Matematica applicata alle funzioni profitto

Funzioni di due variabili in economia: capitolo 22

Come usare l'Hessiana per calcolare punti di sella, massimi e minimi

Definizione di Hessiana: matrice quadrata nxn che include tutte le derivate seconde di una funzione a due variabili.

Data una funzione iniziale in questa forma: z = f (x; y), inizia con il fare le derivate parziali rispetto ad x e rispetto ad y, entrambe ovviamente di primo grado. Ricorda che per derivare parzialmente rispetto ad una funzione che presenta ambo le incognite bisogna considerare l'incognita da non derivare come se fosse una costante e ripetere lo stesso procedimento quando si deriva parzialmente la seconda incognita.

In seguito porre entrambe le derivate parziali uguali a zero e metterle a sistema, facendo comparire la "y" al primo membro e tutto il resto al secondo. Risolvere il semplice sistema di due incognite in due equazioni con i metodi conosciuti (sostituzione o comparazione sono quelli più semplici da utilizzare). In questo modo troveremo le coordinate dei punti critici.

• Fare le derivate seconde dei termini xx; xy; yx; yy ed inserirle in una matrice, sostituendo una per volta al posto di x ed y le coordinate dei punti critici trovati in precedenza.
• Moltiplicare i termini "xx" e "yy" e i termini "xy" e "yx", in seguito sottrarre il primo risultato al secondo.
  • Se il risultato sarà positivo e la derivata di "xx" è positiva allora la funzione presenterà un minimo relativo;
  • Se il risultato sarà positivo e il termine "xx" è negativo la funzione presenterà un massimo relativo;
  • Se il risultato sarà negativo e il termine "xx" è negativo la funzione presenterà un punto di sella.

Funzioni marginali

Data una funzione di più variabili, le sue derivate rispetto alle variabili indipendenti da cui essa dipende vengono dette funzioni marginali.

• Se la domanda di un bene dipende dal prezzo e dal reddito del consumatore ad esempio, le funzioni marginali saranno le due derivate della domanda rispetto al prezzo ed al reddito.
• La funzione marginale del prezzo indica come varia la domanda al variare del prezzo, mentre la funzione marginale del reddito indica come varia la domanda del bene al variare del reddito del consumatore.

Elasticità

Elasticità parziale

Data una funzione z di più variabili, si definisce grado di elasticità parziale rispetto ad una delle variabili indipendenti x_i la quantità:

_z,xi = z^'_xi / (z/x_i) = x_i/z · z^'_xi

Questa grandezza quantifica la sensibilità di z nei confronti di una variazione di x_i, cioè di quanto varia z al variare di x_i.

Elasticità incrociata

Quando la domanda di un bene dipende anche dal prezzo di un altro bene, come negli ultimi due esempi proposti, si introduce l'elasticità incrociata, ossia l'elasticità della domanda del bene rispetto al prezzo del secondo bene.

Beni succedanei, complementari, non in relazione:

Si dice che due beni

• Sono succedanei quando l'elasticità incrociata è positiva (sono beni cioè alternativi: caffè/orzo, legna/gas, ecc..);
• Sono complementari quando l'elasticità incrociata è negativa (sono beni legati tra loro: caffè/zucchero, pasta/pelati, ecc..);
• Non sono in relazione quando l'elasticità incrociata è pari a zero.

Beni in regime di concorrenza perfetta

Per due beni in regime di concorrenza perfetta un produttore si pone il problema di individuare quale sia la quantità da produrre che gli permetta di massimizzare il suo profitto. Non è possibile in tale forma di mercato fissare il prezzo dei beni in quanto esso è determinato dall'incontro della domanda e dell'offerta.

• Viene indicata con C la funzione di costo di produzione, che dipenderà dalle quantità prodotte e che deriva dal tipo di bene, dai macchinari, dalle materie prime, dal costo della manodopera, ecc..
• Viene indicata con R la funzione di ricavo, data dal prodotto delle quantità vendute moltiplicate per il prezzo unitario.

R = p₁ · q₁ + p₂ · q₂

• Si indica con U la funzione di utile del produttore, data dalla differenza tra ricavi e costi. U = R - C. La funzione di utile è data dalla differenza tra l'incasso dalla vendita dei due beni ed il costo sostenuto dal produttore.

Beni in regime di concorrenza monopolistica

Per due beni in regime di monopolio un produttore si pone il problema di individuare sia la quantità da produrre che il prezzo, in modo da massimizzare il suo profitto. Questo poiché essendo monopolista può decidere liberamente sia il prezzo che le quantità. Le quantità da produrre in questo caso sono funzione del prezzo che non è fisso, infatti al variare del prezzo cambia la richiesta del mercato di un determinato bene.

Vengono indicate con C la funzione di costo di produzione e con R la funzione di ricavo, che restano definite come nel caso di concorrenza perfetta, come anche l'utilità U. Tuttavia in questo tipo di mercato si introducono anche le funzioni di domanda e di offerta.

Le quantità dei due beni richieste dal mercato dipendono dal loro prezzo. Comunemente al crescere del prezzo di un determinato bene la sua richiesta diminuisce. Alcuni beni, soprattutto quelli di lusso, talvolta non rispondono a questa previsione.

q₁ = f₁(p₁, p₂) q₂ = f₂(p₁, p₂)

Un unico bene con due prezzi diversi

La quantità da produrre in questo caso è unica e data dalla somma dei beni immessi sull'uno e l'altro mercato. Anche in questo caso la richiesta del mercato è funzione del prezzo, infatti al variare dei prezzi cambiano le quantità vendute.

q = q₁ + q₂

q₁ = f₁(p₁, p₂) q₂ = f₂(p₁, p₂)