Matematica - PNI - Soluzione

Problema 1

a) Rettangolo di area massima

Si considera il generico rettangolo avente perimetro l e si indicano con a e b i suoi lati:

È chiaro che la richiesta del problema equivale a determinare i valori di a e b per cui l'area del rettangolo sia massima sapendo che il perimetro è di lunghezza pari ad l.

P = 2a + 2b = l  =>  b = l/2 - a

A = ab  =>  A(a) = a(l/2 - a) = -a² + l/2 a

Si deve quindi determinare il massimo assoluto della funzione A(a) = -a² + l/2 a nell'intervallo [0, l/2]. Si può procedere tramite lo studio della derivata della funzione, confrontando i valori agli estremi dell'intervallo, oppure più semplicemente osservare che si tratta di un arco di parabola, con la concavità rivolta verso il basso ed avente vertice nel punto di ascissa x_v = -l/2/-2 = 1/4 l per ottenere che:

A(0) = 0

A(l/2) = -l²/4 + l²/4 = 0

A(l/4) = l²/16

Il rettangolo richiesto è, pertanto, il quadrato di lato l/4 e area l²/16.

b) Quadrato e cerchio

Tagliando il filo, ottenendo due fili di lunghezza, rispettivamente, pari ad l₁ ed l₂ = l - l₁.

Si abbia un quadrato delimitato dal filo di lunghezza l₁ ed avrà lato l₁/4, mentre quella circolare delimitata da l₂ avrà raggio pari ad l₂/(2pi).

P = l₂

Lato = l₁/4

Per cui, indicando con A_Q e A_C le aree, rispettivamente, del quadrato e del cerchio, otteniamo che:

A_Q = (l₁/4)² = 1/16 l₁²

A_C = pi R² = pi ((l - l₁)/(2pi))² = 1/(4pi)(l - l₁)²

Per rispondere alla domanda b) e c), pertanto è sufficiente determinare il massimo e punto di minimo assoluto della funzione:

A(l₁) = A_Q + A_C = 1/16 l₁² + 1/(4pi)(l - l₁)², con l₁ compreso tra 0 e l.

Si tratta, ovviamente, di un arco di parabola il cui vertice ha ascissa pari a

x_v = (1/(4pi(1/16 + 1/(4pi))))l, quindi x_v compreso tra 0 e l.

Per cui si ha:

A(0) = 1/(4pi) l²

A(l) = 1/16 l²

Per cui si ottiene che la somma delle aree è minima quando si sceglie

l₁ = 1/(x + 1) · l

mentre è massima per l₁ = 0, ossia quando il filo viene adoperato tutto per realizzare un'aiuola circolare.

Parallelepipedo

Infine, il problema del parallelepipedo si risolve utilizzando che l₁, l₂ ed l₃ i lati iniziali e calcolando il volume prima e dopo l'aumento del 10%.

Otteniamo:

V = l₁l₂l₃

V_aumentato = (l₁ + 1/10 l₁)(l₂ + 1/10 l₂)(l₃ + 1/10 l₃)

= (l₁ + 1/10 l₁)(l₂ + 1/10 l₂)(l₃ + 1/10 l₃) = (1 + 1/10)³l₁l₂l₃

Per cui   V_aumentato/V = (1 + 1/10)³l₁l₂l₃/l₁l₂l₃ = (1 + 1/10)³ = 1 + 3/10 + 3/100 + 1/1000 = 1,331

E quindi si è avuto un incremento del volume dello 0,331, ossia del 33,1%.

Problema 2

1) Equazione log x = ax²

Per divulgare l'equazione log x = ax² può essere conveniente distinguere i seguenti casi:

a = 0. Questo è il caso più semplice in quanto l'equazione diventa

log x = 0, x = 1 e l'unica soluzione.

a < 0. In questo caso si hanno i seguenti grafici:

log x

ax²

Per cui è subito chiaro che esisterà un'unica soluzione. Per dimostrarlo è sufficiente osservare che

f(x) monotona crescente

f(x) x 0⁺ -∞, f(x) x +∞ +∞

g(x) monotona decrescente

g(x) x 0⁺ 0, g(x) x +∞ -∞

Per cui le due funzioni possono incontrarsi in un solo punto.

a > 0. Questo caso è più complesso poiché possono verificarsi le seguenti situazioni:

g(x)

f(x)

g(x)

f(x)

g(x)

f(x)

