ, = + 1)Y (θ,

2

−∇ φ)Y φ) l(l φ).

θ,φ

In meccanica ondulatoria le componenti dell’operatore momento angolare orbitale sono:

" # " #

= = = sin + cot cos ;

∂ ∂ ∂ ∂

− −ih̄ −

L yp zp y x ih̄ φ θ φ

x z y ∂z ∂y ∂θ ∂φ

" #

+ ,

= = = cos + cot sin ;

∂ ∂ ∂ ∂

− −ih̄ − −

L zp xp z x ih̄ φ θ φ

y x z ∂x ∂z ∂θ ∂φ

" #

= = = ;

∂ ∂ ∂

− −ih̄ − −ih̄

L xp yp x y

z y x ∂y ∂x ∂φ

2

= + + =

2 2 2 2 2

−h̄ ∇

L L L L .

x y z θ,φ

Valgono le relazioni di commutazione:

[L ] = [L ] = 0, [L ] = [L ] =

2

, L ih̄+ L , , L , x i+ x , , p i+ p .

i j ijk k i i j ijk k i j ijk k

Eccetto nel caso = 0, si possono avere al massimo stati con una sola componente del momento

L

angolare e il modulo quadro del momento angolare simultaneamente definiti.

Le soluzioni dell’equazione angolare con definito sono le Armoniche Sferiche :

m

L Y

z l

) * ) * ) *

12 1 12

1 3 3

2 ±1

= ; = cos = sin ;

±iφ

0 0 ∓

Y Y θ, Y θe

4π 4π 8π

0 1 1

) * ) * ) *

12 1 12

15 15 5

2

±2 ±1

= sin = sin cos = (3 cos 1).

±i2φ ±iφ

2 0 2

∓ −

Y θe , Y θ θe , Y θ

32π 32π 16π

2

2 2 3

1.4.2 Equazione Radiale

Si definisce la funzione radiale ridotta come = con = 0.

χ(r) rR(r), χ(0)

L’interpretazione di è densità di ampiezza radiale:

χ(r) !

la probabilità che la configurazione del sistema sia in una corteccia ∆R è 2

|χ(r)| dr.

∆R

L’equazione radiale per un potenziale centrale diventa:

) *

2 2

+ 1)h̄

2

h̄ d l(l

(r) + + (r) (r) = (r).

− χ V χ Eχ

l l l

2m 2 2

dr mr

Le soluzioni (r) nel caso libero (V (r) = 0) sono le funzioni di Bessel sferiche (kr).

R j

l l

) *

sin sin cos 3 1 3 cos

x x x x

(x) = ; (x) = ; (x) = sin

− − −

j j j x .

0 1 2

2 2 2

x x x x x x

Gli andamenti asintotici delle (x) per piccoli e grandi sono:

j x

l sin(x )

π

l − l

x

(x 1) ; (x 1) 2

* ≈ - ≈

j j .

l l

(2l + 1)!! x

1.5 Sviluppo in onde parziali, Sfasamenti

Una funzione d’onda può essere sviluppata in serie di autofunzioni del momento angolare:

∞

(

$

($ ) = Se allora = 0 e rimane ($ ) = (r)P (cos

|k, "

ψ r A l, m'. k $

z m ψ r A R θ).

k k,l,m k l kl l

l=0

Lo sviluppo di un’onda piana in onde sferiche è il seguente: ∞

∞ l (

( (

$ (θ )j (kr)Y (θ, exp(ikz) = (2l + 1)j (kr)P (cos

exp(i ) = 4π ∗m m l

l

· , φ φ); i θ).

k $

r i Y l l l

' '

l l

k k l=0

l=0 m=−l

Esperimento di diffuusione: fascio monocromatico incidente su centro diffusore.

