Frattali - Tesina per Istituto Tecnico Commerciale

Vorrei iniziare la mia presentazione con una citazione di Benoit Mandelbrot:

"Le nubi non sono sfere, le montagne non sono coni, le linee costiere non sono cerchi, la corteccia degli alberi non è levigata e il fulmine non viaggia in linea retta".

Con ciò vorrei introdurre l'argomento della mia tesi d'esame:

I frattali

Ovvero come considerare la matematica non più come una materia puramente teorica, ma esaltarne gli aspetti pratici ed estetici;

Tramite i seguenti esempi:

• Applicazione della matematica frattale alla natura
• I principi dei frattali della pittura di Seurat, vita e dipinti dell'autore francese
• Frattali nell'economia con citazioni storiche ed esempi riguardanti la crisi del 1929

Introduzione

I frattali furono teorizzati da Benoit Mandelbrot, matematico impiegato presso l'IBM, negli anni Settanta.

I suoi studi e le sue tesi furono rese pubbliche con la pubblicazione dei suoi libri () e (), rispettivamente nel () e nel ().

Non è possibile dare una precisa definizione dell'oggetto scoperto da Mandelbrot e coniato dallo stesso con il nome di frattale, in quanto neanche lo stesso matematico ne ha data una.

Sommariamente e a grandi linee possiamo definire il frattale come un oggetto geometrico caratterizzato da un preciso elemento:

L'auto-somiglianza

Infatti, ingrandendo un qualsiasi tratto di curva di una delle seguenti immagini, si visualizza un insieme di particolari ricco e complesso rispetto al precedente, ma con una ripetizione delle medesime forme geometriche; questo procedimento di "zoom" può ripetersi all'infinito.

In matematica l'esempio più semplice di frattale è la cosiddetta curva di Koch. Vi propongo questo esempio in particolare in quanto il suo sviluppo nella forma finale ci ricorda un elemento appartenente al mondo naturale, ovvero una forma che può essere ricondotta alla struttura di un fiocco di neve.

Per la cosiddetta curva di Koch si parte da una linea semplice e si spezza in quattro segmenti, ripetendo poi questo procedimento per ogni nuovo segmento; infatti, ogni iterazione che vediamo è la ripetizione dell'algoritmo iniziale.

Un altro esempio è il cosiddetto albero frattale, che vede la generazione di una forma simile a quella di un albero, ripetendo ogni ramo inclinandolo di + o – 45 gradi, diminuendo la grandezza dei rami a meno della metà.

Così possiamo passare alla prima parte della tesi:

Applicazione della matematica frattale alla natura

Citando di nuovo Mandelbrot, quando gli fu posta la domanda:

"A cosa servono i frattali?"