La rivoluzione logicista di Frege e la crisi dei fondamenti matematici

Frege e la logicizzazione della matematica

Gottlob Frege (1848-1925) tenta di pervenire alla fondazione della matematica sulla logica, alla logicizzazione della matematica. In particolare, Frege si propone di definire in termini puramente logici i concetti fondamentali della matematica, primo fra tutti quello di numero naturale, e di dimostrare a partire da principi logici le verità della matematica, a cominciare dagli assiomi dell'aritmetica. Per realizzare il programma logicista, è necessario poter condurre dimostrazioni rigorose, esplicite in ogni passo. A questo scopo non ci si può servire del linguaggio ordinario, troppo ambiguo. Frege costruisce così un linguaggio simbolico, corredato da esplicite regole logiche (da lui presentato nell'Ideografia, del 1879), in cui riscrivere senza ambiguità tutta la logica e la matematica. Il suo logicismo avrà come continuatori, nel Novecento, Whitehead, Russell, Wittgenstein.

La crisi dei fondamenti matematici

Il programma logicista viene messo in crisi dalla scoperta di paradossi e antinomie derivabili direttamente dai principi su cui Cantor e Frege si erano basati, principi che erano apparsi a questi ultimi semplici e naturali. Nel 1902 Bertrand Russell (1872-1970), presentando una serie di paradossi, apre la crisi dei fondamenti. Egli aveva scoperto che dal principio di astrazione, per cui ogni proprietà individua l'insieme degli oggetti che ne godono, è derivabile una contraddizione. L'impatto dell'antinomia è fortissimo. Russell ne individua la causa nell'autoriferimento, vale a dire nella possibilità di definire classi che includano se stesse come propri elementi. Continuando ad aderire al programma logici-sta, per risolvere l'antinomia Russell elabora nei Principia Mathematica (1910-13), scritti insieme con Whitehead — la teoria dei tipi, secondo la quale una classe non può appartenere a se stessa ma solo a un'altra classe superiore a essa per estensione.