Feynman e la meccanica quantistica

La meccanica quantistica con il metodo della somma sui molti cammini di Feynman

“Mi auguro quindi che riusciate ad accettare la Natura per quella che è: assurda.”

R. Feynman

Elisa Verna

Classe VA

Liceo scientifico L. Cocito, Alba

Esame di Stato a.s. 2010/2011

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Indice

Introduzione

Le motivazioni del metodo....................................................3

L’oggetto quantistico

• Le ipotesi e le regole........................................................6
• Un calcolo esplicito di somma sui molti cammini......................14

Le oscillazioni della probabilità quantistica ............................20

• Simulazioni con Excel........................................................24

Una nuova grandezza fisica: l’azione .......................................26

Conclusione

Che cos’è allora l’elettrone adesso: un’onda o una particella?..............................29

Appendice letteraria .............................................................30

Appendice scientifica ............................................................31

Bibliografia e sitografia ........................................................32

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Introduzione

“C'è infine un'altra possibilità: che alcune delle cose che vi dirò vi sembrino incredibili, inaccettabili, impossibili da mandar giù. In questi casi è come se calasse un sipario: uno smette di ascoltare. Io descriverò il comportamento della Natura, ma se a voi questo comportamento non piace, il vostro processo di comprensione ne risulterà intralciato. I fisici hanno imparato a convivere con questo problema: hanno cioè capito che il punto essenziale non è se una teoria piaccia o non piaccia, ma se fornisca previsioni in accordo con gli esperimenti. La ricchezza filosofica, la facilità, la ragionevolezza di una teoria sono tutte cose che non interessano. Dal punto di vista del buon senso l'elettrodinamica quantistica descrive una Natura assurda. Tuttavia è in perfetto accordo con i dati sperimentali. Mi auguro quindi che riusciate ad accettare la Natura per quello che è: assurda.”, sosteneva il fisico Feynman, nel suo libro QED. La strana teoria della luce.

È proprio l’assurdità della Natura che ha attirato la mia attenzione, spingendomi ad approfondire il bizzarro mondo dei quanti attraverso il metodo della somma sui molti cammini di Feynman.

Le motivazioni del metodo

Il metodo della “somma sui molti cammini” (path integral in inglese) fu sviluppato da Feynman per calcoli di elettrodinamica quantistica, che è la teoria che descrive l'interazione della radiazione elettromagnetica con la materia. Feynman ne fece anche una versione didattica, semplificata ma rigorosa, destinata a un pubblico di “non fisici”, che presentò, nel modo avvincente e brillante che gli è consueto, nel libro QED. La strana teoria della luce.

Si tratta di un approccio nuovo ed interessante alla Meccanica Quantistica, perché segue uno sviluppo logico, cioè partendo dalla teoria così come la conosciamo oggi, e non di uno sviluppo storico, sequenza che segue la quasi totalità del libri di testo della scuola secondaria di secondo grado (cfr. appendice scientifica pag. 31).

Questo metodo può essere utile nell’apprendere la meccanica quantistica perché fin dall’inizio si cerca di entrare nel mondo dei quanti sapendo che in esso, per usare le parole di Feynman stesso, gli “oggetti” si comportano “in un modo che non assomiglia a nulla che possiamo aver visto prima”: non sono né onde né particelle, ma hanno degli aspetti che ci ricordano le caratteristiche sia delle une che delle altre.

Inoltre questo approccio ben si adatta alla trasposizione della MQ (Meccanica Quantistica) anche per studenti di scuola secondaria per due motivi: la fisica è più trasparente e i prerequisiti richiesti sono minori che nell'approccio convenzionale.

Per la fisica infatti, dall'ipotesi di partenza, che è sostanzialmente la relazione di Planck, cioè il principio di complementarietà, si deducono in modo molto naturale gli altri “principi” base della MQ, cioè il principio di sovrapposizione, il principio di corrispondenza e il principio di indeterminazione. Inoltre diventa molto trasparente il significato di probabilità quantistica, contrapposto al determinismo classico e il significato della misura col suo effetto di disturbo sullo stato del sistema.

1 Richard Phillips Feynman (New York, 11 maggio 1918 – Los Angeles, 15 febbraio 1988) è stato un fisico statunitense, Premio Nobel per la fisica nel 1965. 3

Quanto ai prerequisiti, essi sono minimi, sia dal punto di vista della fisica che da quello della matematica. Per la fisica si richiedono:

• I concetti di massa, velocità, energia e quantità di moto.
• Concetti base riguardanti le proprietà del moto ondulatorio, quali lunghezza d'onda, frequenza, fase dell'onda.

Per la matematica basta la conoscenza della composizione vettoriale, quindi teorema di Pitagora e trigonometria; non è richiesto invece il calcolo differenziale né integrale: questo è sicuramente un grosso vantaggio rispetto agli altri approcci.

