Il frattale di Mandelbrot

Il frattale di Mandelbrot

A cura di Flavio Cimolin

(Formula suggerita da Andrea Zanni) (ultimo aggiornamento: 22/10/2005)

I frattali sono fra tutti gli oggetti matematici quelli che più impressionano anche chi di matematica non capisce assolutamente nulla.

Si parte da una figura come quella qui a fianco (che è una rappresentazione dell’insieme di Mandelbrot, il frattale forse più famoso), e poi ci si abbandona nell’osservare le linee e i colori, alla ricerca di schemi che si ripetono sempre, ma su scale diverse.

L’occhio è alla continua ricerca del confine della figura, ma non lo può trovare, perché esso non esiste: se si ingrandisce l’immagine si scoprono sempre nuove insenature, sempre diverse ma sempre simili a quella iniziale.

È questa indefinitezza e autosomiglianza che definisce concettualmente quello che è un frattale.

Ma cosa c’entra in questo discorso la matematica? C’entra eccome, perché i frattali sono degli oggetti matematici veri e propri, definiti in una maniera rigorosa attraverso delle formule.

Lo studio della geometria frattale è tutto sommato abbastanza recente, ed inizia con Mandelbrot e Julia verso l’inizio del ventesimo secolo.

Solo la potenza di calcolo fornita negli ultimi anni dall’avvento dei computer è però riuscita a mostrarci in tutti i loro dettagli questi straordinari oggetti.

Le immagini che vediamo, infatti, sono solo una rappresentazione degli insiemi frattali, in cui ad ogni numero viene associato un colore.

Ma il bello deve ancora venire! Infatti nonostante si possa pensare che un oggetto così complicato come un frattale necessiti di una formula particolarmente lunga e complessa per essere descritto, nulla è più lontano dal vero.

Che ci crediate o no, la formula con cui viene generato l’insieme di Mandelbrot è la seguente:

Si tratta semplicemente di quella che in analisi matematica è una parabola traslata rispetto all’origine di un termine noto c!

L’incognita è indicata con z perché questa è la lettera che usualmente i matematici usano per i numeri complessi.

Il frattale di Mandelbrot è infatti definito in un piano semicomplesso (due assi sono per la parte reale ed immaginaria dei numeri, e la rappresentazione avviene grazie all’uso di colori diversi).

Il modo di procedere può essere molto brevemente descritto nel modo seguente: per ogni punto X del piano complesso, si pone c = X, e poi, a partire da z = 0 + i*0, si calcola iterativamente Z con la formula descritta sopra, fino a quando il suo modulo sqr(Re[Z]^2 + Im[z]^2) diventa maggiore di un certo valore G.