Leggi di Kirchhoff, circuiti elettrici in corrente continua

Elettricita magnetismo

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Appunto di fisica sulle leggi di Kirchhoff per le reti di circuiti elettrici in corrente continua: legge dei nodi e legge delle maglie, con esempi

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Sintesi

In una rete elettrica si dice nodo un punto nel quale convergono almeno tre conduttori.

Si dice maglia un percorso chiuso che non percorre due volte lo stesso ramo.

Ad esempio nella figura 1 (file allegato)

A, B,C, ... sono nodi.

ABHGE, HFG, EGC, GCDF sono maglie.

Prima legge di Kirchhoff (legge dei nodi)

La somma algebrica delle correnti che confluiscono in un nodo e' pari a zero.

Le correnti che entrano nel nodo hanno lo stesso segno (p.es. positivo), quelle che escono hanno il segno opposto.

[math]\sum_k i_k=0~.[/math]

Nell'esempio in figura 2:

[math]i_1+i_2-i_3+i_4+i_5-i_6=0[/math]

Seconda legge di Kirchhoff (legge delle maglie)

La somma algebrica delle differenze di potenziale lungo una linea chiusa e' pari a zero.

[math]\sum_k \Delta V_k=0~.[/math]

Scelto un verso di percorrenza in una maglia, valgono le regole seguenti:

1) la differenza di potenziale ai capi di una resistenza

[math]R[/math]

attraversata dalla corrente

[math]i [/math]

[math]-Ri[/math]

se il verso della corrente e' concorde a quello di percorrenza della maglia; e'

[math]+Ri[/math]

se il verso della corrente e' discorde;

2) se un generatore di f.e.m.

[math]V[/math]

viene attraversato dal verso di percorrenza dal suo polo negativo a quello positivo, contribuisce con

[math]+V[/math]

, altrimenti contribuisce con

[math]-V[/math]

.

Si noti che, in generale, in ogni ramo della maglia circola una corrente diversa.

Si consideri l'esempio in figura 3.
Applichiamo la seconda legge di Kirchhoff alla maglia ABCD, scegliamo una verso di percorrenza orario (freccia blu).
I versi delle correnti nei vari rami sono indicati dalle frecce rosse. Partendo dal nodo A:

[math]V_2-R_2i_2-V_1-R_1i_1+R_3i_3-R_4i_4-V_4=0[/math]

che si puo` riscrivere come

[math] V_2-V_1-V_4=R_2i_2+R_1i_1-R_3i_3+R_4i_4[/math]

In pratica, la seconda legge di Kirchhoff e` una generalizzazione della legge di Ohm.

Come corollario, si puo` calcolare la d.d.p. tra due punti qualsiasi di un ramo di un circuito.
Per esempio la d.d.p. tra i punti A e B del circuito appena considerato e':

[math] V_A+V_2-R_2i_2-V_B=0[/math]

ossia

[math](V_A-V_B)+V_2=R_2i_2.[/math]

Nota: quando si applica questo corollario solo ad un ramo della maglia (come il tratto AB in questo esempio), il potenziale del punto di ingresso (A) va scritto con il segno +, quello del punto di uscita va scritto con il segno - .

E' ovvio che se si calcola separatamente il contributo di ogni ramo della maglia (AB, BC, CD, DA) e poi si fa la somma, i potenziali dei singoli punti si elidono e si riottiene l'equazione scritta sopra:
\[
({V_A}+V_2-R_2i_2-{V_B})+
({V_B}-V_1-R_1i_1-{V_C})+
({V_C}+R_3i_3-{V_D})+({V_D}-R_4i_4-V_4-{V_A})=0
\]