Corso di ordinamento - Sessione ordinaria - a.s. 2007-2008
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Esame di Stato di liceo scientifico
Corso di ordinamento
Tema di: Matematica
a.s. 2007-2008
Problema 1
π
=
ˆ
C A
B.
Il triangolo rettangolo ABC ha l’ipotenusa AB = a e l’angolo 3
a) Si descriva, internamente al triangolo, con centro in B e raggio x, l’arco di circonferenza di estremi P e Q rispettivamente su AB e su BC. Sia poi R l’intersezione con il cateto CA dell’arco di circonferenza di centro A e raggio AP. Si specifichino le limitazioni da imporre ad x affinchè la costruzione sia realizzabile.
b) Si esprima in funzione di x l’area S del quadrilatero mistilineo PQCR e si trovi quale sia il valore minimo e quale il valore massimo di S(x).
c) Tra i rettangoli con un lato su AB e i vertici del lato opposto su ciascuno dei due cateti si determini quello di area massima.
d) Il triangolo ABC è la base di un solido W. Si calcoli il volume di W sapendo che le sue sezioni, ottenute tagliandolo con piani perpendicolari ad AB, sono tutti quadrati.
Problema 2
Γ di centro C e diametro AB = 2, si affrontino le seguenti questioni:
Assegnato nel piano il semicerchio
Γ
Γ
a) Si disegni nello stesso semipiano di un secondo semicerchio tangente ad AB in C e di
1 Γ Γ
uguale raggio 1. Si calcoli l’area dell’insieme piano intersezione dei due semicerchi e 1
1
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Γ
b) Si trovi il rettangolo di area massima inscritto in .
Γ , H la sua proiezione ortogonale su AB.
c) Sia P un punto della semicirconferenza di
=
ˆ
Si ponga e si esprimano in funzione di x le aree di S e S dei triangoli APH e PCH.
P
C B x 1 2
( )
S x
( ) = 1
Si calcoli il rapporto f x ( )
S x
2
d) Si studi f(x) e se ne disegni il grafico prescindendo dai limiti geometrici del problema.
Questionario
1) Si consideri la seguente proposizione: “Se due solidi hanno uguale volume, allora, tagliati da un fascio di piani paralleli, intercettano su di essi sezioni di uguale area”. Si dica se essa è vera o falsa e si motivi esaurientemente la risposta.
2) Ricordando che il lato del decagono regolare inscritto in un cerchio è sezione aurea del raggio, si
2) π −
5 1
=
provi che sin 10 4
Fra le casseruole, di forma cilindrica, aventi la stessa superficie S (quella laterale più il fondo)
3) qual è quella di volume massimo?
Si esponga la regola del marchese de L’Hôpital (1661 – 1704) e la si applichi per dimostrare che
4) è: 2008
x =
lim 0
x
→ +∞ 2
x
Si determini un polinomio P(x) di terzo grado tale che:
5) 1
( ) ( ) ( ) ( ) 1
∫
= = = =
0 ' 0 0
, 1 0 e
P P P P x dx 12
0
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
n n n
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ >
Se , , con sono in progressione aritmetica, qual è il valore di n?
6) n 3
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1 2 3 − + =
3 2
x 3 x k 0
Si determini, al variare di k, il numero delle soluzioni reali dell’equazione:
7) ( ) π
π
= −
x
Sia f la funzione definita da f x x. Si precisi il dominio di f e si stabilisca il segno delle
8) 2
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π
= .
sue derivate, prima e seconda, nel punto x
−
2 ( )
( ) x 1
= ? Si giustifichi la risposta.
; esiste
Sia
9) lim f x
f x − → +
x 1 x 1
Secondo il codice della strada il segnale di “salita ripida” (fig. sotto) preavverte di un tratto di strada con pendenza tale da costituire pericolo. La pendenza vi `e espressa in percentuale e nell’esempio è 10%. Se si sta realizzando una strada rettilinea che, con un percorso di 1, 2 km, supera un dislivello di 85m, qual è la sua inclinazione (in gradi sessagesimali)? Quale la percentuale da riportare sul segnale? 3
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Problema 1
π
=
ˆ
C A
B
Il triangolo rettangolo ABC ha l’ipotenusa AB = a e l’angolo.
3
Punto a
Si descriva, internamente al triangolo, con centro in B e raggio x, l’arco di circonferenza di estremi P e Q rispettivamente su AB e su BC. Sia poi R l’intersezione con il cateto CA dell’arco di circonferenza di centro A e raggio AP. Si specifichino le limitazioni da imporre ad x affinchè la costruzione sia realizzabile.
Consideriamo la figura sottostante:
La costruzione è realizzabile se i punti Q ed R si trovano entrambi internamente ai cateti BC ed AC.
π
⎛ ⎞ a 3
= = ⋅
≡ = ≡
⎜ ⎟
BC x a sin, mentre se
In particolare se Q C R C
⎝ ⎠
3 2
π
⎛ ⎞ a
a =
= − = ⋅ =
⎜ ⎟
sin da cui x. In conclusione affinchè la costruzione sia realizzabile si
AC a x a ⎝ ⎠
6 2 2
a a 3
≤ ≤
deve imporre x.
