Frattali, tesina

I frattali: speculazione filosofica o disciplina matematica?

Sophia Chicchiero

L.S. G. Galilei V A

0 a.s. 2015/2016

Indice

• Frattale metafora della corrispondenza tra microcosmo e macrocosmo pag. 2
• Il frattale di Mandelbrot pag. 3
• L'arte frattale pag. 5
• I frattali e il caos pag. 6
• Applicazioni frattali pag. 6
• La fisiologia umana è frattale pag. 7
• Rapporto frattali e scienza pag. 8

Bibliografia

• “The Human Genome in 3 Dimensions”
• Frattali & natura - Daniel Barthe
• Frattali & natura – Benoit Rittaud
• Arte frattale – Daniel Barthe
• Frattali utili – Raquel Azran
• Mandelbrot & Julia – Willy Payet 1

Frattale metafora della corrispondenza tra microcosmo e macrocosmo

La teoria del microcosmo e del macrocosmo, due concetti che si riferiscono a un insieme indivisibile, un'unità in cui le singole parti (microcosmo) sono in relazione al tutto (macrocosmo) è stata sostenuta fin dall'antichità. Questa terminologia fu utilizzata per la prima volta dal filosofo Democrito che afferma “l'uomo è un piccolo microcosmo”, ovvero uno specchio e una sintesi dell'intero universo. Una tematica, che in realtà, circola in tutta la filosofia presocratica, sostenuta da Anassimene, Empedocle e poi, dopo Socrate, da Platone. Il microcosmo è identificato con l'uomo, quest'ultimo inteso come una componente di un'unità universale e globale, mentre con il macrocosmo si identifica l'intero universo.

Con la nascita del metodo scientifico si è cercato, in modo sistematico, un legame descrittivo dei vari fenomeni della natura, per analizzarli e descriverne le leggi.

“La filosofia è scritta nel grandissimo libro che è l'universo in una lingua matematica i cui caratteri sono triangoli, cerchi e altre figure geometriche, senza queste è un agitarsi in uno oscuro labirinto” - Galileo Galilei

A più di 3 secoli di distanza, nel 1975, Benoit Mandelbrot pubblica il libro "Les objets fractals" in cui, riprendendo la celebre frase di Galileo sull'esistenza di una geometria della natura, commenta:

“La geometria euclidea è incapace di descrivere la natura nella sua complessità, in quanto si limita a descrivere tutto ciò che è regolare. Tutti gli oggetti che hanno una forma perfettamente sferica, oppure oggetti perfettamente cilindrici, mentre osservando la natura vediamo che le montagne non sono dei coni, le nuvole non sono delle sfere, le coste non sono dei cerchi, ma sono degli oggetti geometricamente molto complessi.”

Questa osservazione introduce la geometria frattale, una recente branca della matematica che nasce come nuovo linguaggio di descrizione delle complesse forme della natura, come gli alberi, ad esempio, o i cavolfiori.

Agli inizi del XX secolo, alcuni matematici avevano ideato curve e figure molto strane che sovvertivano le regole della Geometria classica, violavano le caratteristiche di armonia considerate naturali per gli oggetti in campo scientifico, come ad esempio una linea tutta spigoli (il merletto di Koch), figure bucherellate (gerla di Sierpinski), figure geometriche “complesse” costruite mediante un processo iterativo. Queste figure avevano in genere lo scopo di produrre controesempi, cioè servivano a mettere in luce i limiti descrittivi delle strutture assiomatiche classiche. Solo grazie a Mandelbrot i mostri matematici, relegati negli armadi, furono spolverati e rimessi in moto acquistando la nuova veste di antenati delle moderne figure frattali. Per dirla in modo semplice, i frattali sono nati recuperando pezzi separati pre-esistenti, ma concepiti in contesti limitati e distinti.

Dopo il rivoluzionario intervento di Mandelbrot, i matematici furono sorpresi e compiaciuti nello scoprire che le loro figure fossero diventate la chiave di lettura della complessità tanto a lungo cercata. Negli ultimi venti anni i modelli frattali sono usciti allo scoperto, acquistando il ruolo della struttura chiave nella modellizzazione matematica in tutti i settori: dalle scienze naturali a quelle economiche e sociali, dalla fisiologia alla tecnologia avanzata e il loro campo di applicazione è in costante crescita. 2

Il frattale di Mandelbrot

“Un frattale è un oggetto irregolare, la cui irregolarità è la stessa a tutte le scale e in tutti i punti”

Adrian Douaday

Mandelbrot definisce così il frattale: "Figura geometrica o oggetto naturale con una parte della sua forma o struttura che si ripete a scala differente, con forma estremamente irregolare interrotta e frammentata a qualsiasi scala e con elementi distinti di molte dimensioni differenti".

Il termine frattale deriva dal latino “fractus”, ovvero "spezzato, irregolare" in quanto, gli oggetti frattali hanno un'apparenza frastagliata che non viene meno anche se si sottopongono a successivi ingrandimenti.

Grossolanamente si possono descrivere come figure in cui un motivo identico si ripete su scala

Illustrazione 1: frattale di Mandelbrot continuamente ridotta. Infatti ingrandendo la figura si ottengono forme ricorrenti e ad ogni ingrandimento essa rivela nuovi dettagli.