Si cerca l’andamento asintotico di ψ: ikr

e

($ ) = exp(ikz) + (θ)

ψ r f .

k k r

$ $

La corrente incidente è data da = la corrente diffusa a grandi vale = (θ)| .

h̄k h̄k r̂

|f

j ẑ, r j

inc sc k 2

m m r

Si definisce sezione d’urto differenziale il rapporto tra il numero di particelle diffuse in un angolo solido

e il flusso inidente. L’interpretazione di (θ) è l’ampiezza di scattering:

dΩ f

k

$ 2

| |r

j dΩ dσ

sc = (θ)| = (θ)|

= = 2 2

|f |f

dΩ,

dσ σ(θ)dΩ k k

$ dθ

| |

j

inc

Per molto grandi (r) è la soluzione libera e l’unica informazione dell’interazione è contenuta negli

r χ

k,r

sfasamenti :

δ l π

(kr) = (kr) sin(kr + ).

≈ −

χ kr j l δ

k,l l l

2

Si ricava uno sviluppo dell’ampiezza di scattering in serie degli sfasamenti:

∞ ∞

( (

1 + ,

(θ) = (2l + 1)P (cos 1 (2l + 1)P (cos (k).

2iδ − ≡

f θ) e θ)f

l

k l l l

2ik l=0 l=0

Conviene esprimere le ampiezze di scattering delle singole onde parziali come: = .

1

f

l −ik

k cot δ l

Per piccoli vale lo sviluppo: (ak) cot = + (ak) + ;

2l+1 2 4

k δ a b O(ak)

l l l

Lo sviluppo delle prime ampiezze di scattering vale:

" # 2

(ak)

f f

= + + (ak) + = +

b

1 iak 1 2 3 4

0 1

0

− O(ak) , O(ak)

30 20 30

a a a a

a a a

0 1

I termini rilevanti nello sviluppo delle ampiezze di scattering in onde parziali sono quelli per cui ≤

l ka.

4

1.6 Evoluzione Temporale

In meccanica quantistica, l’Hamiltoniana è il generatore delle traslazioni temporali.

Ht

L’operatore di evoluzione temporale è dunque (t) = .

−i

U e h̄

1.6.1 Rappresentazione di Scrhodinger

In rappresentazione di Schrodinger evolvono i ket di stato: = (t)|ψ(0)'.

|ψ(t)' U

'

Sia sviluppata in serie di autofuzioni di un’osservabile: = .

ψ ψ(0) a ψ

n n

' '

Ht

L’evoluzione al tempo è data da = (t)ψ .

−i ≡

t ψ(t) a e ψ a

h̄

n n n n

I ket di base non evolvono essendo fisse le osservabili.

1.6.2 Rappresentazione di Heisemberg Ht Ht

In rappresentazione di Heisemberg evolvono le osservabili: = (t) (t) = .

† −i

i

A(t) U AU e Ae

h̄ h̄

= + [A(t),

L’equazione del moto di un osservabile è data da ∂A 1

d A(t) H].

dt ∂t ih̄

Le osservabili che non dipendono esplicitamente dal tempo e che commutano con l’Hamiltoniana sono

dette conservative: se lo stato iniziale è autostato della grandezza conservativa, vi rimarrà nel tempo.

Siano gli elementi di matrice di sviluppati nella base di autostati .

A A, ψ

mn n Ht (0).

Siccome evolve nel tempo, anche gli autostati evolvono, ma in senso opposto: (t) = i ψ

A ψ e h̄ n

n $

Il baricentro di un pacchetto d’onda evolve come una particella classica (Ehrenfest): = ($ )'

d &$

' −&

∇V

p r

dt

1.6.3 Rappresentazione di interazione (0)

Se il potenziale è del tipo = + (t) è conveniente sviluppare in autostati di

H H V ψ ψ H

n

0 0

( En t

(t) =

e fare evolvere la base come (t) = (t) (t), con .

−i

I (0) (0) (0)

e

ψ a ψ ψ ψ

h̄

n n n n

L’equazione di Schrodinger assume forma:

d (t) = (t) (t),

I I I

ih̄ ψ V ψ

dt

H t H t

0 0

con (t) (t)e .