2 2
Punto b
Si esprima in funzione di x l’area S del quadrilatero mistilineo PQCR e si trovi quale sia il valore minimo e quale il valore massimo di S(x).
Consideriamo la figura seguente:
L’area del quadrilatero PQCR è calcolabile come differenza tra l’area del triangolo rettangolo ABC
4
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e l’area dei due settori circolari PAR e PBQ. In particolare si ha:
. .
Sett Circ Sett Circ
3
a a
⋅ 2 3
a
2 2
= =
S ABC 2 8
π ( )
= ⋅ − 2
S a x
PAR 6
Sett . Circ π 2
x
= ⋅
S PBQ 6 2
Sett . Circ ⎛ ⎞
π π π π π
2 2
( )
( ) 3 3
a x a a 3
⎜ ⎟
− ⋅ − − ⋅ = − ⋅ + ⋅ + −
= ≤ ≤
2 2 2
per cui a x x a x a con.
S x x
⎜ ⎟
8 6 6 2 4 3 8 6 2 2
⎝ ⎠
( )
La funzione area è una parabola con concavità verso il basso, per cui essa raggiunge il suo
S x π
⎛ ⎞
⎜ ⎟ a
⎝ ⎠ 2
3
= − =
massimo nell’ascissa del vertice ed in particolare cui corrisponde
x a
π
⎛ ⎞
max 3
−
⎜ ⎟
⎝ ⎠
2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
π π π
( ) 4 2 3 3
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
π
= − ⋅ + ⋅ + − = −
2 2 2 2
S x a a a a. Un altro modo per calcolare il valore
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
max 4 9 9 8 6 8 18
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
massimo è sfruttare le derivate; le derivate prima e seconda della funzione area sono
π ⎛ ⎞
( ) ( )
2 π
− +
= = − < ∀ ∈
⎜ ⎟ ed. Tenendo conto della limitazione geometrica la
x a
' ' ' 0
S x S x x R
⎝ ⎠
2 3 ⎤ ⎡
⎤ ⎡ 2 a 3
a 2 ⎥ ⎢
a, e si
funzione area è strettamente crescente in, a, strettamente decrescente in
⎥ ⎢
⎦ ⎣ 3 2
2 3 ⎦ ⎣
2
= in cui assume il valore massimo.
annulla in x a
3
Per quanto riguarda il valore minimo, può essere raggiunto solamente in uno degli estremi
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎡ ⎤ π π
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
a a 3 a 3 a 3 3 17
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
= − = − −
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
2 2 2
⎢ ⎥
dell’intervallo,; in particolare S a, S a 3 a.
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 2 2 8 16 2 8 6 8
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎣ ⎦
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
a 3 a a 3
⎜ ⎟ =
< ⎜ ⎟
S S per cui l’area minima la si ha per x e vale
Ora ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
2 2 2
⎝ ⎠ π ⎛ ⎞
( ) 3 17
= − −
⎜ ⎟
2 2
S x a 3 a.
min ⎠
⎝
8 6 8
Punto c
Tra i rettangoli con un lato su AB e i vertici del lato opposto su ciascuno dei due cateti si determini quello di area massima. 5
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Consideriamo la figura seguente: =
I triangoli CGF e CAB sono simili per cui vale la proporzione. Ma
: :
CH AB CK GF
ABC
⎤ ⎡
S a 3
3
= = = ∈ ⎥ ⎢
, a per cui i limiti geometrici impongono che y 0
,. Ora
AB a CH a 4 4
⎦ ⎣
3
= − = −
CK CH y a y mentre dalla proporzione ricaviamo
4
⎛ ⎞
3
⎜ ⎟
⋅ −
a a y
⎜ ⎟
⋅ 4
⎝ ⎠
AB CK 4 3
= = = −. L’area del rettangolo DEFG è allora
GF a y
CH 3
3
a 4
⎛ ⎞ ⎤ ⎡
( ) 4 3 a 3
⎜ ⎟
= ⋅ − ∈ ⎥ ⎢
con y 0
, . L’area del rettangolo è una parabola con concavità verso
R y y a y
⎜ ⎟
3 4
⎝ ⎠ ⎦ ⎣
il basso, per cui essa raggiunge il suo massimo nell’ascissa del vertice ed in particolare
a 3
= − = cui corrisponde
y a
⎛ ⎞
max 8
8 3
⎜ ⎟
−
⎜ ⎟
3
⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
( ) 3 4 3 3 3 1 3
⎜ ⎟
= − ⋅ = − =
⎜ ⎟
2 2. Allo stesso risultato si giunge se si
R y a a a a a
1
⎜ ⎟
max ⎝ ⎠
8 3 8 8 2 16
⎝ ⎠
applica il metodo delle derivate.
Punto d
Il triangolo ABC è la base di un solido W. Si calcoli il volume di W sapendo che le sue sezioni, ottenute tagliandolo con piani perpendicolari ad AB, sono tutti quadrati.
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