Sessione ordinaria 2008 – 2009 liceo di ordinamento
ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO
CORSO DI ORDINAMENTO 2009
Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti scelti nel questionario.
PROBLEMA 1
E’ assegnato il settore circolare AOB di raggio r e ampiezza x (r e x sono misurati, rispettivamente,
in metri e radianti ).
1. Si provi che l’area S compresa fra l’arco e la corda AB è
1
( ) ( )
= −
2
S x r x sin x con
espressa, in funzione di x, da 2
[ ]
π
∈
x 0
, 2
2. Si studi come varia S(x) e se ne disegni il grafico (avendo
posto r = 1). 2 . Si trovi il valore di r per il quale è minimo il
3. Si fissi l’area del settore AOB pari a 100 m
perimetro di AOB e si esprima il corrispondente valore di x in gradi sessagesimali (è sufficiente
l’approssimazione al grado).
π
= =
r 2 e x . Il settore AOB è la base di un solido W le cui sezioni ottenute con piani
4. Sia 3
ortogonali ad OB sono tutte quadrati. Si calcoli il volume di W.
PROBLEMA 2
Nel piano riferito a coordinate cartesiane, ortogonali e monometriche, si tracci il grafico della
G
f
( ) =
funzione ( ).
logaritmo naturale
f x log x
il punto d'intersezione con l’asse della tangente a in un suo punto . Sia il punto
1. Sia A y G P B
f
d’intersezione con l’asse della parallela per all’asse . Si dimostri che, qualsiasi sia , il
y P x P
ha lunghezza costante. Vale la stessa proprietà per il grafico della funzione
segmento AB G
g
( ) = log con reale positivo diverso da 1?
g x x a
a
2. Sia δ l’inclinazione sull’asse della retta tangente a nel suo punto di ascissa 1. Per quale
x G
g
è δ = 45°? E per quale valore di è δ = 135°?
valore della base a a
la regione del primo quadrante delimitata dagli assi coordinati, da e dalla retta
3. Sia D G
f
1. Si calcoli l’area di .
d’equazione y D
=
4. Si calcoli il volume del solido generato da nella rotazione completa attorno alla retta di
D
1.
equazione x −
=
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QUESTIONARIO ( )
1. Si trovi la funzione la cui derivata è e il cui grafico passa per il punto (0, 2).
f x sin x
{ } { }
= =
A 1
, 2
,
3
, 4 B a , b , c
2. Sono dati gli insiemi e Tra le possibili (o ) di in
applicazioni funzioni A
, ce ne sono di ? Di ? Di ?
B suriettive iniettive biiettive = + + −
3 2
la curva d’equazione 3 4 ha una sola tangente
3. Per quale o quali valori di k y x kx x
orizzontale? . Si dica se questa affermazione è
4. “Esiste solo un poliedro regolare le cui facce sono esagoni”
vera o falsa e si fornisca una esauriente spiegazione della risposta.
5. Si considerino le seguenti espressioni: 0 0 1 0
; ; ; 0
1 0 0
A quali di esse è possibile attribuire un valore numerico? Si motivi la risposta.
+
2 1
x
lim
6. Si calcoli: x
→ −∞
x ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ −
n n n k
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
Si dimostri l’identità con e naturali e
n k n > k.
7. =
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
+ +
1
k k 1
k
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
8. Si provi che l’equazione: + + =
2009
x 2009 x 1 0
ha una sola radice compresa fra –1 e 0.
9. Nei “Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a
, Galileo Galilei descrive
due nuove scienze”
la costruzione di un solido che chiama scodella
considerando una semisfera di raggio e il cilindro ad essa
r
circoscritto. La si ottiene togliendo la semisfera
scodella
dal cilindro. Si dimostri, utilizzando il principio di
, che la ha volume pari al cono di vertice
Cavalieri scodella
V in figura. ( ) =
f x cos 5 x
10. Si determini il periodo della funzione
____________________________
Durata massima della prova: 6 ore.
È consentito l’uso della calcolatrice non programmabile.
