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Circuiti RCL



Collego un condensatore, un induttore e una resistenza ad un generatore a corrente alternata. Per ricavare la legge che descrive la fem considero una spira che ruota in un campo magnetico: attraverso la spira avviene una variazione di flusso, quindi per la legge di Faraday- Neumann- Lenz avviene si genera nella spira una forza elettromotrice.

Φ=BScosωt
=fdΦ/dt = -BS(-sinωt)ω = BSωsinωt = f_0sinωt
Inserisci qui il titolo dell'appuntolegge della maglia: f_0sinωt-(q(t))/C-L (di(t))/dt-Ri(t)=0
con C=capacità del condensatore, q(t)=carica sulle armature del condensatore in funzione del tempo, i(t)= corrente che scorre nel circuito in funzione del tempo, L= induttanza, R= resistenza.
i(t)=(dq(t))/dt
f_0sinωt-(q(t))/C - Ld/dt (dq(t))/dt - R(dq(t))/dt=0
In questa equazione compare la derivata seconda (dq(t))/(dt^2 ), quindi risolvo l’equazione considerando 3 circuiti separati, poiché a livello di liceo le equazioni differenziali di secondo ordine non vengono risolte.
Considero solo la R(circuito ohmico):
f(t)=Ri(t)
f_0sinωt= Ri(t)
i(t)= f_0/Rsinωt
Considero solo l’induttanza(circuito puramente induttivo):
f_0sinωt- L (di(t))/dt=0
(di(t))/dt=f_0/Lsinωt integro
i(t)=-f_0/Lωcosωt archi associati
i(t)=-f_0/Lωsin(π/2-ωt)archi associati
i(t)=f_0/Lωsin(ωt-π/2) π/2ω=punto di max di f.
nel circuito puramente induttivo, f raggiunge prima il punto di massimo rispetto a i.
quando f è uguale a 0, la corrente è massima, perché la f indotta è pari a 0.
Lω si dice reattanza induttiva del circuito.
Considero solo il condensatore(circuito puramente capacitivo):
f_0sinωt-(q(t))/C=0
q(t)= f_0Csinωt derivo rispetto a t
i(t)= f_0Cωcosωt archi associati
i(t)f_0/(1/Cω)sin(ωt+π/2) 1/Cω=reattanza capacitiva
Unisco le 3 relazioni considerando di nuovo il circuito RCL:
Ri(t)= f_0sinωt
x_L i(t)=f_0 sin(ωt-π/2) x_L=reattanza induttiva
x_C i(t)= f_0 sin(ωt+π/2) x_C=reattanza capacitiva
Considero i fasori(proiezione sull’asse y di un vettore che ruota con velocità ω e che ha intensità pari al valore alla sinistra dell’uguale)
Quando faccio la somma tra i vettori(vedi immagine) ottengo:
f_0=√(〖(i_0 R)〗^2+(〖(x_L-x_C)i_0)〗^2 )
f_0=i_0 √(R^2+〖(Lω-1/Cω)〗^2 ) la radice qui presente è detta impedenza ed ha lo stesso ‘ruolo’ della resistenza.
Se Lω-1/Cω=0, allora si dice che il circuito è in risonanza, ovvero il circuito si comporta come se fosse ohmico(puramente resistivo).
|(f_0 ) ⃗ |=i_0 √(R^2+〖(Lω-1/Cω)〗^2 ) modulo del vettore
f=i_0 Zsin(ωt+arctan⁡((Lω-1/Cω)/R)) con Z=impedenza