L’argomento è stato affrontato in tre momenti:

• Il moto dell’oggetto quantistico descritto con il metodo della somma sui molti cammini di Feynman: ipotesi, regole e impostazione del calcolo.
• L’oscillazione della probabilità quantistica utilizzando il file “Fey-oscillazioni.xls”.
• Alcuni esempi significativi discussi in dettaglio, con lo scopo di arrivare alla grandezza fisica dell’azione e al principio di indeterminazione di Heisenberg. 4

L'oggetto quantistico

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Le ipotesi e le regole

L'ipotesi di partenza di Feynman è la legge di Planck [nota a]:

E = hf (1)

che lega l'energia E alla frequenza f attraverso il quanto di azione h. Fin dall'inizio, Feynman evita di parlare esplicitamente di “particelle” o di “onde” per non creare associazioni mentali fuorvianti; citando da QED. La strana teoria della luce:

“Noi sappiamo quale è il comportamento degli elettroni e della luce. Ma come potrei chiamarlo? Se dico che si comportano come particelle, do un’impressione errata, ma anche se dico che si comportano come onde. Essi si comportano nel loro proprio modo inimitabile che tecnicamente potrebbe essere chiamato il “modo quanto-meccanico”. Si comportano in un modo che non assomiglia a nulla che possiate aver mai visto prima. La vostra esperienza con cose che avete visto prima e incompleta. Il comportamento delle cose su scala molto piccola è semplicemente diverso”

Vediamo perché le associazioni mentali, evocate dall’uso di certe parole, sono fuorvianti. Noi chiameremo per brevità oggetto quantistico l’oggetto che si comporta in un “modo quanto-meccanico”: potrà essere l’elettrone o la luce o un atomo o anche un oggetto molto complesso con massa elevata, perché il comportamento quanto-meccanico è osservabile non solo in particelle elementari o molto semplici, ma in via di principio in qualunque oggetto, basta mettersi nelle condizioni adatte ed avere la tecnica di rivelazione adatta.

Esaminiamo prima il comportamento di un oggetto massivo, perché classicamente sappiamo descriverlo più facilmente con la meccanica newtoniana, in particolare facciamo l'ipotesi che nello spazio in cui andiamo a esaminare il suo moto non ci siano campi di forza, quindi il moto è, classicamente, “rettilineo-uniforme”. Per fissare le idee pensiamo a un elettrone, ma nei calcoli lasceremo poi la possibilità di variare la massa m dell'oggetto per esplorare che cosa succede per masse diverse.

Supponiamo di avere in un certo punto A una sorgente da cui partono gli elettroni con una certa energia cinetica E, e di mettere in un punto B, posto a una certa distanza D, un rivelatore: per fissare le idee, la sorgente potrebbe essere un filamento caldo come quello di un tubo televisivo, e il rivelatore una emulsione fotografica o uno schermo fosforescente, o un qualunque dispositivo che segnala l'arrivo dell'elettrone.

[nota a]: Max Planck, durante un lavoro scientifico di termodinamica, pubblicato nel 1900, utilizzò per la prima volta un'ipotesi di quantizzazione per l'interpretazione dello spettro di energia della radiazione elettromagnetica emessa da un sistema ideale costituito da una cavità termicamente isolata di cui si può variare a piacere la temperatura interna e recante un piccolo foro dal quale può uscire la radiazione che in essa si viene a creare. La superficie interna di tale cavità si suppone costituita da particella cariche elettricamente e oscillanti (risonatori), le quali possono emettere e assorbire radiazioni elettromagnetiche aventi la loro stessa frequenza di vibrazione. Tale sistema rappresenta con un'ottima approssimazione il comportamento di un corpo nero, cioè di un corpo che è in grado di assorbire tutta la radiazione che giunge su di esso. Secondo Planck, lo spettro della radiazione emessa da un corpo nero può essere interpretato teoricamente con successo se si ammette che l'energia E possa assumere solo valori multipli di una quantità fondamentale, secondo la relazione E =n h f, dove n è un numero intero e h una costante che rappresenta numericamente la più piccola quantità di energia che può essere emessa o assorbita da un risonatore. Tale quantità venne denominata da Planck quanto di azione.

2 L’oggetto più massivo e più complesso per il quale sono stati finora rivelati comportamenti quanto-meccanici è il fullerene, che è una molecola formata da 60 atomi di carbonio, cioè da 60 nuclei di carbonio e da 360 elettroni!

Le dimensioni della sorgente in A e del rivelatore in B siano completamente trascurabili rispetto alla distanza D e a qualunque altra distanza che entrerà in gioco. 6

Figura 1

Figura 1

Vediamo prima che cosa ci aspettiamo per un elettrone che ha un comportamento classico e che segue quindi una traiettoria rettilinea (per semplicità supponiamo che fra A e B non ci sono campi di forza): perché arrivi in B basta che sia emesso da A con una direzione della velocità compresa in un cono che intercetta la zona in cui c'è il rivelatore.

Figura 1.1

Se mettiamo, nella zona fra A e B, degli ostacoli che possano bloccare interamente un elettrone di quella energia, possono succedere solo due cose, nettamente distinte:

• Nessun ostacolo intercetta la traiettoria dell'elettrone e allora l'elettrone arriva in B come se gli ostacoli non ci fossero (Figura 1.2a).
• Uno degli ostacoli la intercetta e allora l'elettrone non arriva più per nulla (Figura 1.2b).