−i

I i

≡

V e V

h̄ h̄

L’evoluzione delle ampiezze di transizione è data da:

(

d (t) (t),

(t) = I a

ih̄ a V n

n mn

dt m

(0) (0)

−E

E

dove (t) = (t) = .

I iω t

V V e , ω m n

mn

mn mn

mn h̄

Se = + (t) è possibile sviluppare (t) in potenze di

I

H H λV ψ λ:

0 ) * & &

∞ n

( −1

t t

−iλ n (t )...V (t ) (0).

(t) = (0) +

I I I I I

dt .. dt V ψ

ψ ψ 1 n 1 n

h̄ 0 0

n=1

Si dimostra che la probabilità di transizione per unità di tempo al primo ordine vale (Fermi):

2π

dP = ).

2

|&f |V |i'| ρ(E f

dt h̄

i→f

La sezione d’urto è definita come = dove è la luminosità (numero di particelle incidenti per

σ Ṗ /I, I

unità di tempo e superficie). Si ricava l’ampiezza di scattering al primo ordine nel potenziale (Born):

&

m

(θ) = ($ )e ·'

i'

q r 3

−

f V r d $

r,

2

2πh̄

$ $ $ $

Dove è l’impulso trasferito: = Se il processo è elastico = = 2k sin(θ/2).

' '

− | | |,

$

q $

q k k. k| k q

5

1.7 Oscillatore Armonico 2 2

L’Hamiltoniano di un oscillatore armonico unidimensionale è = +

h̄ mω

2 2

−

Hψ D ψ x ψ.

2m 2

.

Il dominio di è dom = : ovvero

2 2 2 2 2 1

{ψ ∈ ∈ ∈ }, ∈

H H L D ψ L , x ψ L ψ C

0

Le autofunzioni di sono le funzioni di Hermite (ζ ) con autovalore = (n + )h̄ω:

12

H H̃ E

n x n

" # 2

1/4

mω ζ

(ζ ) = (2 (ζ ),

−1/2 −

n

H̃ n!) e H

2

n x n x

πh̄ -

dove (ζ) è il polinomio di Hermite di grando e = mω

H n ζ x.

n x h̄

Il valor medio della posizione e dell’impulso in ogni autostato è nullo: = = 0.

&x' &p'

ψ ψ

n n

I valori quadratici medi della posizione e dell’impulso sono: = (n+ ), = ).

h̄ 12 12

2 2

&x ' &p ' h̄mω(n+

ψ ψ

mω

n n

L’Hamiltoniano di un oscillatore armonico tridimensionale isotropo è :

) *

2 2

2 2 2 2 2

−h̄ −h̄

∂ ∂ ∂ mω mω

= + + + (x + + ) = +

2 2 2 2 2

∇ |$ |

H y z r .

2m 2 2m 2

2 2 2

∂x ∂y ∂z

E’ possibile sviluppare le autofunzioni in coordinate cartesiane, come prodotto delle autofunzioni de-

ψ

'

n

gli oscillatori unidimensionali lungo le tre direzioni, = (ζ ) (ζ ) (ζ ) = |n ',

ψ(x, y, z) H̃ H̃ H̃ , n , n

n x n y n z x y z

x y z

o in coordinate sferiche (soluzioni a momento angolare definito) = |n,

ψ(r, θ, φ) l, m'.

Per ogni si possono avere tutti i valori di la cui parità è la stessa di

≤

n l n n.

Gli autovalori dell’energia sono = (n + + + 3/2)h̄ω = (n + 3/2)h̄ω.

E n n

n x y z

(n+1)(n+2)

La degenerazione del livello è =

n d n 2

In meccanica quantistica si definiscono gli operatori di creazione e distruzione ponendo:

% % (a )

†

−

h̄ h̄mω a

= (a + ), =

†

x a p

2mω 2 i

L’Hamiltoniana viene riscritta come = + ) + ).

