Frattali: la rappresentazione della realtà

Introduzione

Lo scopo di questa tesina è mostrare come la moderna teoria matematica dei frattali,

elaborata dal matematico Benoit Mandelbrot* negli anni ’70, accomuni la musica

alla computer grafica, i mercati azionari al cavolo romano, il cinema all’espansione

dell’universo.

Possono sembrare collegamenti “provocatori” questi, poiché tutti tendiamo

comunemente a considerare la matematica una materia puramente teorica,

ignorandone l’aspetto pratico e quello estetico, aspetti che contribuiscono a rendere

la materia più coinvolgente. 1

* Benoit Mandelbrot è un matematico polacco naturalizzato francese (Varsavia, 1924).

Scoprì quasi per caso il frattale che porta il suo nome, insieme di Mandelbrot, durante studi

matematici per conto della IBM (una delle maggiori aziende informatiche al mondo), presso cui era

impiegato, nel 1979.

Indice

• Introduzione ……………………………………………………………………………pag. 1
• I frattali da un punto di vista teorico………………………………………. ……………………………pag. 3
• Frattali: alcune nozioni ……………………………………………………………………………pag. 3
• I primi studi matematici……………………………………………………………………………pag. 8
• Curiosità storiche…………………………………………………………………………..……pag. 10
• I frattali nell’ambiente che ci circonda…………………………………………………………………..pag. 11
• La distribuzione delle galassie: l’universo frattale ………………………………………..pag. 11
• Il disordine dei mercati: i frattali in borsa ………………………………………………..…pag. 14
• Musica frattale …………………………………………………………………………………….pag. 16
• Arte frattale………………………………………………………………………………pag. 19
• Frattali e… Cinema ……………………………………………………………………………..pag. 23
• Frattali naturali: una geometria… del cavolo!……………………………………………..pag. 24
• Note………………………………………………………………………………………………..pag. 26
• Bibliografia e sitografia ………………………………………………………………………..pag. 30 2

I frattali da un punto di vista teorico

Frattali: alcune nozioni

Non è semplice dare una precisa definizione di frattale, poiché neanche lo stesso Mandelbrot ne ha

data una. Possiamo però definire sommariamente il frattale come un oggetto geometrico

caratterizzato da un principale elemento:

Auto-somiglianza: ingrandendo un qualsiasi tratto di curva si visualizza un insieme di

particolari altrettanto ricco e complesso rispetto al precedente; questo procedimento di “zoom” può

proseguire all’infinito. Da ciò derivano due curiose caratteristiche delle curve frattali:

• Pur essendo continue, non ammettono una tangente unica in alcun punto;
• Presi due punti della curva, anche vicinissimi tra loro, la distanza fra essi (misurata lungo la curva) è sempre infinita.

L’esempio più semplice di frattale è la cosiddetta “curva di Koch”. Eccone lo sviluppo:

Curva di Koch

Il processo per ottenere una curva di Koch è piuttosto semplice: basta considerare un triangolo

equilatero, dividere ciascun lato in tre parti uguali, considerare il terzo centrale di ciascuno come la

base di un nuovo triangolo equilatero, e ripetere il processo all’infinito. Il risultato finale è una

figura a forma di fiocco di neve, che ha un’area finita, ma un bordo infinito (a ogni passo la

lunghezza del bordo si moltiplica per 4/3). A causa della simmetrica iterazione del procedimento

che lo definisce, il bordo della figura ha la proprietà di essere auto-simile, e quindi tale figura può,

a ragione, essere definita frattale, pur essendo stata ricavata nel 1904, circa settanta anni prima della

formulazione della teoria di Mandelbrot.

Possiamo facilmente dimostrare la proprietà dell’auto-somiglianza frattale per il fiocco di neve

appena visto. Ad ogni iterazione, la lunghezza della curva cresce di un fattore 4/3: se il segmento di

partenza ha lunghezza pari a 1, il secondo misura 4/3, il terzo 16/9, il quarto 64/27 e così via.

1

Questa successione è chiaramente divergente, cioè tende ad assumere un valore infinito.

Ma non è tutto: ogni pezzo del fiocco di neve, anche piccolissimo, gode della proprietà dell’auto-

somiglianza, cioè contiene in sé un’infinita ricchezza di particolari, di minuscoli fiocchi di neve, e

quindi anch’esso è di lunghezza infinita. Inoltre, lungo il perimetro non si potrà mai tracciare la

tangente ad un punto.

Nonostante il perimetro spezzato ed infinito della figura, è possibile calcolare l’area chiusa entro la

curva: è 8/5 di quella del triangolo di partenza.