Non è consentito lasciare l’Istituto prima che siano trascorse 3 ore dalla dettatura del tema.
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PROBLEMA 1
E’ assegnato il settore circolare AOB di raggio r e ampiezza x (r e x sono misurati,
rispettivamente, in metri e radianti ).
Punto 1
Si provi che l’area S compresa fra l’arco e la corda AB è
1
( ) ( )
= −
2 sin
S x r x x con
espressa, in funzione di x, da 2
[ ]
π
∈
x 0
, 2
Indichiamo con:
( )
1. S A
O
B l’area del settore circolare di raggio r ed ampiezza x;
A
O
B
( ) = =
l’area del triangolo isoscele di lati ed angolo tra essi x
2. AOB AO OB
S AOB r
Differenziamo i casi in cui l’ampiezza del settore circolare x è un angolo concavo o convesso.
( )
( ) ( )
( )
π = −
≤ ≤
Angolo x convesso : in tal caso l’area S x S A
O
B S AOB
a. ;
0 x
( )
( ) ( )
( )
π π
≤ ≤ = +
2
x
Angolo x concavo : in tal caso l’area S x S A
O
B S AOB
b. .
( ) ⋅
2
r x
=
S A
O
B , mentre l’area del
L’area di un settore circolare di raggio r ed ampiezza x è 2
triangolo , conoscendo due lati e l’angolo compreso, è pari a
AOB ( )
⎧ ⋅
2 sin
r x π
≤ ≤
se 0 x
⎪
⎪ 2
( ) = .
AOB
S ⎨ ( ) ( )
π
⋅ − ⋅
2 2
sin 2 sin
r x r x
⎪ π π
= − ≤ ≤
se 2
x
⎪
⎩ 2 2
Quindi ( )
⎧ ⋅ ⋅
2 2
r x r x
sin π
− ≤ ≤
( ) se 0 x
⎪
( )
⎧ π
− ≤ ≤
S A
O
B S AOB se 0 x 2 2
⎪
⎪
( ) ( )
= ⇒ = ⇒
S x S x ⎨
⎨
( ) ( )
( ) ⎞
⎛
⋅ ⋅
2 2
π π
⎪⎩ r x r x
sin
+ ≤ ≤
S A
O
B S AOB se x 2 ⎪ π π
⎟
⎜ ≤ ≤
+ − se x 2
⎟
⎜
⎪ 2 2 ⎠
⎝
⎩
( )
⎧ ⋅ ⋅
2 2
r x r sin x π
− ≤ ≤
se 0 x
⎪ ( )
⋅ ⋅
2 2
⎪ r x r sin x 1
2 2
( ) ( ) ( )
⇒ = ⇒ = − = −
2
S x S x r x sin x
⎨ ( )
⋅ ⋅ 2 2 2
2 2
r x r sin x
⎪ π π
− ≤ ≤
se x 2
⎪
⎩ 2 2
[ ]
π
∈
con .
0
, 2
x
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Punto 2
Si studi come varia S(x) e se ne disegni il grafico (avendo posto r = 1).
1 [ ]
( ) ( ) π
= − ∈
La funzione da studiare è S x x sin x in .
0
, 2
x
2
[ ]
π
Dominio: 0
, 2 ( )
− = =
Intersezione asse delle ascisse: l’equazione ha un’unica soluzione . Infatti la
sin 0
x x x 0
1 [ ]
( ) ( ) ( )
π
= −
S x x sin x è strettamente crescente in in quanto la sua derivata è
funzione 0
, 2
2
1 [ ]
( ) ( )
= −
S ' x 1 cos x .
2 ( )
Intersezione asse delle ordinate: 0
,
0
Positività: la funzione è positiva in tutto il dominio in quanto la funzione è strettamente crescente e
( ) ( )
π π
= = > ; in altro modo la bisettrice del primo e terzo quadrante di equazione
0 0
, 2 0
S S
= =
y x y sin x
sta sempre al di sopra della funzione ,
Asintoti verticali: non esistono visto il dominio della funzione
Asintoti orizzontale: non ha
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