12 12

† ≡

H h̄ω(a a h̄ω(N

Regole di commutazione e azione sullo stato fondamentale:

[a, ] = 1, [N, = [N, ] = =

† † †

−a, ∅.

a a] a a , a|0'

Si ricava la regola: ) = (a ) + )

† † †

n n n−1

a(a a n(a

L’azione degli operatori sugli stati è:

√

√

= 1', = + 1|n + 1', =

†

− |n' |n'

a|n' n|n a n N n|n'.

n

†

(a )

Il generico stato si esprime come: =

|n' |n' |0'.

√ n!

Gli operatori di creazione e distruzione evolvono come: = (t) = (0).

−iωt † †

iωt

a(t) e a(0), a e a

1.8 Momento Angolare $

In meccanica quantisica il momento angolare è il generatore delle rotazioni.

J Jk θ

L’operatore di rotazione attorno all’asse è dunque = .

−i

k U e h̄

k

Valgono le regole di commutazione [J ] = [J ] = 0.

2

, J ih̄+ J , , J

i j ijk k i

Gli autovalori ed autovettori di e sono:

2

J J

z

2

= = = + 1) = =

2 |j |j

J j, j m' h̄ j(j j, j m';

z z

= = = = =

|j |j

J j, j m' h̄ m j, j m'.

z z z

I valori possibili di sono interi o semi-interi.

j

Per ogni i (2j + 1) valori possibili di sono = = 1, = + 1, =

{m − −j −j}.

j m j, m j ... m m

Si definiscono gli operatori scaletta: = .

±

J J iJ

± x y

Valgono le regole di commutazione [J ] = 2h̄ [J ] = [J ] = 0.

2

±h̄J

, J J , , J , , J

− ± ± ±

+ z z

6

L’azione di sugli stati è:

J -

±

= = + 1) + 1) = + 1'

|j, − |j,

J j m' h̄ j(j m(m j m

+ z z

-

= = + 1) 1) = 1'

|j, − − |j, −

J j m' h̄ j(j m(m j m

− z z

1.8.1 Composizione di Momenti Angolari

$ $

Se due operatori di momento angolare e agiscono in due diversi sottospazi (ad es. due particelle)

J J

1 2 $ $ $

si ha [J ] = 0. Si introduce l’operatore momento angolare totale = + .

, J2 J J J

1i j 1 2

$

Le basi nello spazio completo sono a e definiti ; o a definito ;

2

|j ', |j

m m , j m , m J , j j, m'.

1 2 1 2 1 2 1 2

Gli stati con definito sono detti multipletti. I valori possibili per sono: + .

|j − | ≤ ≤

j j j j j j

1 2 1 2

L’azione di sul multipletto mantiene la parità.

J

±

E’ possibile sviluppare una base come combinazione lineare degli elementi dell’altra base:

'

; = ; ; ;

|j &j |j '

, j j, m' , j m , m , j j, m'|j , j m , m

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

m ,m

1 2

1.9 Spin

Per una particella di spin 1/2 si introducono le Matrici di Pauli:

. / . / . /

0 1 0 1 0

−i

= = =

σ , σ , σ

1 0 0 0

x y z −1

i

[σ ] = 2i+ = 2δ

{σ }

, σ σ , , σ ,

i j ijk k i j ij

= + = 1.

2

σ σ δ i+ σ , σ

i j ij ijk k i 0

" # + , 1 se = 1 (tripletto)

S

$ $ $ $

+

= = 2 + 1) =

2 3 3

2 2 2 −

| | −

· − −

S S S

$σ $σ S S(S se = 0 (singoletto)

1 2

1 2 2 1 2 −3

4 4 S

h̄

1.10 Sistemi di Particelle Identiche

Valgono le regole di commutazione: [x ] = , [S ] = ,

ai bj a b

, p ih̄δ δ , S ih̄δ + S