Un comportamento così strano ha portato i matematici del primo Novecento a attribuire il nome di

“mostruosità matematiche” a questa e ad altre curve. Ma le “curve-mostri” si generano in modo

straordinariamente facile. Se i triangoli puntano all’interno invece che all’esterno (ovvero, se ad

ogni passo li sottraiamo invece di aggiungerli) otteniamo la curva dell’anti-fiocco di neve, chiamato

dai matematici flowsnake (i matematici amano i giochi di parole e si divertono a scambiarne le

prime sillabe: in questo caso, da snowflake, fiocco di neve, si ottiene flowsnake).

Flowsnake 4

Anche questa forma ha un perimetro esterno infinitamente lungo, che interseca se stesso infinite

volte, ma l’area è solo 2/5 di quella del triangolo equilatero di partenza.

La stessa idea di aggiungere o sottrarre “pezzi” sempre più piccoli funziona anche con un quadrato

o qualsiasi altro poligono. Risultati interessanti si ottengono dall’applicazione di questo

procedimento a oggetti tridimensionali: dividendo ogni faccia di un tetraedro regolare in quattro

triangoli equilateri e innalzando un piccolo tetraedro sul triangolo centrale di ciascuna faccia e

continuando indefinitamente il procedimento, si ha l’analogo tridimensionale della curva di Koch,

la cui superficie è infinita, ma racchiude un volume finito.

Altri esempi significativi e famosi di frattali sono la polvere di Cantor, il triangolo di Sierpinski e la

spugna di Menger, applicazioni dello stesso procedimento su tre dimensioni diverse.

Polvere di Cantor Triangolo di Sierpinski

Spugna di Menger

Non c’è da stupirsi che i matematici siano rimasti turbati, quando hanno incontrato per la prima

volta un comportamento così bizzarro. Per loro, queste curve fantastiche rappresentavano una

patologia matematica che non aveva niente a che vedere con i possibili fenomeni del mondo reale e

che era diversa da tutto quel che si poteva trovare in natura. Vedremo più avanti che, invece, non è

così.

Tuttavia, alcuni matematici si interessarono a queste forme in modo serio. Poiché curve come quella

di Koch (e come l’insieme di Mandelbrot, come vedremo più avanti) non si possono misurare nel

modo solito, avendo lunghezza infinita, nel 1918 Felix Haussdorff (matematico tedesco, 1868-

1942) propose di misurarne almeno il grado di auto-somiglianza, introducendo il concetto di

dimensione frazionaria.

L’idea di dimensione frattale o frazionaria è un’estensione del concetto di dimensione normalmente

usato per descrivere le direzioni nello spazio di oggetti ordinari e regolari come quadrati e cubi. Una

linea è unidimensionale, un quadrato è bidimensionale e un cubo è tridimensionale.

L’idea di Haussdorff consiste nel calcolare quanti piccoli oggetti o unità di grandezza p sono

necessari per coprire un oggetto più grande di grandezza P

In generale, per ogni oggetto frattale di grandezza P costituito da unità più piccole di grandezza p, il

numero N di unità che si possono far entrare nell’oggetto è il rapporto tra le grandezze elevato ad

una potenza d, chiamata dimensione di Haussdorff.

In termini matematici, questo si può scrivere come:

^d

N = (P/p) oppure d = log N / log (P/p)

La dimensione non è altro che l’esponente del fattore di scala necessario per determinare la

grandezza corrispondente dell’oggetto aumentato in scala.

Questo modo di definire le dimensioni mostra che anche oggetti familiari, come linea, quadrato e

cubo sono frattali, benché matematicamente siano considerati “banali”: la linea contiene piccoli

segmenti, il quadrato piccoli quadrati, il cubo piccoli cubi.

Applicando il concetto di dimensione di Haussdorff alla curva di Koch si ottiene una dimensione

frazionaria. Supponiamo che, al primo stadio della sua costruzione, la curva a fiocco di neve abbia

lato di 1 cm. Con una risoluzione di 1 cm, la curva appare come un triangolo fatto di 3 segmenti di

retta. Eventuali pieghe più piccole non sono visibili. Se la risoluzione passa a 1/3 di cm, i segmenti

che si scorgono sono 12, ciascuno lungo 1/3 di cm. Ogni volta che l’unità di misura viene ridotta a

1/3, il numero di segmenti visibili aumenta di 4 volte. Nel nostro caso, N=4 e P/p = 3. Perciò:

^d

3 = 4^d

Log 3 = log 4

d log 3= log 4

d = log 4 /log 3

La dimensione di Haussdorff della curva di Koch è dunque 1,2618…

Ciò non vuol dire che il fiocco di neve si estenda in 1,26 direzioni diverse. La dimensione frattale

produce gli stessi numeri del più usuale concetto di dimensione nel caso di spazi familiari come una

linea, un quadrato, un cubo –cioè 1, 2, 3-, ma si applica a più forme. La dimensione frattale coglie

la relazione tra il numero di elementi costituenti e le loro dimensioni. 6