Per determinare quali casi si presentino al variare di a, conviene studiare l'andamento della funzione

F(x) = -ax² + log x

nell'intervallo (0, +oo).

lim_{x -> 0+} F(x) = lim_{x -> 0+} -ax² + log x = -

lim_{x -> +oo} F(x) = lim_{x -> +oo} log x - ax² = lim_{x -> +oo} (log x / x² - a)x² = -

F'(x) = 1/x - 2ax = (1 - 2ax²)/x

Per cui l'andamento sarà approssimativamente questo:

Calcolando il valore del punto di massimo relativo si ha:

F(1/sqrt(2a)) = log 1/sqrt(2a) - a 1/(2a) = log 1/sqrt(2a) - 1/2 = -1/2 log 2a - 1/2 = -1/2 (log 2a + 1)

E quindi:

-1/2 (log 2a + 1) > 0 se e solo se log 2a + 1 < 0 se e solo se log 2a < -1 se e solo se

Se e solo se 2a < 1/e se e solo se a < 1/(2e)

-1/2 (log 2a + 1) = 0 se e solo se a = 1/(2e)

-1/2 (log 2a + 1) < 0 se e solo se a > 1/(2e)

Per cui:

• 0 < a < 1/(2e): due soluzioni
• a = 1/(2e): una soluzione, e questo è il valore per cui sono tangenti f e g
• a > 1/(2e): nessuna soluzione

2) Area per a = -e²

Per a = -e² le funzioni sono: f(x) = log x

g(x) = -e²x²

f^-1(y) = e^y

g^-1(y) = (-y/e²)^1/2

L'area richiesta si può ottenere considerando come variabile indipendente y e integrando le funzioni inverse della f e della g.

A = [g^-1(y) - f^-1(y)] dy = ((-y/e²)^1/2 - e^y) dy

Perciò:

sqrt(-y/a²) dy = 1/a integral -y dy = 1/a 2/3(-y)^3/2

e^y dy = e^y

Sarà:

A = integral da -2 a -1 (sqrt(-y/a²) - e^y) dy = 1/a 2/3(-y)^3/2 | -2 -1 - e^y | -2 -1

= 1/a 2/3(1 - 2sqrt2) - (1/e - 1/e²)

3) Caso a = 1

Provando, ad esempio, il valore a = 1 -> 1/e si ottiene, da quanto visto prima, il seguente grafico di funzione.

Questionario

1) Chicchi di grano sulla scacchiera

La somma dei chicchi di grano presenti sulla scacchiera è pari a

S = 1 + 2 + 4 + ... + 2⁶³

(sulla casella n-esima sono presenti 2^n-1 chicchi). Procedendo sul piano dato a proposito della progressione geometrica, il valore della somma di cui sopra è pari a

S = 2⁶⁴ - 1     (si guarda la somma delle prime n potenze di 2, pari a 2ⁿ - 1)

Considerando che un singolo chicco pesa mediamente 38 milligrammi, ossia 38 x 10^-9 tonnellate, otteniamo che il peso complessivo sarà pari a

P = (2⁶⁴ - 1) x 38 x 10^-9 tonnellate =

2)

2)

3) Cammino minimo

Poniamo un riferimento che abbia la retta t come asse delle ascisse e i punti A e B nel semipiano superiore e scegliamo l'asse delle ordinate in modo che il punto A vi appartenga:

A = (0, a)          B = (b, c)

C = (x, 0)

È chiaro che il più breve cammino da compiere congiungendo A con B toccando t sono dati dalla spezzata formata dai seguenti AC e BC, dove C è un generico punto dell'asse delle ascisse. Si tratta, ovviamente, di un problema di minimo dove la funzione da minimizzare è data da:

f(x) = AC + BC = sqrt(x² + a²) + sqrt((b - x)² + c²), con x in R

Calcolando la derivata si ottiene

f'(x) = 2x / (2 sqrt(x² + a²)) + (-2(b - x)) / (2 sqrt((b - x)² + c²)) = x / sqrt(x² + a²) + (x - b) / sqrt((b - x)² + c²)

E considerando i punti stazionari otteniamo:

f'(x) = 0

x / sqrt(x² + a²) + (x - b) / sqrt((b - x)² + c²) = 0

x / sqrt(x² + a²) = (b - x) / sqrt((b - x)² + c²)

x sqrt((b - x)² + c²) = (b - x) sqrt(x² + a²)

