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di(t)

f L

sinωt- =0

0 dt

f

di(t) 0

= sinωt integro

dt L

−f 0

i(t)= cosωt archi associati

Lω

−f π

0 −ωt ¿

i(t)= sin( archi associati

2

Lω

f π π

0 ¿

ωt−

i(t)= sin( =punto di max di

2 2 ω

Lω

f.

nel circuito puramente induttivo, f raggiunge prima il punto di massimo rispetto a i.

quando f è uguale a 0, la corrente è massima, perché la f indotta è pari a 0.

Lω si dice reattanza induttiva del circuito.

Considero solo il condensatore(circuito puramente capacitivo):

−q (t)

f =0

sinωt

0 C

f

q(t)= Csinωt derivo rispetto a t

0

f

i(t)= Cωcosωt archi associati

0

f 0 π 1

¿

i(t) sin(ωt+ =reattanza capacitiva

1 2 Cω

Cω

Unisco le 3 relazioni considerando di nuovo il circuito RCL:

f

Ri(t)= sinωt

0 π

( )=f =¿

− ) x

x i t sin(ωt reattanza induttiva

L

L 0 2 π =¿

)

x x

f sin( ωt+

i(t)= reattanza capacitiva

C C

0 2

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Sintesi

Circuiti RCL

Collego un condensatore, un induttore e una resistenza ad un generatore a corrente alternata. Per ricavare la legge che descrive la fem considero una spira che ruota in un campo magnetico: attraverso la spira avviene una variazione di flusso, quindi per la legge di Faraday- Neumann- Lenz avviene si genera nella spira una forza elettromotrice. Φ=BScosωt =fdΦ/dt = -BS(-sinωt)ω = BSωsinωt = f_0sinωt Inserisci qui il titolo dell'appunto
legge della maglia: f_0sinωt-(q(t))/C-L (di(t))/dt-Ri(t)=0 con C=capacità del condensatore, q(t)=carica sulle armature del condensatore in funzione del tempo, i(t)= corrente che scorre nel circuito in funzione del tempo, L= induttanza, R= resistenza. i(t)=(dq(t))/dt f_0sinωt-(q(t))/C - Ld/dt (dq(t))/dt - R(dq(t))/dt=0 In questa equazione compare la derivata seconda (dq(t))/(dt^2 ), quindi risolvo l’equazione considerando 3 circuiti separati, poiché a livello di liceo le equazioni differenziali di secondo ordine non vengono risolte. Considero solo la R(circuito ohmico): f(t)=Ri(t) f_0sinωt= Ri(t) i(t)= f_0/Rsinωt Considero solo l’induttanza(circuito puramente induttivo): f_0sinωt- L (di(t))/dt=0 (di(t))/dt=f_0/Lsinωt integro i(t)=-f_0/Lωcosωt archi associati i(t)=-f_0/Lωsin(π/2-ωt)archi associati i(t)=f_0/Lωsin(ωt-π/2) π/2ω=punto di max di f. nel circuito puramente induttivo, f raggiunge prima il punto di massimo rispetto a i. quando f è uguale a 0, la corrente è massima, perché la f indotta è pari a 0. Lω si dice reattanza induttiva del circuito. Considero solo il condensatore(circuito puramente capacitivo): f_0sinωt-(q(t))/C=0 q(t)= f_0Csinωt derivo rispetto a t i(t)= f_0Cωcosωt archi associati i(t)f_0/(1/Cω)sin(ωt+π/2) 1/Cω=reattanza capacitiva Unisco le 3 relazioni considerando di nuovo il circuito RCL: Ri(t)= f_0sinωt x_L i(t)=f_0 sin(ωt-π/2) x_L=reattanza induttiva x_C i(t)= f_0 sin(ωt+π/2) x_C=reattanza capacitiva Considero i fasori(proiezione sull’asse y di un vettore che ruota con velocità ω e che ha intensità pari al valore alla sinistra dell’uguale) Quando faccio la somma tra i vettori(vedi immagine) ottengo: f_0=√(〖(i_0 R)〗^2+(〖(x_L-x_C)i_0)〗^2 ) f_0=i_0 √(R^2+〖(Lω-1/Cω)〗^2 ) la radice qui presente è detta impedenza ed ha lo stesso ‘ruolo’ della resistenza. Se Lω-1/Cω=0, allora si dice che il circuito è in risonanza, ovvero il circuito si comporta come se fosse ohmico(puramente resistivo). |(f_0 ) ⃗ |=i_0 √(R^2+〖(Lω-1/Cω)〗^2 ) modulo del vettore f=i_0 Zsin(ωt+arctan⁡((Lω-1/Cω)/R)) con Z=impedenza