Elettromagnetismo: Determina l'intensità  e il verso della corrente nel resistore da 2,0 Ω del circuito in figura.

Daniele Grassucci
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Risoluzione di un circuito con due generatori di tensione, applicazione delle leggi di Kirchhoff, legge dei nodi e delle maglie

Concetti Chiave

  • Il problema richiede di determinare l'intensità e il verso della corrente nel resistore da 2,0 Ω.
  • Le leggi di Kirchhoff sono utilizzate per risolvere il circuito, considerando due generatori di tensione.
  • Vengono impostate tre equazioni basate sulla legge dei nodi e la legge delle maglie per calcolare le correnti.
  • La corrente i_3 calcolata è 8/11 A, ovvero 0,73 A, nel resistore da 2,0 Ω.
  • Il verso della corrente i_3 è da B ad A.
Determina l'intensità e il verso della corrente nel resistore da
[math]2,0 Ω [/math]
 del circuito in figura.

Sono forniti i seguenti valori delle resistenze:

[math]R_1 = 1,0 Ω [/math]

[math]R_2 = 2,0 Ω [/math]

[math]R_3 = 3,0 Ω [/math]

Mentre per i generatori si hanno i seguenti valori:

[math] ΔV_1 = 1,0 V[/math]
,
[math] ΔV_2 = 4,0 V[/math]

Risoluzione

Per risolvere il problema, poiché sono presenti due generatori di tensione, è necessario applicare le leggi di Kirchhoff.

Scegliamo quindi i versi di percorrenza delle maglie, e dei versi arbitrari per le correnti: se le correnti che otterremo alla fine saranno positive, il verso da noi scelto sarà giusto, altrimenti in verso della corrente sarà quello opposto.


Applichiamo la legge dei nodi, per cui la somma delle correnti entranti in un nodo è uguale alla somma delle correnti uscenti:

[math] i_1 + i_2 = i_3 [/math]

Applichiamo poi la legge delle maglie, per cui la somma delle differenza di potenziale che si incontrano percorrendo una maglia è uguale a zero. Per la prima maglia abbiamo:

[math] - R_1 \cdot i_1 + ΔV_1 - R_2 \cdot i_3 = 0 [/math]

[math] - 1,0 \cdot i_1 + 1,0 - 2,0 \cdot i_3 = 0 [/math]

[math] - i_1 + 1 - 2 i_3 = 0 [/math]

Per la seconda maglia si ha:

[math] - R_3 \cdot i_2 + ΔV_2 + ΔV_1 - R_2 \cdot i_3 = 0 [/math]

[math] - 3,0 \cdot i_2 + 4,0 + 1,0 - 2,0 \cdot i_3 = 0 [/math]

[math] - 3 i_2 + 5 - 2 i_3 = 0 [/math]

Mettiamo a sistema le tre equazioni:

[math][/math] left{ \begin{array}{ll} i_1 + i_2 = i_3&\ - i_1 + 1 - 2 i_3 = 0& \ - 3 i_2 + 5 - 2 i_3 = 0& end{array} \right. [math][/math]

Ricaviamo la corrente

[math]i_1[/math]
dalla seconda equazione:

[math][/math] left{ \begin{array}{ll} i_1 + i_2 = i_3&\ i_1 = 1 - 2 i_3&\ - 3 i_2 + 5 - 2 i_3 = 0& end{array} \right. [math][/math]

Sostituiamo tale valore nella prima equazione:

[math][/math] left{ \begin{array}{ll} 1 - 3 i_3 + i_2 = 0&\ i_1 = 1 - 2 i_3&\ - 3 i_2 + 5 - 2 i_3 = 0& end{array} \right. [math][/math]

Ora, dalla prima equazione ricaviamo

[math]i_2[/math]
:

[math][/math] left{ \begin{array}{ll} i_2 = 3 i_3 -1&\ i_1 = 1 - 2 i_3&\ - 3 i_2 + 5 - 2 i_3 = 0& end{array} \right. [math][/math]

Sostituiamo tale valore nella terza equazione, dove sarà possibile ottenere il valore della terza corrente:

[math][/math] left{ \begin{array}{ll} i_2 = 3 i_3 -1&\ i_1 = 1 - 2 i_3&\ - 9 i_3 +3 + 5 - 2 i_3 = 0 \to i_3 = frac{8}{11}&end{array} \right. [math][/math]

Sostituiamo il valore di

[math]i_3[/math]
trovato nella prima e nella seconda equazione:

[math][/math] left{ \begin{array}{ll} i_2 = 3 * frac{8}{11} -1 = frac{13}{11}& \ i_1 = 1 - 2 * frac{8}{11} = - frac{5}{11}&\ i_3 = frac{8}{11}&end{array} \right. [math][/math]

Abbiamo quindi i seguenti valori delle correnti:

[math][/math] left{ \begin{array}{ll} i_2 = frac{13}{11}& \ i_1 = - frac{5}{11}&\ i_3 = frac{8}{11}&end{array} \right. [math][/math]

La corrente richiesta dal problema è

[math]i_3[/math]
, che vale
[math]8/(11) A = 0,73 A [/math]
.

Il suo verso è rivolto da B ad A.

Studia con la mappa concettuale

Domande da interrogazione

  1. Qual è l'intensità della corrente nel resistore da 2,0 Ω?

    2. L'intensità della corrente nel resistore da 2,0 Ω è 0,73 A.

  2. Qual è il verso della corrente nel resistore da 2,0 Ω?

    3. Il verso della corrente nel resistore da 2,0 Ω è da B ad A.

  3. Quali leggi sono state applicate per risolvere il problema?

    4. Sono state applicate le leggi di Kirchhoff, sia la legge dei nodi che la legge delle maglie.

  4. Come si determina se il verso scelto per le correnti è corretto?

    5. Se le correnti calcolate risultano positive, il verso scelto è corretto; altrimenti, il verso è opposto.

  5. Quali sono i valori delle correnti i1, i2 e i3?

    6. I valori delle correnti sono i1 = -5/11 A, i2 = 13/11 A, e i3 = 8/11 A.

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