Questa equazione irrazionale è elevabile al quadrato entrambi i membri, perché si ottengono le opportune

Consideriamo ciò che segue, si ottiene così:

f'(x) = 0 <=>

{ x² · [(b - x)² + c²] = (b - x)²(x² + a²)
x e (b - x) concordi

Ossia

{ x(b - x) >= 0
x²(b - x)² + x²c² = (b - x)²x² + (b - x)²a²

<=> { x(b - x) >= 0
x²c² = (b - x)²a²

<=> { x(b - x) >= 0
+/- xc = (b - x)a

E quindi (b - x)a = xc oppure (b - x)a = -xc

(a + c)x = ab

x = ^ab/_{a + c}

Questa soluzione è accettabile perché

^ab/_{a + c} (b - ^ab/_{a + c}) = ^ab/_{(a + c)²} ((a + c)b - ab)

= ^ab2c/_{(a + c)²} > 0.

(a - c)x = ab

x = ^ab/_{a - c}

Questa soluzione va scartata perché non soddisfa la condizione x(b - x) >= 0, infatti

^ab/_{a - c} (b - ^ab/_{a - c}) = ^ab/_{(a - c)²} ((a - c)b - ab)

= -^ab2c/_{(a - c)²} < 0

Per x = ab/(a+c), pertanto, la derivata vale zero. Per determinare se si tratta di un punto di massimo relativo, di minimo relativo o di flesso a tangente orizzontale, studiamo il segno della derivata su tutto R.

Poiché f'(x) è una funzione definita e continua su tutto R, basta calcolare il valore in due punti, uno prima ed uno dopo x per vedere il segno ovunque.

Ad esempio

f'(0) = 0/sqrt(0² + c²) + (0 - b)/sqrt((0 - b)² + c²) = -b/sqrt(b² + c²) < 0

f'(b) = b/sqrt(b² + c²) + (b - b)/sqrt((b - b)² + c²) = b/sqrt(b² + c²) > 0

(Ovviamente 0 < ab/(a+c) < b)

Per cui:

E quindi per x = ab/(a+c) abbiamo il minimo assoluto e relativo della distanza cercata.

Osserviamo che, per a = c otteniamo x = ab/(a + a) = ab/(2a) = b/2 come x naturale attualmente.

4) Equazione sen x = x - 1

Si consideri l'equazione sen x = x - 1 dove, la ricerca degli zeri della funzione è:

f(x) = sen x - (x - 1)

Poiché la funzione f(x) è continua, possiamo applicare il teorema di esistenza degli zeri; consideriamo il valore della funzione nei punti x₀ = 0 ed x₁ = pi, si ha che:

f(0) = sen 0 - (0 - 1) = 1 > 0

f(pi) = sen pi - (pi - 1) = 1 - pi < 0

Per cui deve esistere almeno un alpha compreso tra 0 e pi per cui f(alpha) = 0.

Per dimostrare che questa soluzione è l'unica studiamo l'andamento della funzione tramite la sua derivata:

f'(x) = cos x - 1 <= 0 per ogni x appartenente a R

Per cui la funzione sarà monotona non crescente su tutto il suo insieme di definizione. La soluzione pertanto deve essere unica.

Per determinare il valore di alpha si può utilizzare, ad esempio, il metodo di bisezione che consiste nel suddividere l'intervallo [x₀, x₁] in due parti e determinare in quale dei due sottointervalli sia ancora applicabile il teorema. Iterando il procedimento si raggiunge una sempre migliore approssimazione del valore alpha, e a titolo di esempio sfrutteremo i primi passi:

x₀ = 0

x₁ = pi -> x₂ = pi/2 => f(x₂) = sen pi/2 - (pi/2 - 1) = 2 - pi/2 > 0

-> alpha appartenente a [x₂, x₁] -> x₃ = (x₁ + x₂)/2 = (3pi/2)/2 = 3pi/4 -> f(x₃) = sen 3pi/4 - (3pi/4 - 1)

=> f(x₃) = radice di 2/2 + 1 - 3pi/4 < 0 -> alpha appartenente a [x₂, x₃] = [pi/2, 3pi/4]

5) Coefficienti binomiali

Considerando che i coefficienti binomiali (m k) soddisfano la formula

(a + b)^m = sum_k=0^m (m k) a^kb^m-k

Sostituendo ad a e b il valore 1 otteniamo:

(1 + 1)^m = sum_k=0^m (m k)

= 2^m

Ossia proprio la formula richiesta.