Figura 1.2

L'effetto è quindi di tipo “SI o NO”: non ci sono situazioni intermedie (con il rivelatore vedremmo che l'intensità del segnale resta immutata oppure che va a zero). Nel seguito, faremo riferimento a una situazione semplificata, schematizzata in Figura 2, in cui c'è un ostacolo, posto a distanza D

A

dalla sorgente, con una fenditura di larghezza D proprio in corrispondenza della traiettoria

trasv 7

dell'elettrone: l'elettrone passa, indipendentemente dalla larghezza della fenditura, quindi siamo nella situazione di tipo “SI” (a meno che la larghezza fosse così piccola da bloccarlo, si passerebbe bruscamente alla situazione di tipo “NO”). Figura 2

Per un “oggetto quantistico” invece non si può pensare a niente di simile a una “traiettoria”, cioè a una sequenza di posizioni ben definite e perfettamente determinabili se si conosce la velocità iniziale e il campo di forze. Per Feynman l'oggetto quantistico di energia E è definito, oltre che dalle grandezze già note dalla meccanica classica, quali massa, velocità e quantità di moto, anche dalla frequenza f, legata all'energia E dalla relazione di Planck (1).

È proprio questa frequenza la caratteristica nuova dell'oggetto quantistico, che manca assolutamente nell'oggetto classico e dalla quale seguono le proprietà peculiari dell'oggetto quantistico che ne determinano il moto.

La prima proprietà è che, avendo una frequenza propria, l'oggetto quantistico ha una “periodicità intrinseca”, con un periodo T pari all'inverso della frequenza. Feynman infatti parla di un “orologio interno” (“stopwatch”), che gira nel tempo con un periodo T= 1/ f.

La seconda proprietà è che, come per tutti i fenomeni periodici, lo stato dell'oggetto quantistico si ripete in modo identico solo a distanza di un periodo, ma, all'interno del periodo, lo stato passa attraverso fasi diverse, che si ripetono identicamente nel periodo successivo (come fanno ad esempio le oscillazioni verticali di una molla, che passano per una fase in cui l'ampiezza dell'oscillazione è massima verso il basso, poi tornano alla posizione di equilibrio iniziale per proseguire con una oscillazione verso l'alto e così via). Feynman suggerisce di visualizzare la fase φ pensando alla lancetta dell'immaginario orologio e definire la fase come l'angolo fra una direzione di riferimento e la direzione a cui essa punta a un certo istante, come in figura 3. Chiameremo vettore di fase il vettore di lunghezza unitaria associato a questa lancetta ideale.

Figura 3 8

λ

La terza caratteristica è il cammino percorso dall'oggetto quantistico mentre la sua fase fa un giro completo di 2π. Tale cammino dipende dalla quantità di moto p dell'oggetto e si calcola dalla relazione di de Broglie [nota b]: λ = h / p (2)

Naturalmente non dobbiamo prendere alla lettera la rappresentazione dell'orologio interno e immaginare l'oggetto quantistico come una specie di “signore” che viaggia effettivamente con un orologio al collo e guarda continuamente dove punta la sua lancetta! Si tratta solo di un artifizio per rendere più chiaro il significato del calcolo matematico e nel seguito lo utilizzeremo proprio in questo senso, cioè come una rappresentazione “pittorica” della fase. Un esempio è visualizzato in Figura 3.1: l'oggetto quantistico è diventato un omino che parte da A e viaggia con il suo orologio e relativo vettore di fase, il cammino che segue non è necessariamente rettilineo, ciò che importa è che, mentre percorre il cammino, l'orologio gira passando periodicamente per le stesse fasi e dopo un percorso pari a λ torna ad avere la stessa fase.

Figura 3.1

Vediamo ora come da queste tre caratteristiche si calcola, nel modello di Feynman, il moto dell'oggetto quantistico. Le regole per il calcolo sono giustificate dal fatto che, applicandole, si

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riesce a descrivere tutti i dati sperimentali relativi al moto degli oggetti e che si ritrova la descrizione classica del moto nelle condizioni in cui si può considerare trascurabile l'effetto della costante di Planck (cioè quando le variazioni dell'azione coinvolte nel moto sono molto più grandi della costante di Planck: questo è il principio di corrispondenza).

[nota b]: la relazione (2) fu dedotta da de Broglie nel 1921, partendo dall'interpretazione che Bohr aveva dato nel 1911 della quantizzazione dell'energia degli elettroni atomici, cioè del fatto che, apparentemente, gli elettroni atomici hanno solo certe orbite stazionarie. De Broglie dedusse la sua relazione in un “modello ondulatorio” dell'elettrone, cioè pensando all'elettrone come un'onda che si propaga nello spazio, con una lunghezza d'onda λ data dalla (2) e una frequenza f data dalla relazione di Planck (1