Concetti Chiave
- Gottlob Frege cerca di fondare la matematica sulla logica, definendo i concetti fondamentali in termini logici e dimostrando le verità matematiche a partire da principi logici.
- Per realizzare il suo programma logicista, Frege sviluppa un linguaggio simbolico con regole logiche esplicite, per eliminare l'ambiguità del linguaggio ordinario.
- La crisi dei fondamenti matematici è innescata da Bertrand Russell, che identifica paradossi derivabili dai principi di astrazione usati da Frege e Cantor.
- Russell scopre che il principio di astrazione porta a contraddizioni attraverso l'autoriferimento, creando tensioni nel programma logicista.
- Per risolvere l'antinomia, Russell elabora la teoria dei tipi nei "Principia Mathematica", stabilendo che una classe non può appartenere a se stessa, ma solo a classi superiori.
Frege e la logicizzazione della matematica?
Gottlob Frege (1848-1925) tenta di pervenire alla fondazione della matematica sulla logica, alla logicizzazione della matematica. In particolare, Frege si propone di definire in termini puramente logici i concetti fondamentali della matematica, primo fra tutti quello di numero naturale, e di dimostrare a partire da principi logici le verità della matematica, a cominciare dagli assiomi dell'aritmetica. Per realizzare il programma logicista, è necessario poter condurre dimostrazioni rigorose, esplicite in ogni passo. A questo scopo non ci si può servire del linguaggio ordinario, troppo ambiguo. Frege costruisce così un linguaggio simbolico, corredato da esplicite regole logiche (da lui presentato nell'Ideografia, del 1879), in cui riscrivere senza ambiguità tutta la logica e la matematica. Il suo logicismo avrà come continuatori, nel Novecento, Whitehead, Russell, Wittgenstein.
La crisi dei fondamenti matematici
Il programma logicista viene messo in crisi dalla scoperta di paradossi e antinomie derivabili direttamente dai principi su cui Cantor e Frege si erano basati, principi che erano apparsi a questi ultimi semplici e naturali. Nel 1902 Bertrand Russell (1872-1970), presentando una serie di paradossi, apre la crisi dei fondamenti. Egli aveva scoperto che dal principio di astrazione, per cui ogni proprietà individua l'insieme degli oggetti che ne godono, è derivabile una contraddizione. L'impatto dell'antinomia è fortissimo. Russell ne individua la causa nell'autoriferimento, vale a dire nella possibilità di definire classi che includano se stesse come propri elementi. Continuando ad aderire al programma logici-sta, per risolvere l'antinomia Russell elabora nei Principia Mathematica (1910-13), scritti insieme con Whitehead — la teoria dei tipi, secondo la quale una classe non può appartenere a se stessa ma solo a un'altra classe superiore a essa per estensione.
Domande da interrogazione
- Qual è l'obiettivo principale di Frege nella sua ricerca sulla matematica?
- Qual è la causa principale della crisi dei fondamenti matematici secondo Bertrand Russell?
- Come ha cercato Russell di risolvere l'antinomia emersa dal programma logicista?
Frege mira a fondare la matematica sulla logica, definendo i concetti fondamentali in termini puramente logici e dimostrando le verità matematiche a partire da principi logici, come evidenziato nel suo programma logicista.
Russell identifica la causa della crisi nei paradossi derivanti dall'autoriferimento, in particolare nel principio di astrazione, che porta a contraddizioni, come descritto nel suo lavoro del 1902.
Russell ha elaborato la teoria dei tipi nei "Principia Mathematica", stabilendo che una classe non può appartenere a se stessa, ma solo a una classe superiore, per evitare le contraddizioni scaturite dall'autoriferimento.
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