6) Equazione con parametro k

Risolvendo l'equazione si ottiene

k cos 2x - 5k + 2 = 0 => cos 2x = (5k - 2)/k

Poiché deve essere 15° < x < 45°, si ottiene

15° < x < 45° => 30° < 2x < 90° => cos 90° < cos 2x < cos 30°

=> 0 < cos 2x < sqrt(3)/2 => 0 < (5k - 2)/k < sqrt(3)/2

Bisogna quindi risolvere il sistema

(5k - 2)/k > 0 => k < 0 oppure k > 2/5

(5k - 2)/k < sqrt(3)/2

(5k - 2)/k + 3/2 < 0

(10k - 4 - 3k)/(2k) < 0

((10 - 3)k - 4)/(2k) < 0

0     4/(10 - 3)

k < 0 oppure k > 2/5

0 < k < 4/(10 - 3)

2/5 < k < 4/(10 - 3)

7) Probabilità

Il quesito, più che di vera e propria matematica, può essere considerato un quesito di filosofia. La matematica, particolarmente dal Settecento in poi, ha sviluppato una teoria necessaria a definire in maniera operativa e rigorosa il concetto di probabilità. Una risposta accettabile del candidato dovrebbe come minimo ricordare le varie definizioni di probabilità per tentare di interpretare il significato della frase citata.

8) Probabilità di colpire il bersaglio

La probabilità che il tiratore colpisca almeno una volta il bersaglio in n tiri si determina facilmente calcolando la probabilità che non lo colpisca neanche una volta e sottraendola dal valore 1.

P = P (almeno un centro in n tiri) = 1 - P (nessun centro in n tiri)

Poiché il tiratore fallisce con una probabilità di 0,7 ogni singolo tiro, la probabilità di fallire in tutti e n i tiri è pari a

P (n tiri falliti) = [P (1 tiro fallito)]ⁿ = (0,7)ⁿ

E quindi:

P = 1 - (0,7)ⁿ

Per fare in modo che il centro sia probabilità > 0,99, pertanto, dovrà essere:

1 - (0,7)ⁿ > 0,99 -> 1 - 0,99 > (0,7)ⁿ ->

-> (0,7)ⁿ <= 0,01 -> n >= log_0,7(0,01)

(Ricordiamo che se la base è minore di 1, il logaritmo è una funzione decrescente)

9) Funzione esponenziale

È noto a tutti gli studenti che la funzione f(x) = e^x gode di tutte le proprietà richieste dal quesito. Volendo, ove possibile, dimostrare che, in effetti, si tratta dell'unica funzione, si tratta, seguendo, con metodi elementari, la seguente equazione differenziale

f'(x) = f(x), con f(0) = 1

f'(x) = f(x) => f'(x)/f(x) = 1

da 0 a Y f'(x)/f(x) dx = da 0 a Y 1 dx

log(f(x))|₀^Y = x|₀^Y => log(f(Y)) - log(f(0)) = Y - 0

log(f(Y)) - log(1) = Y => log(f(Y)) = Y =>

f(Y) = e^Y

10) Approssimazione di un integrale

Studiando la funzione integranda nell'intervallo [0,1] si ottiene il seguente andamento

Sapendo che l'area vale /4, possiamo approssimare, ad esempio, calcolando l'area del poligono rettangolo inscritto relativo ad una divisione dell'intervallo in tre parti.

f(0) = 1 => R1 = 1/3 · 9/10 = 3/10

f(1/3) = 9/10

f(2/3) = 7/10 => R2 = 1/3 · 7/10 = 7/30

f(1) = 1/2 => R3 = 1/3 · 1/2 = 1/6

Per cui /4 = 3/10 + 7/30 + 1/6 = 0,7 => = 2,8

Ovviamente in questo modo si ottiene un'approssimazione molto grossolana e per avere una precisione maggiore occorre utilizzare una suddivisione più fine dell'intervallo o, in alternativa, un metodo di approssimazione più efficace come, ad esempio, quello dei trapezi.